球的體積和表面積(答案)

1、球的體積和表面積學(xué)習(xí)目標(biāo)1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問題.歹知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí)知識(shí)點(diǎn)一球的體積公式與表面積公式4 1 .球的體積公式 Vn.q(其中R為球的半徑).32 .球的表面積公式 S>= 4 7R2.思考 球有底面嗎？球面能展開成平面圖形嗎？答球沒有底面，球的表面不能展開成平面知識(shí)點(diǎn)二球體的截面的特點(diǎn)1 .球既是中心對(duì)稱的幾何體，又是軸對(duì)稱的幾何體， 它的任何截面均為圓，它的三視圖也都是圓.2 .利用球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離構(gòu)建直角三角形是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問 題的主要途徑.歹題型探究重點(diǎn)突破題型一球的表面積和

2、體積例1 (1)已知球的表面積為 64 71,求它的體積；(2)已知球的體積為日為求它的表面積.3解 (1)設(shè)球的半徑為 R,則4欣=64兀，解得R= 4,所以球的體積V= 4q = ：兀43= 256兀333(2)設(shè)球的半徑為 R則3 tR = 3兀,解得R= 5,所以球的表面積 S= 4g=4 ttX 52 = 100 th跟蹤訓(xùn)練1 一個(gè)球的表面積是16 為則它的體積是()A.64 兀 B.64兀C.32d D.32兀答案 D解析 設(shè)球的半徑為 R則由題意可知4痘= 167t,故R= 2.所以球的半徑為2,體積V= 4-R3332題型二球的截面問題例2平面“截千O的球面所得圓的半徑為 1

3、.球心O到平面a的距離為42,則此球的體積 為（）A.小頁B.4 /3兀C.4 郃氏D.6 艱兀答案 B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為 O ,方克三XM為截面圓上任一點(diǎn)，.則 OO =也，O M= 1.'_J.OM=叱也2+1 = yj3.即球的半徑為，3. ' v= z x 寸3）3= 43 兀 3跟蹤訓(xùn)練2已知長方體共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為g 乖,VT5,則它的外接球表面積為.答案 9兀解析 如圖，是過長方體的一條體對(duì)角線AB的截面，設(shè)長方體有公共頂點(diǎn)的三條棱的長分別為 x, y, z,則由已知，產(chǎn)=m，/ =小，得 yz =。5,解得 * y = 1,、zx = /75,、

4、z=m.所以球的半徑 R= 2AB= 2y x2 + y2+ z2 = 2,所以S球=4欣=9兀題型三球的組合體與三視圖 例3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積正覘圖惻覘圖2一2一解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為_122_ _ .2 一，S= 2*4 ttX 1 +6X2 兀X 1 =24 + 兀 該幾何體的體積為V= 23+2xg 7tx 13= 8 + 4p 2 33跟蹤訓(xùn)練3有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，第二個(gè)球與這個(gè)正方體各條棱相切，第三 個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比 解設(shè)正方體的棱長為

5、a.正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心, 切點(diǎn)是正方體六個(gè)面的中心, 經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面, 如圖（1）所示，則有2n = a,即1 = 2，所以 S1=4 < 2=而2.球與正方體的的各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖（2）所示，則2r2=2a,即r2=ga,22所以S2= 4行2 = 2班.正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面,如圖（3）所示，則有2r3=J3a,即3=W3a,所以 S3 = 4 <3 = 3 7a2.綜上可得 S ： S2 ： S3= 1 ： 2 ： 3.解題技巧軸截面的應(yīng)用例4有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)

6、正三角形，在容器內(nèi)部放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面沒過鐵球和球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度分析分別表示出取出鐵球前后水的體積一由水的體積不變建立等式一求出所求量 解 如圖，O O是球的最大截面，它內(nèi)切于 ABC球的半徑為r.設(shè)將球取出后，水平面在MNNi, MNW C眼于點(diǎn) E.則 DO= r, AD=木r, AB= AC= BC= 2V3r,1 一 2 1 一 3 一上CD= 3r.由圖形知 V 圓錐 ce： V 圓錐 cd= - uME CE i ： 7 u AD CDi= cE : CD.3 3V圓錐C之53又V圓錐CD=3(V3r)2 3r = 3力3, 33

7、4 3V圓錐CD> V球O= 37r qkT = &< , 333<3=CE： (3 r)3,CE= 3/l5r.球從容器中取出后，水的深度為3 15r自杳自糾r當(dāng)堂檢測1 .直徑為6的球的表面積和體積分別是（）A.36 Tt, 144 兀B.36 兀，36 兀C.144 %, 36 兀D.144 兀,144 兀2 .若球的體積與其表面積數(shù)值相等，則球的半徑等于（）1A” B.1 C.2 D.33 .兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是 4 .若球的半徑由 R增加為2R,則這個(gè)球的體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼谋?5 .某幾何體的三視圖如圖所示

8、，則其表面積為側(cè)視圖正視圖甯視圖A.乖兀 cm* 3B.3233c cmN 3C." 兀 cm3D.3兀cm5.若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r, R,則球的表面積為（）課時(shí)精練2A.4 M r + R)B.4 7r2R2C.4妹D. MR+ r)26 .已知底面邊長為 1,側(cè)棱長為山的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為A.*B.4 兀 C.2 兀 D. 4兀337 .如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm,將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為 （）6 cm,L _500 兀 3386

9、6 兀 331 372 兀 332 048 %33二、填空題8.一個(gè)幾何體的三視圖（單位：m）如圖所示，則該幾何體的體積為m3.偏視圖9 .已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上.若球的體積為則正方體的棱長為10 .正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積是11 .圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8 cm的水，若放入三個(gè)相同的球 （球的半徑與圓柱的底面半徑相同 ）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是cm.三、解答題體，求該幾何體的表面積.（其中/ BA930 ）12 .如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑 AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何13 .

