橢圓中的定點定值問題

1、橢圓中的定點、定線、定值問題例1（2012鹽城二模）已知橢圓的離心率為, 且過點, 記橢圓的左頂點為.(1) 求橢圓的方程；(2) 設垂直于軸的直線交橢圓于兩點, 試求面積的最大值；AP·xyO(3) 過點作兩條斜率分別為的直線交橢圓于兩點, 且, 求證: 直線恒過一個定點. 解:(1)由,解得,所以橢圓的方程為 (2)設,則又, 所以,當且僅當時取等號從而, 即面積的最大值為(3)因為A(1,0),所以,由,消去y,得,解得x=1或,點 同理,有,而, 直線BC的方程為,即,即 所以,則由,得直線BC恒過定點(注: 第(3)小題也可采用設而不求的做法,即設,然后代入找關系)相關題：

2、（江蘇2010年16分）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點M、，其中m>0,。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）?！敬鸢浮拷猓海?）設點P（，），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）。直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB

3、方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過軸上的一定點D（1，0）。例2（2012南京二模）如圖，在平面直角坐標系xoy中， 橢圓C：的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切（1）求橢圓C的方程；（2）已知點P(0,1),Q(0,2),設M,N是橢圓C上關于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T。求證：點T在橢圓C上。17（本小題滿分14分）解：（1）由題意知b 3分因為離心率e，所以 所以a2 所以橢圓C的方程

4、為1 6分（2）證明：由題意可設M，N的坐標分別為(x0，y0)，(x0，y0)，則直線PM的方程為yx1， 直線QN的方程為yx2 8分證法一 聯(lián)立解得x，y，即T(，) 11分由1可得x0284y02因為()2()21，所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上 14分證法二 設T(x，y)聯(lián)立解得x0，y0 11分因為1，所以()2()21整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上 14分相關題： （2012年北京西城一模理19）已知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.（）求橢圓的方程；（）設過點且斜率不為的直線交橢圓于

5、，兩點.試問軸上是否存在定點，使平分？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由. 解：（）由 ， 得 . 依題意是等腰直角三角形，從而，故. 所以橢圓的方程是. （）設，直線的方程為. 將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得 . 所以 ，. 若平分，則直線，的傾斜角互補，所以. 設，則有 .將 ，代入上式，整理得 ，所以 . 將 ，代入上式，整理得 . 由于上式對任意實數(shù)都成立，所以 . 綜上，存在定點，使平分.例3（2011重慶理）如圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準線的方程為 （）求該橢圓的標準方程； （）設動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值

6、？若存在，求的坐標；若不存在，說明理由解：（I）由解得，故橢圓的標準方程為 （II）設，則由得因為點M，N在橢圓上，所以，故 設分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知因此所以所以P點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標為相關題：（2011南通三模）(本題滿分16分)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓(ab0)的離心率為，其焦點在圓x2+y2=1上(1)求橢圓的方程；(2)設A，B，M是橢圓上的三點(異于橢圓頂點)，且存在銳角，使 (i)求證：直線OA與OB的斜率之積為定值；(ii) 求證：OA2+OB2為定值。思路

7、分析:本題第(2)問中，可以證明線段AB的中點恒在定橢圓x2+2y2=1上后一問與前一問之間具有等價關系解：(1)依題意，得 c=1于是，a=，b=1 所以所求橢圓的方程為 (2) (i)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則， 又設M(x，y)，因，故 因M在橢圓上，故整理得將代入上式，并注意，得 所以，為定值 (ii)，故又，故所以，OA2+OB2=3 備用：（2012遼寧理）如圖，橢圓，動圓.點分別為的左、右頂點，與相交于四點（1）求直線與直線交點的軌跡方程；（2）設動圓與相交于四點，其中，.若矩形與矩形的面積相等，證明：為定值【命題意圖】本題主要考查圓的方程、橢圓方程、軌跡求法、解析幾何中的定值問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力