第七章空間解析幾何

1、第七章空間解析幾何第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 1、空間直角坐標(biāo)系 間取定一點(diǎn)和三個(gè)互相垂直且正向符合右手規(guī)則的單位向量,它們確定了三條互相垂直的數(shù)軸,稱這三條數(shù)軸構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,記作或.2、標(biāo)原點(diǎn)：定點(diǎn).3、坐標(biāo)軸：即三條數(shù)軸.確定的坐標(biāo)軸依次稱為： 橫軸:軸；縱軸:軸；豎軸:軸.4、坐標(biāo)軸平面：三條坐標(biāo)軸中的任意兩條可以確定一個(gè)平面，這樣定出的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面分別稱為：面；面；面.(5)八個(gè)掛限：三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分，每一部分叫做掛限.如圖依次分別稱為：第一掛限、第二掛限、第八掛限. 依次分別用,及表示.圖形>with(plots):x:=a->

2、0.05*sin(s)*cos(t)+a:y:=b->0.05*sin(s)*sin(t)+b:z:=c->0.05*cos(s)+c:XOY:=plot3d(s,t,0,s=-1.1,t=-1.1): YOZ:=plot3d(0,s,t,s=-1.1,t=-1.1):ZOX:=plot3d(s,0,t,s=-1.1,t=-1.1):A:=plot3d(x(0.5),y(0.5),z(0.5),t=0.2*Pi,s=0.Pi,style=patch):display(XOY,YOZ,ZOX,A,style=patch);二、空間點(diǎn)的坐標(biāo)1、點(diǎn)(在坐標(biāo)系中)的坐標(biāo)注意：特殊點(diǎn)的表示.

3、 2、空間兩點(diǎn)間的距離與為空間中的兩個(gè)點(diǎn),則兩點(diǎn)間的距離為：.第二節(jié) 曲面及其方程一、旋轉(zhuǎn)曲面1、球面圖形> with(plots):x:= sin(s)*cos(t):y:= sin(s)*sin(t):z:= cos(s): plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,s=0.Pi,style=patch);2、圓錐面 .圖形> x:=1/2*u*cos(t):y:=1/2*u*sin(t):z:=u:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);3、旋轉(zhuǎn)雙曲面(1) 旋轉(zhuǎn)

4、雙葉雙曲面：將坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,所生成的旋轉(zhuǎn)曲面 .圖形> with(plots):x:=4*cosh(u):y:=2*sinh(u)*cos(t): z:=2*sinh(u)*sin(t): F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-2.2):G:=plot3d(-x,y,z,t=0.2*Pi,u=-2.2):display(F,G, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);(2) 旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面：將坐標(biāo)面上的雙曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周,所生成的旋轉(zhuǎn)曲面 . 圖形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y

5、:=4*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);4、旋轉(zhuǎn)拋物面：將坐標(biāo)面上的拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所生成的旋轉(zhuǎn)曲面 即 .圖形> x:=1/4*u*cos(t):y:=1/4*u*sin(t): z:=u2:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.4, axes= BOXED,scaling=CONSTRAINED ,style=patch);二、柱面1、常見(jiàn)的柱面(1) 圓柱面：.圖形> plot3d(

6、4*cos(t),4*sin(t),z,t=0.2*Pi,z=-6.6,style=patch);(2) 拋物柱面：.圖形> plot3d(y2/2,y,z,y=-3.3,z=-3.3,style=patch);(3) 平面：.圖形> plot3d(x,x,z,y=-3.3,z=-3.3,style=patch);2、平行于坐標(biāo)軸的柱面(1) 平行于軸的柱面：.(2) 平行于軸的柱面：.(3) 平行于軸的柱面：.三、二次曲面1、二次曲面：三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面. 注：平面被稱為一次曲面.2、常見(jiàn)二次曲面(1) 橢圓錐面. 圖形> x:=1/4*u*cos(t):

7、y:=1/3*u*sin(t):z:=u:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1,style=patch);(2) 橢球面.圖形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi,style=patch);圖形> x:=4*sin(u)*cos(t):y:=3*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):plot3d(x,if(y>2,2,3*sin(u)*sin(t),z,t=0.2*Pi,u=0.Pi,style=patch);(3) 單

8、葉雙曲面.圖形> x:=4*cosh(u)*cos(t): y:=3*cosh(u)*sin(t): z:=2*sinh(u):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-1.1,style=patch);(4) 雙葉雙曲面.圖形> with(plots): x:=4*sinh(u)*cos(t): z:=3*sinh(u)*sin(t): y:=2*cosh(u):F:=plot3d(x,-y,z,t=0.2*Pi,u=-2.0): G:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.2):display(F,G,style=patch);(5) 橢圓拋物面.圖形&g

9、t; x:=4*u*cos(t):y:=3*u*sin(t): z:=u2:plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.2,style=patch);(6) 雙曲拋物面(馬鞍面). 圖形> x:=4*t:y:=3*u:z:=t2-u2:plot3d(x,y,z,t=-4.4,u=-(15+t2)(1/2).(15+t2)(1/2),style=patch,view=-15.7);(7) 橢圓柱面. 圖形> x:=4*cos(t):y:=3*sin(t):plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,z=-4.4,style=patch);(8) 雙曲柱面. 圖形> wi

