畢業(yè)論文之大數(shù)定律

1、本科畢業(yè)論文論文題目：幾個(gè)常見大數(shù)定律的比較及應(yīng)用 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： 專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師： 學(xué) 院： 1 年 月 日 目 錄中文摘要 2英文摘要 2一、 引言 3二、 預(yù)備知識(shí) 3 1.基本定義32.命題3三、幾個(gè)常見大數(shù)定律及其比較4 1.馬爾科夫大數(shù)定律52.切比雪夫大數(shù)定律53.伯努利大數(shù)定律54.泊松大數(shù)定律65.辛欣大數(shù)定律76.幾個(gè)常見大數(shù)定律之間的比較7四、大數(shù)定律的應(yīng)用81.在誤差領(lǐng)域中的應(yīng)用82.在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用83.在保險(xiǎn)中的應(yīng)用94.結(jié)語11參考文獻(xiàn) 12幾個(gè)常見大數(shù)定律的比較及應(yīng)用徐基法摘要：大數(shù)定律是概率論的重要內(nèi)容，它以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)事件

2、的最根本的性質(zhì)-平均結(jié)果的穩(wěn)定性，是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn)。本文介紹了幾種常見大數(shù)定律：馬爾科夫大數(shù)定律，切比雪夫大數(shù)定律，泊松大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律和辛欣大數(shù)定律及它們的比較與關(guān)系。同時(shí)也介紹了大數(shù)定律在數(shù)學(xué)，特別是在保險(xiǎn)領(lǐng)域中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：大數(shù)定律 隨機(jī)變量 保險(xiǎn) 應(yīng)用英文摘要：The law of large numbers is the important aspect of Probability Theory, it has expressed the most basic properties of the random event in the form of stri

3、ct mathematics- stability of the average result, it is the concrete manifestation that the random phenomenon counts the law. This article describes a few common law of large numbers: Markov Law of Large Numbers, Chebyshev Law of Large Numbers, Beroulli Law of Large Numbers and Xin Xin Law of Large N

4、umbers and their comparison and relations. At the same time, this article also introduced the law of large numbers in mathematics, especially in the application of insurance.Keywords: law of large numbers stochastic variable insurance application一.引言 大數(shù)定律本來是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，又叫作“平均法則”。在隨機(jī)事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎

5、必然的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律就是大數(shù)定律，通俗的說這個(gè)定律就是在實(shí)驗(yàn)條件不變時(shí)，重復(fù)試驗(yàn)多次，隨機(jī)事件的頻率以概率為穩(wěn)定值。比如我們以拋硬幣為例，硬幣落下后哪面朝上本來是件偶然事件，但當(dāng)我們拋硬幣的次數(shù)足夠多時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，硬幣正面朝上的次數(shù)約占總次數(shù)的二分之一。從概率的統(tǒng)計(jì)定義中可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，事件的頻率逐漸穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)附近。人們?cè)趯?shí)踐中觀察其他一些隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，也常常會(huì)發(fā)現(xiàn)大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果的穩(wěn)定性，這就是說，無論個(gè)別隨機(jī)個(gè)體以及它們?cè)谠囼?yàn)過程中的個(gè)別特征如何，大量隨機(jī)個(gè)體的平均效果與每一個(gè)體的特征無關(guān)而且并不是隨機(jī)的。深入考慮之后，人人們會(huì)提出這樣的

6、問題：穩(wěn)定性的確切含義是什么？什么條件下能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定性。大數(shù)定律在實(shí)際研究和生活及學(xué)習(xí)中又有怎樣的應(yīng)用？這就是大數(shù)要研究的問題。二.預(yù)備知識(shí) 1.基本定義定義1.1 設(shè)為一隨機(jī)變量序列，為一隨機(jī)變量，如果對(duì)任意的，有 ，則稱以概率收斂于，記作 定義1.2 設(shè)有一隨機(jī)變量序列，其數(shù)學(xué)期望存在，令，若，則稱隨機(jī)序列服從大學(xué)定律。2.命題 切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，則對(duì)任意常數(shù)，有 或 切比雪夫大數(shù)定律給出了在隨機(jī)變量分布不明確的條件下，只利用其數(shù)學(xué)期望和方差就可對(duì)隨機(jī)變量的概率分布進(jìn)行估值的方法，這就是該不等式的作用。三.幾個(gè)常見大數(shù)定律及其比較 1.馬爾科夫大數(shù)定律 設(shè)隨

