高一數(shù)學(xué)必修四基本公式總結(jié)

1、高一數(shù)學(xué)必修四基本公式總結(jié)平方關(guān)系：sinA2 時(shí) 8sA2 a= 11 + tanA2 稈 secA2 a1 + cotA2 后 cscA2 a 積的關(guān)系：sin a =tan a x cos a cos a =cot a x sin a tan a =sin a x sec a cot a =cos a X csc a sec a =tan a x csc a csc a =sec a x cot a 倒數(shù)關(guān)系：tan a-cotlasin a-csclacos a-see 1商的關(guān)系：sin a/cosetan 后sec a/csc a cos a /sin f cot y csc a

2、/sec a 同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以 "上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。( 1 )倒數(shù)關(guān)系：對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；( 2 )商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。(主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積) 。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。( 3 )平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。直角三角形ABC 中 ,角 A 的正弦值就等于角 A 的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A 的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,1三角函數(shù)恒等變形公式兩角和與差的三角函數(shù)：cos

3、( a + B )=cos a - -cos 也 sin Bcos(優(yōu) B )=cos a - cos B +sin a sin Bsin( a ± B )=sin a cos B ± cos a sin Btan( a + B )=(tan a +tan-檢”(1 tan 0 )tan(a B )=(tan -tan 0 )/(1+tan a tan 0 ) 三角和的三角函數(shù)：sin( a + B + 丫 )=sin a - cos B cos 丫 +cos a sin 0 cos -s+cos a sincos B sinsin 丫 cos( a+B+Y)=cos a

4、- cos-coscos ；sin 0 -ssinay- cos B -ssinay sin B - cos Y tan( a + B + 丫)=(tan a +tan -t+tan y tan B ta-tan )/(1 tanan B - ta-tan 丫 - tan a )輔助角公式：Asin a +Bcosa =(A2+B2)A(1/2)sin(,阿sint=B/(A2+B0A("2)cost=A/(A2+B2)A(1/2)tant=B/AAsin o-Bcos a =(A2+B2)A(1/2)cos( -t) ,a tant=A/B倍角公式：sin(2 a )=2sin a

5、 - cos a =2/(tan a +cot a )cos(2 a )=cos2( - sin2( a )=2cos2f1=1>2sin2( a)tan(2 a)=2tan 口-斷2( a)三倍角公式：sin(3 a )=3sin-4sin3( a 尸4sin a sin(60+ a->sin(60cos(3 a )=4cos3( -3cos a =4cos a - cos(60+ a )cos(60tan(3 a 尸tan a - tan(兀 /3+a) -atan(兀 /3半角公式：sin( a/2)= ±-C(sia )/2)cos( a /2)= ±V

6、 (1+cos a )/2)tan( a/2)= 土高位 a )/(1+cos a )=sin a /(1+cos-co9=O/sin a降幕公式sin2( a )=(10s(2 a )/2=versin(2 a )/2cos2( a)=(1+cos(2 a )/2=covers(2 a )/2tan2( a)=(1os(2 a )/(1+COs(2 a)萬能公式：sin a=2tan( a/2)/1+tan2( a/2)cos a =4tan2( a /2)/1+tan2( a /2)tan a =2tan( a /2)/an2( a /2)積化和差公式：sin a-cosB=(1sin(a

7、+fB)+sin(acos asinB=(1/2)sin(-sin(+4jB)cos a-cosB=(1/2)cos(a+ 0 )+cos(asin asir-(1/2)cos( a+cos(優(yōu) 0 )和差化積公式：sin a +sin 0 =2sin( a + 0 )/2cos)/2 asin -sin 0 =2cos( a + 0 )/2sin()/2 acos a +cos B =2cos( a + 0 )/2cos()/2 acos a-cos B =2sin( a + 0 )/2sin0 )/2Jx推導(dǎo)公式tan a +cot a =2/sin2 a tan 0-cot a -2co

8、t2 a 1+cos2 a =2cos2 a1-cos2 a =2sin2 a 1+sin a =(sin a/2+cos a/2)2其他：sin a +sin( a +2 兀 /n)+sin(a +2 兀 *2/n)+sin(a +2 兀 *3/n)+ +Si)/n=0 +2 兀 *(ncos a +cos( a +2 兀 /n)+cos( a +2 兀 *2/n)+cos( a +2 兀 *3/n)+ +cosp)/n+=0Tt *(n以及sin2( a )+sin22 冗«/3)+sin2(a +2 兀 /3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan

9、(A+B)=0cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx證明：左邊 =2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx=sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx (積化和差)=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx= 右邊等式得證sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx證明 :左邊 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx)=

10、cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx)=- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx= 右邊等式得證誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin (2k tt+ a) = sin acos (2k Tt+ a) = cos atan (2k 兀+ a) = tan acot (2k Tt+ a) = cot a公式二：設(shè)a為任意角，冗+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin (九+ a) = sin acos (九+ a) = cos atan