10、th(plots):x:=4*sec(t):y:=3*tan(t):F:=plot3d(x,y,z,t=-Pi/4.Pi/4,z=-4.4):G:=plot3d(-x,y,z,t=-Pi/4.Pi/4,z=-4.4):display(F,G,style=patch);(9) 拋物面柱面. 圖形> plot3d(x,2*x2,z,x=-1.1,z=-1.1,style=patch);第三節(jié) 空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程1、空間曲線：空間曲線是兩個(gè)空間曲面的交線.2、空間曲線的一般方程 例1 方程組 表示怎樣的曲線？圖形> with(plots):F:=plot3d(cos(

11、t),sin(t),u*(6-2*cos(t)/3,t=0.2*Pi,u=0.1):G:=plot3d(u*cos(t),u*sin(t),(6-2*u*cos(t)/3,t=-0.2*Pi,u=0.1):display(F,G,style=patch);解：由于表示圓柱面, 而表示平面,因此,交線為橢圓.圖形> with(plots):tubeplot(cos(t),sin(t),(6-2*cos(t)/3, t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,style=patch);例2 方程組 表示怎樣的曲線？圖形> with(plots):x:=sin(u)*cos

12、(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2):G:=plot3d(1/2+1/2*cos(t),1/2*sin(t),v,t=0.2*Pi,v=0.1):display(F,G,grid=25,20, axes= BOXED ,scaling=CONSTRAINED,style=patch);解：由于表示上半球面,而表示圓柱面, 因此交線如圖.圖形> with(plots):x:= 1/2+1/2*cos(t):y:= 1/2*sin(t):z:=(1-x2-y2)(1/2):tubeplot(x,y,

13、z, t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,view=-1.1,-1.1,0.1, scaling=CONSTRAINED,axes= BOXED,style=patch);二、空間曲線的參數(shù)方程1、曲線的參數(shù)方程： 2、說(shuō)明：當(dāng)給定時(shí)，就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)，隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的全部點(diǎn).三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影1、投影柱面 設(shè)空間曲線的一般方程為： 消去變量后得曲線關(guān)于的投影柱面：.2、投影曲線 投影柱面與面的交線： 3、類(lèi)似地：可定義空間曲線在其他坐標(biāo)面上的投影 例4 已知兩球面的交線的方程為 求在面上的投影方程.圖形> with(plots):x:=s

14、in(u)*cos(t):y:=sin(u)*sin(t):z:=cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi):G:= plot3d(x,y+1,z+1,t=0.2*Pi,u=0.Pi):display(F,G,grid=50,20,style=patch);解：由得 , 再減去得, 或.將代入后得 , 化簡(jiǎn)后得曲線關(guān)于的投影柱面方程 .于是在面上的投影方程為 圖形> with(plots):x:=1/2(1/2)*cos(t):y:=1/2+1/2*sin(t):tubeplot(x,y,0,t=0.2*Pi,radius=0,grid=150,2,s

15、tyle=patch,thickness=1);四、空間立體或曲面坐標(biāo)面上的投影1、空間立體坐標(biāo)面上的投影圖形> with(plots):x:=1+sin(u)*cos(t):y:=1+sin(u)*sin(t):z:=1+cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2):G:= plot3d(1+u*cos(t),1+u*sin(t),-u,t=0.2*Pi,u=-1.0):F1:=plot3d(0,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=green):G1:= plot3d(0,1+u*sin(t),-u,t=0.2*Pi,u=-1.

16、0,color=green):F2:=plot3d(x,0,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=yellow):G2:= plot3d(1+u*cos(t),0,-u,t=0.2*Pi,u=-1.0,color=yellow):F3:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi,u=0.Pi/2,color=blue):display(F,G,F1,G1,F2,G2,F3,grid=50,20,style=patch);2、空間曲面坐標(biāo)面上的投影圖形> with(plots): x:=3+cosh(u)*cos(t): y:=3+cosh(u)*sin(t): z:=5/

17、2+sinh(u): F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=-3/2.3/2):F1:=plot3d(0,y,z,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=green):F2:=plot3d(x,0,z,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=yellow):F3:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi, u=-3/2.3/2,color=blue):display(F,style=patch);display(F1,F2,F3,style=patch);display(F,F1,F2,F3,style=patch);例5 設(shè)一個(gè)立體由上半球面和錐面所圍成求它在面上的投影圖形> with(plots):x:=2*sin(u)*cos(t):y:=2*sin(u)*sin(t):z:=2*cos(u):F:=plot3d(x,y,z,t=0.2*Pi,u=0.Pi/6):G:= plot3d(u*cos(t),u*sin(t),3(1/2)*u,t=0.2*Pi,u=0.1):F1:=plot3d(x,y,0,t=0.2*Pi,u=0.Pi/6,color=blue):dis