概率論中幾種常用的重要的分布

1、概率論中幾種常用的重要的分布摘要：本文主要探討了概率論中的幾種常用分布，的來源和他們中間的關(guān)系。其在實際中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞 1 一維隨機(jī)變量分布 隨機(jī)變量的分布是概率論的主要內(nèi)容之一，一維隨機(jī)變量部分要介紹六中常用分布，即( 0 1) 分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布 下面我們將對這六種分布逐一地進(jìn)行討論 隨機(jī)事件是按試驗結(jié)果而定出現(xiàn)與否的事件。它是一種“定性”類型的概念。為了進(jìn)一步研究有關(guān)隨機(jī)試驗的問題，還需引進(jìn)一種“定量”類型的概念，即，根據(jù)試驗結(jié)果而定取什么值（實值或向量值）的變數(shù)。稱這種變數(shù)為隨機(jī)變數(shù)。本章內(nèi)將討論取實值的這種變數(shù) 一維隨機(jī)變數(shù)。定義1.1 設(shè)為一個

2、隨機(jī)變數(shù)，令 .這樣規(guī)定的函數(shù)的定義域是整個實軸、函數(shù)值在區(qū)間0,1上。它是一個普通的函數(shù)。成這個函數(shù)為隨機(jī)函數(shù)的分布函數(shù)。有的隨機(jī)函數(shù)可能取的值只有有限多個或可數(shù)多個。更確切地說：存在著有限多個值或可數(shù)多個值使得 稱這樣的隨機(jī)變數(shù)為離散型隨機(jī)變數(shù)。稱它的分布為離散型分布?！纠?】下列諸隨機(jī)變數(shù)都是離散型隨機(jī)變數(shù)。（1）可能取的值只有一個，確切地說，存在著一個常數(shù),使。稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為退化分布。一個退化分布可以用一個常數(shù)來確定。（2）可能取的值只有兩個。確切地說，存在著兩個常數(shù)，使.稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為兩點(diǎn)分布。如果，那么，。因此，一個兩點(diǎn)分布可以用兩個不同的常數(shù)及一個在區(qū)間（0,1）

3、內(nèi)的值來確定。 特殊地，當(dāng)依次為0,1時，稱這兩點(diǎn)分布為零-壹分布。從而，一個零-壹分布可以用一個在區(qū)間（0，1）內(nèi)的值來確定。（3）可能取的值只有個：（這些值互不相同），且，取每個值得概率都是，稱這種隨機(jī)變數(shù)的分布為離散型均勻分布。一個離散型均勻分布可以用一個正整數(shù)及個不同的常數(shù)來確定。定義1.2 若隨機(jī)變量的概率分布為 其中，則稱服從參數(shù)為的（0-1）分布。（0-1）分布是最簡單的一種分布，它用于描述只有兩個可能結(jié)果的試驗。例如，對新生嬰兒的性別登記，觀察機(jī)器是否正常工作，考察一件產(chǎn)品是否為合格品等，均可用（0-1）分布來描述。定義1.3 若隨機(jī)變量的概率分布為 其中為正整數(shù)，則稱服從參數(shù)

4、為的二項分布，記作由二項分布的導(dǎo)出可知，該種分布用于描述重伯努利試驗中發(fā)生的概率為.在研究某事件發(fā)生的概率時，我們對事件所在的試驗進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)觀察，統(tǒng)計出事件發(fā)生的次數(shù)。這里是一個隨機(jī)變量，它就服從二項分布。另外，一批種子能發(fā)芽的個數(shù)，一定人群中患某種疾病的人數(shù)，某時刻一個城市開著的燈的盞數(shù)都可以認(rèn)為是服從二項分布的。在二項分布中，如果，那么只能取0或1，這是顯然有 ， 也可以表示成 0 1 這個分布就是上面介紹的（0-1） 分布，它是二項分布的特例。在討論 拋擲均勻硬幣的例子中，隨機(jī)變量 的分布列為 0 1 它就是（0-1）分布當(dāng)時的特例。定義1.4 若隨機(jī)變量的概率分布為其中為常數(shù)，則稱服