10、一個(gè)高為16的圓錐內(nèi)接于一個(gè)體積為972兀的球，在圓錐內(nèi)又有一個(gè)內(nèi)切球，求:(1)圓錐的側(cè)面積；(2)圓錐的內(nèi)切球的體積.當(dāng)堂檢測答案1.答案 B4。解析 球的半徑為3,表面積S= 4兀3。= 36 tz,體積V=w兀3 = 36兀 32.答案 D4 ° 一解析 設(shè)球的半徑為 R,則4戒=三/，所以R= 3. 33 .答案3y2解析 設(shè)大球的半徑為 R,則有4q3= 2X4 7tx 13, 33R3 = 2, . R= 3/2.4 .答案 8 4解析 球的半徑為 R時(shí)，球的體積為 = 4不3,表面積為 &=4后，半徑增加為2R后，球 3的體積為 V2=WK2R)3=WTiR3

11、,表面積為 Sa=4 42 R)2= 16 tR2. 3332 3 tR3內(nèi) c S216隸，所以口 =8，4 啟=4V 4 3S14 tR.nR 3即體積變?yōu)樵瓉淼?8倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?4倍.5 .答案 3兀解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為 1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面1一積的和，即2X4兀+兀=3式課時(shí)精練一、選擇題1 .答案 C2解析由題息可知，6a = 24,a= 2.設(shè)正方體外接球的半徑為R,則y3a= 2R,R= 3f3, v V球= WTR=4'>J3 兀32 .答案 A解析二球的半徑為1,且正方體內(nèi)接于球，球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體

12、的對(duì)角線長為2.不妨設(shè)正方體的棱長為 a,則有3a2 = 4,即 a2 = 3.2 _4_，正萬體的表面積為 6a = 6x=8.33 .答案 A解析由表面積公式知，兩球的表面積之比為R ： F2= 1 ： 9.4 .答案 D解析由正方體的表面積為 24 cm2,得正方體白棱長為 2 cm,故這個(gè)球的直徑為 2cm,故這43個(gè)球的體積為-Tt cm .35 .答案 C解析 方法一 如圖，設(shè)球的半徑為 口,則在RtACDE, DE 21,上了一CE= R r, DC= R+ r.由勾股定理得 4r1=(R+ r)2(R r)2,解得1，、' 飛2= VRr.故球的表面積為 S球=4力1=

13、4不匚八 / 'A方法二 如圖，設(shè)球心為 Q球的半徑為 口,連接OA OB則在RtAAOB, OF是斜邊AB 上的高.由相似三角形的性質(zhì)得 OF=BFAF= Rr,即r2=Rr,故= 炳,故球的表面積為 S 球=4 jRr.6 .答案 D解析 二正四棱柱的底面 邊長為1,側(cè)棱長為 啦,，正四棱柱的體對(duì)角線 的長為 + i+(32=2.又,正四棱柱的頂點(diǎn)在同一球面上，正四棱柱體對(duì)角線恰好是球的一 條直徑，球的半徑 R= 1.4 3 4故球的體積為v= 3成=3兀7 .答案 A解析 利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解.如圖，作出球的一個(gè)截面，則MG= 86=2(cm) , BM= 1AB=

14、 1X8=4(cm).設(shè) 卜、)2 2球的半徑為 R cm,則 R=OM+ MB= (R 2)2 + 42,R= 5,右.V球= 47tX 53= 5005(cm3). 33二、填空題8 .答案 9兀+ 183一 2'解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解 .由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為上面是長方體，其長、寬、高分別為6、3、1,427所以 V=-TtX x 2+1X3X6 = 9 71+ 18.389 .答案 。3解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長.設(shè)正方體棱長為a,球半徑為R4?93則7R= -Tt,FR=", - V3a= 3,. a=43

15、.3228110 .答案 下兀 4解析 由已知條件可知， 球心在正四棱錐的高所在的直線上 .設(shè)球的半徑為 R球心為Q正四棱錐底面中心為 E,則OP |4 R,所以(4 F)2+(42)2=R,解得R= 9.所以球的表面81兀11 .答案 4解析 設(shè)球的半徑為r,則圓柱形容器的高為6r,容積為Kr2x 6r = 6<3,高度為8 cm的水的體積為82,3個(gè)球的體積和為 3*47/ = 4衣3,由題意得6<3-8<23=4行3,解得 r = 4(cm).三、解答題12 .解如圖所示,過C作CGa AB于O.在半圓中可得/ BCA= 90°, / BAO30°,

16、 AB= 2R, . AC=班R, BC= R, CO=乎R, . . S 球=4區(qū)S幾何體表=S球+ Sg錐AO1側(cè)+ Sa錐BO1側(cè)!握+/握_2 Rk 十 2 Rk 一后.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為11423 W.13 .解(1)如圖作軸截面，則等腰三角形CA臥接于。Q。0內(nèi)切于 ABCE43設(shè)。0的半徑為R,由題意，得-7IR3= 972 K 3所以 F3= 729, R= 9,所以 CE 18.已知CD= 16,所以ED= 2.連接AE因?yàn)镃E是直徑，所以 CAL AE 所以 CA= CECD= 18X 16=288,所以 CA= 12 因?yàn)?ABL CD 所以 AD= CDDE= 16X2=32,所以 AD= 4 .2,S 圓錐側(cè)=兀X 4yli2 X 12，2 = 96 兀(2)設(shè)內(nèi)切球O的半徑為r,因?yàn)?ABC勺周長為2X (12平+44)=32平，一.一 11一所以 Sabc= 2