第一章復數(shù)與復變函數(shù)()

1、復變函數(shù)教案2012 2013學年度 第二學期任課教師享B 城課程名稱復變函數(shù)采用教材 高教三版(鐘玉泉編)周課時數(shù)4數(shù)統(tǒng) 學院 數(shù)學教育 專業(yè)2010年級 1班 引言數(shù)學從產生、有發(fā)展到現(xiàn)在，已成為分支眾多的學科了，復變函數(shù)是其中一個非常重要的分 支。以復數(shù)作為自變量的函數(shù)就叫做復變函數(shù)，而與之相關的理論就是復變函數(shù)論。解析函數(shù)是復 變函數(shù)中一類具有解析性質的函數(shù)，復變函數(shù)論主要就研究復數(shù)域上的解析函數(shù)，因此通常也稱復 變函數(shù)論為解析函數(shù)論，簡稱函數(shù)論。我們知道，在解實系數(shù)一元二次方程 ax2+bx+x=O(aw o1時，如果判別式b2-4 ac<O ,就會遇到 負數(shù)開平方的問題，最簡

2、單的一個例子是在解方程 x2+1=0寸，就會遇到開平方的問題。1545年，意 大利數(shù)學物理學家Hardan (卡丹)在所著重要的藝術一書中列出將10分成兩部分，使其積 為40的問題，即求方程 x(10-x )+115 =0的根 它求出形式的根為 5+C5和5-C5,積為 425 -(-15)= 40.然而這只不過是一種純形式的表示而已，當時，誰也說不上這樣表示究竟有什么 好處。為了使負數(shù)開平方有意義，也就是要使上述這類方程有解，我們需要再一次擴大數(shù)系，于是 就引進了虛數(shù)，使實數(shù)域擴大到復數(shù)域。 但最初，由于對復數(shù)的有關概念及性質了解不清楚， 用它 們進行計算又得到一些矛盾，因而，長期以來，人們

3、把復數(shù)看作不能接受的“虛數(shù)”。直到十七世紀和十八世紀，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，情況才逐漸有了改變。另外的原因， 是這個時期復數(shù)有了幾何的解釋，并把它與平面向量對應起來解決實際問題的緣故。復變函數(shù)論產 生于十八世紀。1774年，歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函數(shù)的積分導出的兩個方程。而比他更早時，法國數(shù)學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中，就已經(jīng)得到了它們。因此，后來人們提到這兩個方程，把它們叫做“達朗貝爾歐拉方程”。到了十九世紀，上述兩個方程在柯西和黎 曼研究流體力學時，作了更詳細的研究，所以這兩個方程也被叫做“柯西一黎曼條件”。關于復數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù)學家歐拉(Euler)

4、作出的。他在1777年系統(tǒng)地建立了復數(shù)理論，發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)之間的關系，創(chuàng)立了復變函數(shù)論的一些基本定理，并開始把它們用到水力學和地圖制圖學上，用符號“i ”作為虛數(shù)的單位，也是他首創(chuàng)的。此后，復數(shù)才被人們廣泛承認和使用。在復數(shù)域內考慮問題往往比較方便，例如，一元n次方程在復數(shù)域內恒有解。這就是著名的代數(shù)學基本定理，它用復變函數(shù)來解決是非常簡潔的。又如，在實數(shù)域內負數(shù)的對數(shù)無意義，而在復數(shù)域內我們就可以定義負數(shù)的對數(shù)。復變函數(shù)論的全面發(fā)展是在十九世紀，就像微積分的直接擴展統(tǒng)治了十八世紀的數(shù)學那樣，復變函數(shù)這個新的分支統(tǒng)治了十九世紀的數(shù)學。當時的數(shù)學家公認復變函數(shù)論是最豐饒的數(shù)學分支，并

5、且稱為這個世紀的數(shù)學享受，也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。在十九世紀，復變函數(shù)的理論經(jīng)過法國數(shù)學家柯西(Cauchy) 、德國數(shù)學家黎曼(Riemann) 和維爾斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力，已經(jīng)形成了非常系統(tǒng)的理論，并深刻地滲人到代數(shù)學、解析數(shù)論、概率統(tǒng)計、計算數(shù)學和拓撲學等數(shù)學分支；同時，它在熱力學、流體力學、和電學等方面也有很多的應用。二十世紀以來， 復變函數(shù)已經(jīng)被廣泛應用到理論物理、彈性理論和天體力學等方面，與數(shù)學中其它分支的聯(lián)系也Et益密切。致使經(jīng)典的復變函數(shù)理論，如整函數(shù)與亞純函數(shù)理論、解析函數(shù)的邊值問題等有了新的發(fā)展和應用。并且， 還開辟了一些新的分支，