5、從參數(shù)為的泊松分布，記作.泊松分布是作為二項分布的極限分布而引入的。事實上，泊松定理表明，當(dāng)很大時，很小，適中時，分布就近似于分布，其中。由二項分布描述的內(nèi)容可知，泊松分布主要用于描述大量獨(dú)立重復(fù)實驗中稀有事件發(fā)生的次數(shù)，所謂稀有事件指概率很小的事件。由此，紡織品上的疵點(diǎn)數(shù)，印刷品中的錯字?jǐn)?shù)，某時間段內(nèi)電話交換臺接到的呼叫次數(shù)，某時間段內(nèi)公共汽車站等車的乘客人數(shù)等均可用泊松分布來描述。定理 1.1 （泊松定理） 在重貝努力試驗中，事件在一次實驗中出現(xiàn)的概率為（與實驗總數(shù)有關(guān)），如果當(dāng)時，（常數(shù)），則有 證明 記，則 對于任一固定的，顯然有 還有 從而 對任意（）成立，定理得證。2 連續(xù)性隨機(jī)變

6、量分布以上對離散型隨機(jī)變量做了一些研究，下面將要研究另一類十分重要而且常見的隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量定義2.1 若是隨機(jī)變量，是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)，使對任意的，有則稱對連續(xù)型隨機(jī)變量，相應(yīng)的為連續(xù)型分布函數(shù)，同時稱是的概率密度函數(shù)或簡稱為密度。 由分布函數(shù)的性質(zhì)即可驗證任一連續(xù)型分布的密度函數(shù)必具有下述性質(zhì)： （1） （2）定義2.2 若隨機(jī)變量的概率分布為 為密度連續(xù)型分布，稱這種分布為正態(tài)分布,記作下面驗證是一個密度函數(shù)。 因為這時為顯然，此外還可以驗證有 為此，可令，則 這時有 現(xiàn)在作坐標(biāo)變換 這時，變換的雅可比式，而 所以有 于是 這說明給出的的確是一個密度函數(shù)，這個密度函數(shù)成為

7、正態(tài)密度。正態(tài)分布是德國數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家棣莫弗于1733 年在求二項分布的漸進(jìn)公式時得到的 棣莫弗 拉普拉斯中心極限定理表明正態(tài)分布是二項分布的極限分布 正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線是鐘型曲線，它的“鐘型”特征與實際中很多隨機(jī)變“中間大，兩頭小”的分布規(guī)律相吻合 人的各種生理指標(biāo)，一個班的一次考試成績，測量的誤差等均服從或近似服從正態(tài)分布 在許多實際問題中，遇到的隨機(jī)變數(shù)是受到許多互不相干擾的隨機(jī)因素的影響的，而每個個別因素的影響都不起決定性作用，且這些影響是可以疊加的。例如，電燈泡的耐用時數(shù)（壽命）受到原料，工藝，保管條件等因素的隨機(jī)變動的影響，而這些因素的波動在正常情況下是互不干擾的，且，每一個

8、都不起決定性作用，又，可以認(rèn)為是可以疊加的。在概率論的極限理論中可以證明：具有上述特點(diǎn)的隨機(jī)變數(shù)一般都可以認(rèn)為服從正態(tài)分布。二項分布，泊松分布和正態(tài)分布（或稱高斯分布）時概率論中最重要的分布，在實際理論中有著廣泛的應(yīng)用。本文從三中分布的區(qū)別與聯(lián)系出發(fā)，采用實例計算及比較方法，以達(dá)到較準(zhǔn)確選擇合適的分布解決實際問題為目的，對三種分布進(jìn)行進(jìn)一步探討。一、三種分布的區(qū)別1.定義不同:以每個分布的定義為切入點(diǎn),闡明定義特征。二項分布B(n,p)、泊松分布P()和正態(tài)分布N(,2)的分布規(guī)律分別由它們的參數(shù)確定,并且三種分布的數(shù)字特征均值及方差是用不同的參數(shù)來描述。因此,區(qū)別參數(shù)的意義是深刻理解定義的關(guān)

9、鍵。2.隨機(jī)變量的取值范圍不同:二項分布的隨機(jī)變量取值是有限個,泊松分布的隨機(jī)變量取值是無窮可列,它們屬于離散型的。正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值無窮不可列,充滿某一區(qū)間,屬于連續(xù)型的。3.適用的條件不同:二項分布用于描述只有“成功”與“失敗”兩種試驗結(jié)果的數(shù)學(xué)模型。例如:某個學(xué)生做n道數(shù)學(xué)題,每道題的結(jié)果只有“對”與“錯”,若每題做對的概率已知,則可利用二項分布求出做對k道題的概率;泊松分布適用于描繪大量重復(fù)試驗中稀有事件(飛機(jī)意外墜落、高樓突然倒塌等);正態(tài)分布用于一個隨機(jī)變量由大量相互獨(dú)立的偶然因素之和構(gòu)成,每個因素所起的作用對總的來說很微小。例如:某校2002級3000名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù),受