7、機(jī)變量序列滿足條件 ， 且 ，則稱服從大數(shù)定律。馬爾科夫大數(shù)定律的使用條件比較寬松，可以運(yùn)用于多種情形。2.切比雪夫大數(shù)定律 設(shè)為一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，若每個(gè)的方差存在，且有共同的上界，即 ，則服從大數(shù)定律。3.伯努利大數(shù)定律 設(shè)為 重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，則對(duì)任意的，有伯努利大數(shù)定律說明：隨著事件的增加，事件發(fā)生的頻率與其概率的偏差大于預(yù)先給定的精度的可能性越來越小，小到可以忽略不計(jì)，這就是頻率穩(wěn)定與概率的含義。而且，波努利大數(shù)定律還提供了用頻率來確定概率的理論依據(jù)。例如要估計(jì)某產(chǎn)品的不合格品率，則可從這類產(chǎn)品中隨機(jī)抽取個(gè)，當(dāng)很大時(shí)，這個(gè)產(chǎn)品中的不合格品

8、的比例可作為不合格品率的估計(jì)值。4.泊松定理 設(shè)為 重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，已知在第次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率是 ，則5.辛欣大數(shù)定律 設(shè)為一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，若的數(shù)學(xué)期望存在，則 服從大數(shù)定律 辛欣大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律告訴我們：算術(shù)平均數(shù)“趨于”它的數(shù)學(xué)期望。這一結(jié)果對(duì)一些實(shí)際問題有著重要的指導(dǎo)意義。例如：我們?cè)跍y(cè)量一物體的長度時(shí)，常常將次測(cè)量結(jié)果取其算術(shù)平均數(shù)，用它作為物體的真是長度。這一做法就可以根據(jù)上述結(jié)果加以解釋。因?yàn)?，由于種種原因，每次測(cè)量都會(huì)產(chǎn)生測(cè)量誤差，這樣，測(cè)量一物體的長度，可看成一隨機(jī)變數(shù)。6.幾個(gè)常見大數(shù)定律之間的比較 6.1 伯努利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的推

9、廣，伯努利大數(shù)定律證明了事件在完全相同下重復(fù)進(jìn)行的隨機(jī)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定性。而泊松定理表明，當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)試驗(yàn)的條件變化時(shí)，頻率仍然具有穩(wěn)定性，隨著的無限增大，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件的頻率趨于穩(wěn)定在各次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)概率的算術(shù)平均值附近。6.2 馬爾科夫大數(shù)定律的假設(shè)條件比切比雪夫大數(shù)定律的建設(shè)條件弱，同時(shí)也不能認(rèn)為不滿足切比雪夫大數(shù)定律的建設(shè)條件就不能成立大數(shù)定律。如下例：設(shè)是一相互獨(dú)立的隨機(jī)序列，且其分布列如下，則有 從而知不是一致有界的，故不滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件，然而，故有，即滿足馬爾科夫大數(shù)定律條件，從而知服從大數(shù)定律。6.3 泊松大數(shù)定律是切比雪夫大數(shù)定律的特例。在泊松定理的題設(shè)，

10、故滿足切比雪夫定律中的條件。6.4 切比雪夫大數(shù)定律是馬爾科夫大數(shù)定律的特例。由切比雪夫大數(shù)定律的假設(shè)可得：即滿足馬爾科夫大數(shù)定律的條件?？芍此啥?，伯努利定律，切比雪夫定律都是馬爾科夫定律的特例。不過馬爾科夫定律不要求隨機(jī)序列的相互獨(dú)立性，它較上述三個(gè)定律的相互獨(dú)立性條件大大放寬。四.大數(shù)定律的應(yīng)用 1.在誤差領(lǐng)域中的應(yīng)用 1.1 儀器測(cè)量已知量時(shí)，設(shè)次獨(dú)立得到的數(shù)據(jù)為，假設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差，問：當(dāng)充分大時(shí)，是否可取作為儀器測(cè)量誤差的方差的值？ 解：把作為個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的觀察值，則 儀器第次測(cè)量的誤差的數(shù)學(xué)期望，設(shè)， 則也相互獨(dú)立服從于統(tǒng)一分布，在無系統(tǒng)誤差時(shí)，既有 由切比雪夫大數(shù)