6、如復變函數(shù)逼近論、黎曼曲面、單葉解析函數(shù)論、多復變函數(shù)論、廣義解析函數(shù)論以及擬保形變換等。另外，在種種抽象空間的理論中，復變函數(shù)還常常為我們提供新思想的模型。為復變函數(shù)論的創(chuàng)建做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾，法國的拉普拉斯也隨后研究過復變函數(shù)的積分，他們都是創(chuàng)建這門學科的先驅。后來為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數(shù)學家維爾斯特拉斯。二十世紀初，復變函數(shù)論又有了很大的進展，維爾斯特拉斯的學生，瑞典數(shù)學家列夫勒、法國數(shù)學家彭加勒、阿達瑪?shù)榷甲髁舜罅康难芯抗ぷ?，開拓了復變函數(shù)論更廣闊的研究領域，為這門學科的發(fā)展做出了貢獻。從柯西算起，復變函數(shù)論已有170多年的歷史了。它以其

7、完美的理論與精湛的技巧成為數(shù)學的一個重要組成部分。它曾經(jīng)推動過一些學科的發(fā)展，并且常常作為一個有力的工具被應用在實際問題中?，F(xiàn)在。復變函數(shù)論中仍然有不少尚待研究的課題，所以它將繼續(xù)向前發(fā)展，并將取得更多應用。第一章 復數(shù)與復變函數(shù)1教學目的復變函數(shù)的自變量和因變量都是復數(shù)，因此， 復數(shù)和平面點集是研究復變函數(shù)的基礎。復變函數(shù)及其極限理論與微積分學的相應內容類似，但因復變函數(shù)是研究平面上的問題，因此有其新的含 義與特點。本章主要介紹復數(shù)和復變函數(shù)的基本概念， 通過本章教學，使學生明確復變函數(shù)要研究 的對象是解析函數(shù)，其理論基礎是建立在復數(shù)域和復平面上。2 .教學基本要求理解復數(shù)、區(qū)域、單連通區(qū)域

8、、多連通區(qū)域、約當曲線、光滑(逐段光滑)曲線、無窮遠點、 擴充復平面等概念；理解復數(shù)的性質， 掌握復數(shù)的運算，理解復數(shù)的模和輻角的性質；理解并掌握 復變函數(shù)極限與連續(xù)性的概念與性質；進一步認識復數(shù)域的結構，并聯(lián)系中學的復數(shù)教學。3 .教學重點和難點重點是復變函數(shù)的概念、極限與連續(xù)性；難點是無窮遠點及無窮遠點鄰域。4 .學法指導以自習為主，通過講授1節(jié)習題課來加強學生對該章主要概念的理解。5 .教學內容與課時分配早下課時§ 1復數(shù)2課時§ 2復半向上的點集2課時§ 3復變函數(shù)2課時§ 4復球面與尢窮遠點1課時習題課1課時教學內容§ 1復數(shù)教學目的

9、與要求：了解復數(shù)的概念及復數(shù)的模與輻角；掌握復數(shù)的代數(shù)運算復數(shù)的乘積與商、幕與根運算.重點：德摩弗(DeMoiVre )公式.難點：德摩弗(DeMoiVre )公式.課時：2學時.1 .復數(shù)域形如z=x+iy或2 = 2 + 丫1的數(shù)，稱為復數(shù)，其中x和y均是實數(shù)，稱為復數(shù)z的實部和虛 部，記為x = Rez , y = Im z i = Ci ,稱為虛單位.兩個復數(shù)zi = +iy1，與z2 % 九 相等，當且僅當它們的實部和虛部分別對應相等，即 =X2且yi =y2虛部為零的復數(shù)可看作實數(shù)，即x + il_0 = x,特別地，0 + il_0 = 0,因此，全體實數(shù)是全體 復數(shù)的一部分.實

10、數(shù)為零但虛部不為零的復數(shù)稱為純虛數(shù)，復數(shù)x + iy和x-iy稱為互為共腕復數(shù)，記為(x+iy)=xiy或 xiy=x+iy設復數(shù)z1 =x1 +iy1 , z2 =x2 +iy2,則復數(shù)四則運算規(guī)定：容易驗證復數(shù)的四則運算滿足與實數(shù)的四則運算相應的運算規(guī)律.全體復數(shù)并引進上述運算后稱為復數(shù)域， 必須特別提出的是，在復數(shù)域中，復數(shù)是不能比較大 小的.2 .復平面從上述復數(shù)的定義中可以看出，一個復數(shù)z=x+iy實際上是由一對有序實數(shù)（x,y）唯一確定.因此，如果我們把平面上的點（x, y）與復數(shù)z = x + iy對應，就建立了平面上全部的點和全體復數(shù)間的 一' 一對應關系.由于x軸上的

