矩法估計(jì)的分析及應(yīng)用

1、 矩法估計(jì)的分析及應(yīng)用 金融數(shù)學(xué)10本 黃小聽(tīng) 17摘要：矩法估計(jì)就是根據(jù)子樣所提供的信息，對(duì)母體的分布或分布的數(shù)字特征等作出合理的統(tǒng)計(jì)推斷的一種方法。它不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題(比如預(yù)測(cè)股市行情，教育統(tǒng)計(jì)學(xué)等），也有很大的用途。關(guān)鍵字：矩法估計(jì)；應(yīng)用；評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)；優(yōu)缺點(diǎn) 一 什么是矩法估計(jì)對(duì)于隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，矩是其最廣泛，最常用的數(shù)字特征，母體的各階矩一般與的分布中所含的未知參數(shù)有關(guān)，有的甚至就等于未知參數(shù)。由辛欽大數(shù)定律知，簡(jiǎn)單隨機(jī)子樣的子樣原點(diǎn)矩依概率收斂于相應(yīng)的母體原點(diǎn)矩Er,r = 1,2，。這就啟發(fā)我們想到用子樣矩替換母體矩（替換原則），進(jìn)而找出未知參數(shù)的估計(jì)，基于這種

2、思想求估計(jì)量的方法稱為矩法。用矩法求得的估計(jì)稱為矩法估計(jì)，簡(jiǎn)稱矩估計(jì)。它是由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜Pearson于1894年提出的。二 矩法估計(jì)的理論依據(jù)由辛欽大數(shù)定律知： 即對(duì)任意，有或三 如何求解矩法估計(jì)設(shè)母體具有已知類型的概率函數(shù)， (，)是k個(gè)未知參數(shù)。，是取自母體的一個(gè)子樣，假設(shè)的k階矩=E存在，顯然，j<k都存在，并且是，的函數(shù)(，)。子樣，的j階矩為=。我們?cè)O(shè) (，)=，j=1,2, ，k （） 得到含k個(gè)未知數(shù)，的k個(gè)方程式，解這k個(gè)聯(lián)立方程組就可以得到，的一組解： =（，），i=1,2, ，k 用（）中的解估計(jì)參數(shù)就是矩法估計(jì)。由于是，子樣的函數(shù)，所以是統(tǒng)計(jì)量。(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)

3、中，我們一般用表示的估計(jì)量。)四 矩法估計(jì)在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題上的應(yīng)用 例1： 母體均值E與方差D為矩法估計(jì)。 解 ：設(shè)，是母體的子樣。母體具有均值E和方差 D=E-（E 按照（）式得方程式組 = E= = E=（E+ D= 解這一方程組得E和D的矩法估計(jì) = =例2: 已知大學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)N(,2)，均值,方差2均未知， 1,n為取自母體的一個(gè)子樣，(x1,xn)是子樣的一組觀測(cè)值,求與2的 矩法估計(jì)。 解：注意到有兩個(gè)未知參數(shù)，由矩法估計(jì)知需兩個(gè)方程，按照()式得方程組 解這一方程組得與的矩法估計(jì)量=，=分析：注意到我們這里求出與2的矩法估計(jì)未用到母體的分布。這樣對(duì),2作出了估計(jì)

4、，也就對(duì)整個(gè)母體分布作出了推斷，進(jìn)而對(duì)大學(xué)生英語(yǔ)四級(jí)考試成績(jī)相關(guān)的其它數(shù)字特征（如標(biāo)準(zhǔn)分、標(biāo)準(zhǔn)差、偏態(tài)系數(shù)等）作出了估計(jì)。矩法估計(jì)還有很多其他實(shí)際應(yīng)用，如根據(jù)幾天前的交易數(shù)據(jù)估計(jì)當(dāng)天的股市行情、根據(jù)隨機(jī)抽樣的結(jié)果估計(jì)生產(chǎn)線上螺絲釘?shù)暮细衤?、教育統(tǒng)計(jì)學(xué)等。五 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)1.一致估計(jì)定義：設(shè)母體具有概率函數(shù)，為未知參數(shù)。=（，）為的一個(gè)估計(jì)量，n為子樣容量。若對(duì)任意>0，式P成立，則稱為參數(shù)的一致估計(jì)。是母體均值E的一個(gè)一致估計(jì)，是的E一個(gè)一致估計(jì)，子樣方差是母體方差D的一致估計(jì)。2.無(wú)偏估計(jì)估計(jì)的一致性是大子樣所呈現(xiàn)的性質(zhì)，當(dāng)子樣容量不大時(shí)，估計(jì)的這種性質(zhì)就不存在。現(xiàn)在給出另一種對(duì)任

5、何子樣容量都適用的評(píng)價(jià)估計(jì)量的準(zhǔn)則，沒(méi)有系統(tǒng)偏差的性質(zhì)在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作無(wú)偏性，顯然它可以作為衡量一個(gè)估計(jì)量好壞的另一準(zhǔn)則。定義： 設(shè)=（，）為母體的概率函數(shù)的未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量。若對(duì)一切，關(guān)系式 =0 成立。則稱為的無(wú)偏估計(jì)，否則稱為有偏的。顯然，子樣均值是母體E的無(wú)偏估計(jì)，子樣原點(diǎn)矩是母體原點(diǎn)矩E的無(wú)偏估計(jì)，子樣方差不是母體方差D的無(wú)偏估計(jì)。一般地，二階或二階以上的子樣中心矩就不是母體中心矩的無(wú)偏估計(jì)。若我們?nèi)?=E= 作為母體方差D的估計(jì)，則有 E=E= D= D由此推出是母體方差D的無(wú)偏估計(jì)。從不是D的無(wú)偏估計(jì)也可看出，若，是參數(shù)，的無(wú)偏估計(jì)，函數(shù)并不一定是的無(wú)偏估計(jì)。由有偏估計(jì)修改成無(wú)

6、偏估計(jì)是一種常用的方法，一般說(shuō)來(lái)，如果是參數(shù)的有偏估計(jì)，并且E=a+b，這里a、b是常數(shù)（b0），于是我們能構(gòu)造的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)=。若的一個(gè)估計(jì)不一定無(wú)偏，但當(dāng)n時(shí)，E則稱為的漸近無(wú)偏估計(jì)。顯然，子樣方差=是母體方差的一個(gè)漸近無(wú)偏估計(jì)。3. 有效估計(jì)定義：設(shè)和都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，若對(duì)任意， D( ) D( )且至少對(duì)于某個(gè)上式中的不等號(hào)成立，則稱 較 有效。六 矩法估計(jì)的優(yōu)缺點(diǎn)矩法估計(jì)原理簡(jiǎn)單、使用方便，使用時(shí)可以不知母體的分布，而且具有一定的優(yōu)良性質(zhì)（如矩估計(jì)為E的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)），因此在實(shí)際問(wèn)題，特別是在教育統(tǒng)計(jì)問(wèn)題中被廣泛使用。但在尋找參數(shù)的矩法估計(jì)量時(shí)，對(duì)母體原點(diǎn)矩不存在的分布柯西分布如等不能用，另一方面它只涉及母體的一些數(shù)字特征，并未用到母體的分布，因此矩法估計(jì)量實(shí)際上只集中了母體的部分信息，這樣它在體現(xiàn)母體分布特征上往往性質(zhì)較差，只有在樣本容量較大時(shí)，才能保障它的優(yōu)良性,因而理論上講，矩法估計(jì)是以大樣本為應(yīng)用對(duì)象的。參考文獻(xiàn)：1 魏