11、定律，可得：，即:從而當(dāng)時(shí)隨機(jī)變量以概率收斂于，即當(dāng)充分大時(shí)，可取作為儀器測(cè)量誤差的方差的值。 根據(jù)大數(shù)定律，對(duì)于隨機(jī)誤差，應(yīng)有。這說明當(dāng)測(cè)量次數(shù)較多時(shí)，實(shí)際數(shù)據(jù)的平均值和預(yù)測(cè)真值的差以很大概率趨向于0，因此，用求樣本數(shù)據(jù)平均值的方法來進(jìn)行測(cè)量是可行的。2.在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 2.1 計(jì)算定積分的近似值 解：為了解這種近似計(jì)算的依據(jù)，先進(jìn)行如下分析： 若令為均勻分布的概率密度函數(shù)，即則，而函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 根據(jù)大數(shù)定律的應(yīng)用可對(duì)該數(shù)學(xué)期望值進(jìn)行估計(jì)，即 樣本： 故可用 這種近似計(jì)算的具體過程是：欲計(jì)算的近似值，則應(yīng)先取樣本數(shù)列，再求函數(shù)數(shù)列，以此求出，即作為的近似值。2.2 假設(shè) 求其極限。 解

12、： 假設(shè)隨機(jī)變量，在上均勻分布，且相互獨(dú)立，有 由于獨(dú)立同分布，所以獨(dú)立同分布，根據(jù)辛欣大數(shù)定律知：2.3 在伯努利試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率為，若在第次和次試驗(yàn)中都出現(xiàn)，則令；其它情況下，令，證明：服從大數(shù)定律 證明：為同分布隨機(jī)變量序列，其共同分布為： 且，從而，,又當(dāng)時(shí)，所以 又因?yàn)?于是有： 即馬爾科夫條件成立，故服從大數(shù)定律。3.在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用 大數(shù)定律是保險(xiǎn)業(yè)運(yùn)行的重要數(shù)理基礎(chǔ)，大數(shù)定律的運(yùn)作?？梢詫€(gè)別風(fēng)險(xiǎn)單位遭遇損失的不確定性轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)單位集合的損失的確定性。由于與損失金額的預(yù)測(cè)具有相關(guān)性，大數(shù)定律的運(yùn)用直接關(guān)系到補(bǔ)償或給付的實(shí)現(xiàn)程度和保險(xiǎn)經(jīng)營的穩(wěn)定性。 3.1 保費(fèi)的制定 以切

13、比雪夫大數(shù)定律為例，該極限定理運(yùn)用到保險(xiǎn)行業(yè)，相當(dāng)于有個(gè)投保人或被保險(xiǎn)人同時(shí)投保了個(gè)相互獨(dú)立的保險(xiǎn)標(biāo)的，用表示每個(gè)標(biāo)的實(shí)際發(fā)生損失的大小。其中為理論上每個(gè)投保人應(yīng)繳納的純保費(fèi)，為平均每個(gè)投保人實(shí)際獲得的賠款金額，當(dāng)投保人足夠多時(shí)，即時(shí)，實(shí)際賠款金額等于理論上的純保費(fèi)，這一定律說明在承保標(biāo)的數(shù)量足夠大時(shí)，保險(xiǎn)人收取的純保費(fèi)應(yīng)與投保人所能獲得的賠償金額的期望值相等。 3.2 計(jì)算保險(xiǎn)單位數(shù) 假設(shè)某類保險(xiǎn)有100個(gè)被保險(xiǎn)單位，每個(gè)單位的損失概率為，由于一般情況下各個(gè)投保單位都是獨(dú)立的，所以保險(xiǎn)損失次數(shù)服從二項(xiàng)分布 即，其中。設(shè)，根據(jù)中心極限定理及分布的相關(guān)性質(zhì)有：，則損失次數(shù)在區(qū)間這一范圍內(nèi)的概率是