11、點和y軸上非原點的點分別對應著實數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱x軸為實軸，稱y軸為虛軸，這樣表示復數(shù)z的平面稱為復平面或z平面.引進復平面后，我們在“數(shù)”與“點”之間建立了一一對應關系，為了方便起見，今后我們就不再區(qū)分“數(shù)”和“點”及“數(shù)集”和“點集”.3 .復數(shù)的模與幅角由圖1.1中可以知道，復數(shù)z = x+iy與從原點到點z所引的向量 廈也構成一一對應關系（復數(shù)。對應零向量）.從而，我們能夠借助于點z的極坐標r和日來確定點z=x+iy,向量部的長度稱為復數(shù)z的模，記為圖1.1圖1.1r =|z = Jx2 +y2 之 0 .顯然，對于任意復數(shù)2 = 乂+1丫均有乂<憶，y <|z ,

12、z < x| +| y（1.1）另外，根據(jù)向量的運算及幾何知識，我們可以得到兩個重要的不等式（三角形兩邊之和之第三邊，圖1.2）圖1.2（三角形兩邊之差E第三邊，圖1.3）圖1.3（1.2）與（1.3）兩式中等號成立的幾何意義是：復數(shù)乙，z2分別與乙+22及乙-22所表示的三個向 量共線且同向.向量oz與實軸正向間的夾角日滿足tan日='稱為復數(shù)z的幅角（Argument）,記為日=Argz由 x于任一非零復數(shù) z均有無窮多個幅角，若以Ar gz表示其中的一個 特定值，并 稱滿足條件(1.4)-二：二 Argz < 二的一個值為Argz的主角或z的主幅角，則有注意：當z =

13、 0時，其模為零，幅角無意義.從直角坐標與極坐標的關系，我們還可以用復數(shù)的模與幅角來表示非零復數(shù)z,即有同時我們引進著名的歐拉（Euler）公式：則（1.6）可化為z=reie(1.8)（1.6）與（1.8）式分別稱為非零復數(shù)z的三角形式和指數(shù)形式，由（1.8）式幾指數(shù)性質即可推得復數(shù)的乘除有因此z1z2 = zj|z2 , 3（z2#0） （1.10）z2z2公式（1.10）與（1.11）說明：兩個復數(shù)乙，z2的乘積（或商），其模等于這兩個復數(shù)模的乘積（或商），其幅角等于這兩個復數(shù)幅角的和（或差）.特別當z2 =1時可得z =rei垠此即說明單位復數(shù)（其|=1）乘任何數(shù)，幾何上相當于將此數(shù)所

14、對應的向量旋轉一個角度.另外，也可把公式（1.11）中的Argz換成argz （某個特定值），若argz為主值時，則公式兩端允 許相差2n的整數(shù)倍，即有公式（1.9）可推廣到有限個復數(shù)的情況，特別地，當4=22=川=4時，有當r =1時，就得到熟知的德摩弗（DeMoiVre ）公式：例1.1求cos38及sin38用cos9與sinB表示的式子解：'：（cos3B+i sin 36）=（cosB+i sin 日）34.曲線的復數(shù)方程例1.2連接乙及z2兩點的線段的參數(shù)方程為z = z1+t（z2-乙）（0 Wt W1）過乙及z2兩點的直線（圖 ）的參數(shù)方程為z = z1 +t（z2-z

15、1） （-«<t<+）例1.3 z平面上以原點為心，k為半徑的圓周的方程為|z=Rz平面上以Zo為心，R為半徑的圓周的方程為z-Zo=R例1.4 z平面上實軸的方程為Imz=0,虛軸的方程為Rez = 0.作業(yè)：第42頁2,3,4§ 2復平面上的點集教學目的與要求：平面點集的幾個基本概念；掌握區(qū)域的概念；了解約當定理.重點：區(qū)域的概念，約當定理.難點：區(qū)域的概念.課時：2學時.1 .幾個基本概念定義1.1滿足不等式z Zo|mP的所有點z組成的平面點集（以下簡稱點集）稱為點Z0的P 鄰域,記為N & Z0）.顯然，N&Z0）即表示以Zo為心，以P