10、每個學(xué)生考分的影響,但每個學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)對總的分?jǐn)?shù)影響不大,所以,考試分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布。二、三種分布之間的聯(lián)系盡管三種分布有許多不同點(diǎn),但它們之間還有著相互的聯(lián)系。在n次貝努力試驗中,二項分布的極限是泊松分布,我們可以用二項分布逼近泊松分布。反之,也可以用泊松分布近似具有較大n的二項分布,即若已知泊松分布P(),可用二項分布B(n,/n)去逼近它;若已知二項分布B(n,p),可用泊松分布P()近似二項分布,其理論根據(jù)是近似公式: （1）這里要求較大，較小，。正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當(dāng)較大時，可用正態(tài)分布近似二項分布，其近似公式為： （2） 若，則有 （3） 從上面可以看到，泊松分布和正態(tài)

11、分布都是二項分布的極限分布，在滿足一定條件下都能近似二項分布。在實際中，利用這種關(guān)系有時能夠帶來很多方便，從而簡化計算。三、三種分布在實際中的應(yīng)用三種分布在實際中有廣泛的應(yīng)用。二項分布適用于抽查產(chǎn)品、能量供應(yīng)、藥效試驗、保險公司估計利潤等;泊松分布用于公共汽車站來到的乘客數(shù)、電話總機(jī)在一段時間內(nèi)收到的呼喚次數(shù)、運(yùn)輸損耗等;正態(tài)分布用于年平均氣溫和降雨量、測量誤差、發(fā)電站電能消耗、人的身高和體重等。在日常生活、生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中,怎樣利用三種分布的特點(diǎn)及聯(lián)系,簡單準(zhǔn)確計算出所求事件的概率呢?下面通過實際例子說明這一問題。例如:某大城市有一個繁忙的交通崗,若每天有100000人通過,每人出事故的

12、概率為0.0001,求該天出事故的人數(shù)不超過2人的概率。解法一：顯然,利用二項分布得=0.00276849這里較大，較小，直接用二項分布計算比較麻煩。解法二：用泊松分布近似二項分布的方法計算，代入公式（1）得這里，直接查泊松分布表求出，產(chǎn)生的誤差為。由此可見，當(dāng) 較大時，較小時，泊松分布近似二項分布，其近似程度非常好，而且計算簡單。解法三：用正態(tài)分布的分布函數(shù)近似二項分布的方法計算，由近似公式（3）得這里直接查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表求得，其誤差為0.00224151，這比用泊松分布產(chǎn)生的誤差要大。在實際中，用二項分布計算量較大時，一般滿足的條件下，采用正態(tài)分布近似二項分布的方法，較為方便準(zhǔn)確

13、有效。解法四：用正態(tài)分布的密度函數(shù)近似二項分布的計算方法，近似公式（2）得這里通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)表直接求出，產(chǎn)生的誤差為0.00542221，其誤差比上面的兩種近似求值所產(chǎn)生的誤差都大。所以，在實際中，當(dāng)不太接近0或1，不太小，隨機(jī)變量的取值較小時，應(yīng)該利用近似（2）計算，結(jié)果更準(zhǔn)確。從以上四種解法中可以得到：對于一個實際問題，首先應(yīng)該根據(jù)三中分布適用的條件，判斷是服從什么分布。然后用此分布去解決問題。若隨機(jī)變量,當(dāng)不太大，不很小（一般）時，可以用二項分布直接計算，也可以查二項分布表求出；當(dāng)，且隨機(jī)變量的取值個數(shù)較少時，可以用泊松分布直接查表計算；當(dāng)，隨機(jī)變量的取值比較多，用二項分布

14、計算量太大時，可以用正態(tài)分布直接查表求出結(jié)果。定義2.2 （均勻分布）若隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 則稱服從區(qū)間上的均勻分布，記作均勻分布描述的是在一個區(qū)間上等可能取值的分布規(guī)律，也即是說概率在該區(qū)間上的分布是均勻的。均勻分布是最簡單。最基本的連續(xù)型分布，就像直線運(yùn)動中的勻速運(yùn)動，物體中的均勻物體一樣設(shè)某路公共汽車每10 分鐘一趟，則乘客的等車時間可認(rèn)為是在區(qū)間0，10上均勻分布的還可以把這個分布推廣到一個在實數(shù)軸上某個指定的長度不為0的集合上的連續(xù)型均勻分布。相應(yīng)的密度函數(shù)為按連續(xù)型隨機(jī)變數(shù)的密度函數(shù)的定義，有這是用密度函數(shù)來表達(dá)分布函數(shù)的公式。下面用一個例子來說明均勻分布的分布函數(shù)的推導(dǎo)過程【例2】算出區(qū)間上的