14、，及損失概率以的置信度落在區(qū)間之內(nèi)，這樣實(shí)際損失變動(dòng)與保險(xiǎn)單位總數(shù)比率是，顯然出入較大。大數(shù)定律告訴我們，在有足夠多的標(biāo)的數(shù)時(shí)，實(shí)際損失結(jié)果與預(yù)期損失結(jié)果的誤差將很小。因此，若要減小實(shí)際損失的變動(dòng)的比率，必須增大保險(xiǎn)單位數(shù)。例如我們將保險(xiǎn)單位數(shù)增加到，同樣取，則可計(jì)算出此時(shí)這樣實(shí)際損失變動(dòng)與保險(xiǎn)單位總數(shù)比率是，這樣就大大降低了比率數(shù)，從而更有利于保險(xiǎn)公司制定合理公正的費(fèi)率。那么，又該如何確定保險(xiǎn)單位數(shù)呢？用表示被保險(xiǎn)單位的損失的隨機(jī)變量，由大數(shù)定律及中心極限定理知，當(dāng)很大時(shí)保險(xiǎn)的平均損失次數(shù)，從而可得的一個(gè)置信水平為的置信區(qū)間為，實(shí)際損失變動(dòng)與保險(xiǎn)單位總數(shù)的比率為。若要小于某個(gè)具體常數(shù)，則可由

15、解出，即可確定最低但為保險(xiǎn)數(shù)。3.3 降低投保人平均危險(xiǎn)值 大數(shù)定律建立在“大數(shù)”的基礎(chǔ)上，即通過承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)主體的增多，將保險(xiǎn)產(chǎn)品承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)在更多風(fēng)險(xiǎn)單位中分?jǐn)偧僭O(shè)投保人承擔(dān)了個(gè)危險(xiǎn)相同，相互獨(dú)立的風(fēng)險(xiǎn)單位，我們用相互獨(dú)立且同分布的隨機(jī)變量表示每個(gè)保險(xiǎn)單位的損失量，對(duì)單個(gè)被保險(xiǎn)人而言，面臨的損失是實(shí)際損失與期望損失的偏差。用的標(biāo)準(zhǔn)差表示。平均每個(gè)被保險(xiǎn)人的損失與損失偏差分別為：，這樣個(gè)被保險(xiǎn)人面臨的總體損失為：，其標(biāo)準(zhǔn)差為，而將每個(gè)被保險(xiǎn)人看做單個(gè)個(gè)體，他們所面臨的危險(xiǎn)總和是，顯然即保險(xiǎn)人面臨的整體危險(xiǎn)小于所有單個(gè)被保險(xiǎn)人面臨的危險(xiǎn)總和。所以，如果將個(gè)被保險(xiǎn)人看成一個(gè)整體，則每個(gè)被保險(xiǎn)人面臨的平

16、均危險(xiǎn)隨著被保險(xiǎn)人數(shù)的增加而減少。 此外，對(duì)于保險(xiǎn)來說，大數(shù)定律不僅適用于保險(xiǎn)標(biāo)的數(shù)量方面，而且亦適用于時(shí)間方面。例如，在火災(zāi)保險(xiǎn)中，某保險(xiǎn)人承包了幢樓房，預(yù)計(jì)其中的一部分將遭受不同程度的損失。然而，火災(zāi)發(fā)生的次數(shù)及樓房受損程度，在任何一段時(shí)間內(nèi)都是不一樣的。但經(jīng)過較長時(shí)間的觀察，仍可根據(jù)大數(shù)定律來求得一個(gè)正確的估計(jì)，得到一定時(shí)期的近似損失值。 4.結(jié)語 大數(shù)定律反映了我們的世界的一個(gè)基本規(guī)律：在一個(gè)包含眾多個(gè)體的大群體中，由于偶然性而產(chǎn)生的個(gè)體差異，著眼在一個(gè)個(gè)的個(gè)體上看，是雜亂無章，毫無規(guī)律，難于預(yù)測(cè)的。但由于大數(shù)定律的作用，整個(gè)群體卻能呈現(xiàn)某種穩(wěn)定的形志。例如一個(gè)封閉容器中的氣體，它包含大量的分子，它們各自在每時(shí)每刻的位置、速度和方向，都以種偶然的方式在變化著，但容器中的氣體仍能保有一個(gè)穩(wěn)定的壓力和溫度。電流是由電子運(yùn)動(dòng)形成的，每個(gè)電子的行為雜乩而不可預(yù)測(cè)，但整體看呈現(xiàn)一個(gè)穩(wěn)定的電流強(qiáng)度。在社會(huì)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，群體中個(gè)體的狀況千差萬別，且