16、為半徑的圓的內部定義1.2 設E為平面上的一個點集，若平面上一點 Zo的任意鄰域內巨有E的無窮多個點，則稱Zo 為E的內點.定義1.3若E的每個聚點都屬于E,則稱E為閉集.若E的所有點均為內點，則稱E為開集定義1.4 若三M >0, Vzw E ,均有z EM則稱E為有界集，否則稱E為無界集.2 .區(qū)域與約當（Jordan）曲線定義1.5若非空點集D滿足下列兩個條件：（1） D為開集.（2） D中任意兩點均可用全在D中的折線連接起來，則稱D為區(qū)域.定義1.6若zo為區(qū)域D的聚點且Zo不是D的內點，則稱zo為D的界點，D的所有界點組成的點集稱為D的邊界，記為田，若三r >o,使得N.

17、（Zo）cd =中，則稱zo為D的外點定義1.7區(qū)域D加上它的邊界C稱為閉區(qū)域，記為D = D+C有關區(qū)域的幾個例子例1.5 z平面上以點zo為心，R為半徑的圓周內部（即圓形區(qū)域）：|z-4<R例1.6 z平面上以點zo為心，R為半徑的圓周及其內部（即圓形閉區(qū)域）z-WR例1.5與例1.6所表示的區(qū)域都以圓周z-Zo|=R為邊界，且均為有界區(qū)域例1.7上半平面ImzA0下半平面 Im z <0它們都以實軸Imz=0為邊界，且均為無界區(qū)域.左半平面Rez 0右半平面Rez 0它們都以虛軸Rez =0為邊界，且均為無界區(qū)域.例1.8圖1.4所示的帶形區(qū)域表為y1<Imz<y

18、2.其邊界為y = y1與y = y2,亦為無界區(qū)域.例1.9圖所示的圓環(huán)區(qū)域表為r <<R其邊界為z=r與z=R,為有界區(qū)域.定義1. 8設x(t)及y(t)是兩個關于實數(shù)t在閉區(qū)間ot F ±的連續(xù)實數(shù)，則由方程 z = z t) = Xi y )t (a <t < P)(1.13)所確定白t點集C稱為z平面上的一條連續(xù)曲線，(1.13)稱為C的參數(shù)方程，z(a)及z(P)分別稱為C 的起點和終點，對任意滿足口 <t1cB及u ct2cB的t1與t2 ,若t1 # t2時有z(t1) = z(t2),則點z(t1)稱 為C的重點；無重點的連續(xù)曲線，稱

19、為簡單曲線(約當曲線)；z(a)=z(B)的簡單曲線稱為簡單閉 曲線.若在a Mt上時，x(t)及y，(t)存在節(jié)不全為零，則稱C為光滑(閉)曲線.定義1.9由有限條光滑曲線連接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線.定義1.1(約當定理)任一簡單閉曲線C將z平面唯一地分為C、I(C)、E(C)三個點集(圖1.5 ),圖1.5它們具有如下性質: 彼此不交.(2) I(C)與E(C) 一個為有界區(qū)域(稱為C的內部),另一個為無界區(qū)域(稱為C的外部)若簡單折線P的一個端點屬于I(C),另一個端點屬于E(C),則P與C必有交點.對于簡單閉曲線的方向，通常我們是這樣來規(guī)定的：當觀察這沿 C繞行一周時，C的內部

20、(或挖) 始終在C的左方，即“逆時針”(或“順時針”)方向，稱為C的正方向(或負方向).定義1.10設D為復平面上的區(qū)域，若D內任意一條簡單閉曲線的內部全含于 D,則稱D為單連通 區(qū)域，不是單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域.例如，例1.5-1.8所示的區(qū)域均為單連通區(qū)域，例1.9所示的區(qū)域為多連通區(qū)域.(請同學們針對定義1.10自己作圖思考)作業(yè)：第 42 頁 6.(1) (3) (5) , 7, 8,9§ 3復變函數(shù)教學目的與要求：理解復變函數(shù)的概念；了解復變函數(shù)的極限與連續(xù)的概念.重點：復變函數(shù)的概念.難點：復變函數(shù)的幾何表示.課時：2學時.1 .復變函數(shù)概念定義1.11設E為一復數(shù)集