11、 (九+ a) = tan acot (九+ a) = cot a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin ( a) = sin acos ( a) = cos atan ( a) = - tan acot ( a) = co cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（九一a)=sin acos（九一a)=一 cos atan（九一a)tan acot（九一a)=一 cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin （2 九一a） = sin acos （2 九一a） = cos atan （2 九一a）

12、 = tan acot （2 九 一 a） = cot a公式六：九/2 ±及3冗/2 ±屈a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin （九 /4 a） = cos acos （九 /4 a） = sin atan （九 /4 a） = cot acot （九 /4 a） = tan asin （九 /2- a） = cos acos （九 /2- a） = sin atan （九 /2- a） = cot acot （九 /2- a） = tan asin （3 冗/2+a） = cos acos （ 3 九 /4 a） = sin atan （3 兀 /2+ a） = cot a

13、cot （3 兀 /2+ a） = tan asin （3 冗/2 a） = cos acos （3 九 /2- a） = sin atan （3 兀 /2 a） = cot acot （3 兀 /2 a） = tan a（以上kC Z）正弦定理是指在三角形中，各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （其中 R 為外接圓的半徑）余弦定理是指三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即aA2=bA2+cA2-2bc cosA角A的對(duì)邊于斜邊的比叫做角 A的正弦，記作sinA ,即sinA二角A的對(duì)邊/斜邊斜邊與鄰邊夾

14、角 asin=y/r無論y>x或y&x無論 a 多大多小可以任意大小正弦的最大值為 1 最小值為 -1三角恒等式對(duì)于任意非直角三角形中,如三角形ABC, 總有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證明 :已知(A+B)=( 兀-C)所以 tan(A+B)=tan( bC)JM(tanA+tanB)/(1- tanAtanB)=(tan 光tanC)/(1+tan 兀 tanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些誘導(dǎo)公式可以概括為：對(duì)于k 兀/2 土Zk的個(gè)三角函數(shù)值，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，得到 ”的同名函數(shù)值，

15、即函數(shù)名不改變；當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，得到 a相應(yīng)的余函數(shù)值，即 sin - cos;cos - sin;tan - cot,cot -tan.(奇變偶不變)然后在前面加上把“看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)。(符號(hào)看象限)上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。公式右邊的符號(hào)為把a(bǔ)視為銳角時(shí)，角 k 360° +(akCZ), -a、180。士,a360°-a所在象限的原三角函數(shù)值的符號(hào)可記憶水平誘導(dǎo)名不變；符號(hào)看象限。各種三角函數(shù)在四個(gè)象限的符號(hào)如何判斷，也可以記住口訣 “一全正；二正弦；三為切；四余弦 ” 這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“ ”；第

16、二象限內(nèi)只有正弦是“ ” ，其余全部是“ ” ；第三象限內(nèi)切函數(shù)是“ ” ，弦函數(shù)是“ ” ；第四象限內(nèi)只有余弦是“ ” ，其余全部是“ ” 類似地，我們同樣也可以求證：當(dāng)a+B+丫 =n：r(nZ)時(shí)，總有tan a +tan B +tan 丫 =tan a tan B tan 丫向量計(jì)算設(shè) a= (x， y)， b=(x' ， y') 。1 、向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC 。a+b=(x+x' ， y+y') 。a+0=0+a=a 。向量加法的運(yùn)算律：交換律：a+b=b+a ；結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c） 。

17、2、向量的減法如果 a、 b 是互為相反的向量，那么 a=-b ， b=-a ， a+b=0. 0 的反向量為 0AB-AC=CB. 即 “共同起點(diǎn)，指向被減”a=（x,y） b=（x',y'） 則 a-b=（x-x',y-y'）.4、數(shù)乘向量實(shí)數(shù)人和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作 入冬且I X al = I XI -I a I o當(dāng)入0時(shí)，入a與a同方向；當(dāng)入 0時(shí)，入a與a反方向；當(dāng)人=0寸，入a=0方向任意。當(dāng)a=0時(shí),對(duì)于任意實(shí)數(shù) %都有入a=0注：按定義知，如果 入a=0那么入=瞰a=0o實(shí)數(shù)人叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量 入a的幾何意義就是將表示向量a的

18、有向 線段伸長(zhǎng)或壓縮。當(dāng)I XI 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（入0）或反方向（入0） 上伸長(zhǎng)為原來的I婕倍；當(dāng)I XI 1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（入0）或反方向（入0）上縮短為原來的I XI倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運(yùn)算律結(jié)合律：（入a） b=入（a b）= （a 入b）向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：（入+ n ）a=入a+ n a.數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：入（a+b尸入a+入b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù)入wfL "=入,b那么a=b o 如果aw。且入a= 1?UB么入=業(yè) 3、向量的的數(shù)量積定義：兩個(gè)非零向量的夾角記為a, b，且a, b 0, nt定義：兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量，記作a b。若a、b不共線，a b=|a| |b| cosa, b；若 a、b 共線，a b=+- I a I I b I 0 向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a b=x x'+y y'。向量的數(shù)量積的運(yùn)算率