解析幾何第四版呂林根課后習題答案第二章

1、第二章 軌跡與方程2.1平面曲線的方程1.一動點到的距離恒等于它到點的距離一半，求此動點的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解：動點在軌跡上的充要條件是。設的坐標有 化簡得 故此動點的軌跡方程為 此軌跡為橢圓 2.有一長度為0）的線段，它的兩端點分別在軸正半軸與軸的正半軸上移動，是求此線段中點的軌跡。，為兩端點，為此線段的中點。 解：如圖所示 設.則.在中有 .把點的坐標代入此式得: .此線段中點的軌跡為. 3. 一動點到兩定點的距離的乘積等于定值,求此動點的軌跡. 解:設兩定點的距離為,并取兩定點的連線為軸, 兩定點所連線段的中垂線為軸.現(xiàn)有:.設在中 . 在中. 由兩式得:. 4.設是等

2、軸雙曲線上任意三點,求證的重心必在同一等軸雙曲線上. 證明:設等軸雙曲線的參數(shù)方程為 ,.重心 5.任何一圓交等軸雙曲線于四點,及.那么一定有. 證明:設圓的方程.圓與等軸雙曲線交點,則代入得整理得: 可知是它的四個根,則有韋達定理. 8. 把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.; ; .解:令,代入方程得參數(shù)方程為.令代入方程得當時,當時,故參數(shù)方程為.2.2 曲面的方程1、 一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方程。解：設在給定的坐標系下，動點，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為2、在空間，選取適當?shù)淖鴺讼?，求下列點的軌跡方程：（1）到兩定點距離之比

3、為常數(shù)的點的軌跡；（2）到兩定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡；（3）到兩定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡；（4）到一定點和一定平面距離之比等于常數(shù)的點的軌跡。解：（1）取二定點的連線為軸，二定點連接線段的中點作為坐標原點，且令兩距離之比的常數(shù)為，二定點的距離為，則二定點的坐標為，設動點，所求的軌跡為，則亦即經(jīng)同解變形得：上式即為所要求的動點的軌跡方程。（2）建立坐標系如（1），但設兩定點的距離為，距離之和常數(shù)為。設動點，要求的軌跡為，則亦即兩邊平方且整理后，得： （1）從而（1）為即：由于上述過程為同解變形，所以（3）即為所求的軌跡方程。（3）建立如（2）的坐標系，設動點，所求的軌跡為，則類似于（

4、2），上式經(jīng)同解變形為：其中 （*）（*）即為所求的軌跡的方程。（4）取定平面為面，并讓定點在軸上，從而定點的坐標為，再令距離之比為。設動點，所求的軌跡為，則將上述方程經(jīng)同解化簡為： （*）（*）即為所要求的軌跡方程。3. 求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點，且經(jīng)過點；（3）一條直徑的兩端點是（4）通過原點與解：（1）由本節(jié)例5 知，所求的球面方程為：（2）由已知，球面半徑所以類似上題，得球面方程為（3）由已知，球面的球心坐標，球的半徑，所以球面方程為：（4）設所求的球面方程為：因該球面經(jīng)過點，所以 （1）解（1）有所求的球面方程為2.3 母線平行于坐標軸的柱面方程1、畫

5、出下列方程所表示的曲面的圖形。（1） 解：各題的圖形如下：（1）2.4 空間曲線的方程1、平面與的公共點組成怎樣的軌跡。解：上述二圖形的公共點的坐標滿足從而：（）當時，公共點的軌跡為： 及 即為兩條平行軸的直線；（）當時，公共點的軌跡為： 即為軸；（）當時，公共點的軌跡為： 即過且平行于軸的直線；（）當或時，兩圖形無公共點。2、指出下列曲面與三個坐標面的交線分別是什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）曲面與面的交線為：此曲線是圓心在原點，半徑且處在面上的圓。同理可求出曲面與面及面的交線分別為：， 它們分別是中心在原點，長軸在軸上，且處在面上的橢圓，以及中心在原點，長軸在軸上，且

6、處在面上的橢圓；（2）由面與面，面，面的交線分別為：,亦即：,即為中心在原點，長軸在軸上，且處在面上的橢圓；中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線，以及中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線。（3）曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為中心在原點，實軸在軸，且處在面上的雙曲線；無軌跡以及中心在原點，實軸在軸上，且處在面上的雙曲線。（4）曲面與面，面，面的交線分別為：,亦即,即為坐標原點，頂點在原點以軸為對稱軸，且處在面上的拋物線，以及頂點在原點，以軸為對稱軸，且處在面上的拋物線。3. 求下列空間曲線對三個坐標面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解：（1）從方程組分別消去變量，得：亦即： （） （） （）（）是原曲線對平面的射影柱面方程；（）是原曲線對平面的射影柱面方程；（）是原曲線對平面的射影柱面方程。（2）按照與（1）同樣的方法可得原曲線（）對平面的射影柱面方程；（）對平面的射影柱面方程；（）對平面的射影柱面方程。（3） 原曲線對平面的射影柱面方程：原曲線對平面的射影柱面方程：原曲線對平面