21、，若存在一個對應法則 f ,使得E內每一復數(shù)z均有唯一(或兩個以上)確定的復數(shù)u與之對應，則稱在E上確定了一個單值(或多值)函數(shù) w= f(z)(zw E) , E稱為函數(shù)w=f(z)的定義域，w值的全體組成的集合稱為函數(shù) w=f(z)的值域.j,一一 Z +1一 、， 、 一、“，例如 w=z, w=z&w= (z=1)均為單值函數(shù)， w = jZ&w = Argz (z#0)z -1均為多值函數(shù).今后如無特別說明，所提到的函數(shù)均為單值函數(shù).設w = f (z)是定義在點集E上的函數(shù)，若令z = x+iy, w = u + iv則u、v均隨著x、y而確定，即u、v均為x、y的

22、二元實函數(shù),因此我們常把 w= f (z)寫成f (z) =u(x,y)+iv(x,y) (1.14)若z為指數(shù)形式，z=re舊，則w = f(z)又可表為w= p(r,8) +舊(r,9)(1.15)其中p(r,B) , Q(r,H)均為r、8的二元實函數(shù).由(1.14)和(1.15)兩式說明，我們可以把復變函數(shù)理解為復平面 z上的點集和復平面w上的點集之 間的一個對應關系(映射或變換)，這是由于在復平面上我們不再區(qū)分“點”(點集)和“數(shù)”(數(shù) 集).故今后我們也不再區(qū)分函數(shù)、映射和變換.3.復變函數(shù)的極限和連續(xù)性定義1.12設w = f(z)于點集E上有定義，z。為E的聚點，若存在一復數(shù)w

23、0,使得V6A0,>0,當 0<|z-z0 <a 時有 f (z) -w0 < ( (zW Z)則稱 f (z)沿 E 于 z。有極限 w。,記為 ZT z f (z) = w 0(z E)定義1.12的幾何意義是：對于Vs>0,存在相應的0 >0 ,使得當z落入z0的去心6-鄰域時,相應的f (z)就落入w0的 J鄰域.這就說明z*z f(z)與zt z0的路徑無關.即不管z在E上從哪z0(z E)個方向趨于z0 ,只要z落入z0的去心6 一鄰域內，則相應的f (z)就落入w0的6-鄰域內，而在數(shù)學 分析中，lim f (x)中x只能在x軸上沿著x

24、6;的左，右兩個方向趨于x°,這正是復分析與數(shù)學分析不X及同的根源.今后為了簡便起見，在不致引起混淆的地方，z*z f(z)均寫成lim f(z)0 z ' z0(z E)0可以類似于數(shù)學分析中的極限性質，容易驗證復變函數(shù)的極限具有以下性質:若極限存在，則極限是唯一的.limf(z)與limg(z)都存在，則有z一； z另外，對于復變函數(shù)的極限與其實部和虛部的極限的關系問題，我們有下述定理：定理1.2設函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)于點集E上有定義，4 = x°+iy°為E的聚點，則lim f (z) =/=a+ib 的充要條件 lim u(x

25、, y) =a 及 lim v(x, y) = bz,Z0x加y %證明：因為 f (z) - =u(x,y) a iv(x, y) b從而由不等式 1.1 可得 u(x,y)a - f(z) -nl' (1.16) v(x, y) -b| <| f (z)-n| j及 f (z) -| <|u(x, y) -a +|v(x, y) -b (1.17)故由(1.16)即可得必要性部分的證明.由(1.17)可得充分性部分的證明.定義1.13設w = f (z)于點集E上有定義，z0為E的聚點，且z0 w z ,若lim f (z) = f (z0)則稱f(z)沿E于4連續(xù).根

26、據(jù)定義1.13, f(z)沿E于4連續(xù)就意味著：V®>0 , M a0 ,當|z-z0 c6時，有f (z) - f(z )<與數(shù)分中的連續(xù)函數(shù)性質相似，復變函數(shù)的連續(xù)性有如下性質：(1)若f(z), g(z)沿集E于點z°連續(xù)，則其和，差，積，商(在商的情形，要求分母z°不為零)沿點集E于4連續(xù).(2)若函數(shù)"=f()沿集E于Zo連續(xù)，且f(E)=G，函數(shù)w = g(")沿集6于1= f(z0)連續(xù),則復合函數(shù)w=gf(z。)沿集E于Zo連續(xù).其次，我們還有定理1.3 設函數(shù)f (z) = u(x, y) + iv(x, y)于點集E上有定義，z/ E ,則f (z)在點z0 = x0+iy0連續(xù)的充要條件為：u(x, y), v(x, y)沿E于點(x°, y°)均連續(xù).事實上，類似于定理1.2的證明，只要把其中的a換成u(x。，y°), b換成v(x。, y°)即可得到定理 的證明.1 z z例1.10 設f(z) = (=)(z=0)2i z z試證f(z)在原點無極限，從而在原點