高三數(shù)學(xué)簡單幾何體

1、簡單幾何體一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點1.正棱柱或正棱錐的概念與認知；2.棱柱、棱錐的表面積與體積；3.以棱柱、棱錐為載體的垂直關(guān)系或平行關(guān)系的證明，角與距離的尋求與計算；4.球的有關(guān)問題：表面積、體積、球面距離、經(jīng)緯度以及基本的“接”與“切”問題。三、知識要點(一）棱柱1、棱柱的概念有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。在這里，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；兩個面的公共邊叫做棱柱的棱；其中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點；不在同一個面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線

2、；兩個底面的距離叫做棱柱的高。點撥：（1）根據(jù)定義判定一個多面體是否為棱柱，一般是首先看“面”，即考察該多面體是否有兩個面互相平行，并且除這兩個面之處的其余各面都是四邊形；其次看“線”，即考察每相鄰兩個四邊形的公共邊是否平行。在這里，同一棱柱的底面的選擇也會有不同方案，解題時要注意這種特殊棱柱的底面可變性的應(yīng)用。（2）注意區(qū)別兩個概念： 棱柱的棱與棱柱的側(cè)棱； 棱柱的對角線與棱柱某一面的多邊形的對角線。2、棱柱的分類（1）按底面多邊形的邊數(shù)分類：三棱柱、四棱柱、n棱柱；（2）按側(cè)棱與底面的關(guān)系分類。 特例：（）四棱柱的分支（或特殊情形）：循著由一般到特殊的途徑 其中，特別注意 （）長方體的特性

3、長方體的對角線的平方，等于它的長、寬、高的平方和設(shè)對角線與各棱所成的角分別為，則 設(shè)對角線與各面所成的角分別為，則 3、棱柱的性質(zhì)（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；（3）經(jīng)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；4、面積與體積（1）設(shè)柱體（棱柱或圓柱）的底面積為S，高為h，則柱體的體積 （2）設(shè)棱柱的側(cè)棱長為 ，直截面（垂直于側(cè)棱的截面）的周長為C，面積為S，則棱柱的體積： ；棱柱的側(cè)面積： 。（二）棱錐1、棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形叫做棱錐的底面，其余各面叫做棱錐的側(cè)面

4、；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；各側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點，頂點到底面的距離叫做棱錐的高。提醒：由上述定義可知，棱錐有兩個本質(zhì)的特征：（1）有一個面是多邊形；（2）其余各面是有一個公共頂點的三角形，這二者缺一不可?！坝幸粋€面是多邊形，其余各面都是三角形”的幾何體不一定是棱錐。特例：三棱錐（即四面體）的任何一個面都可以作為底面（三棱錐底面的可變性），這是其它棱錐所不具備的；運用體積法求距離，就是利用三棱錐的體積及其底面的可變性；值得注意的是，一個三棱錐的四個面可以都是直角三角形。2、棱錐的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它們面積的比等于截得的棱錐的高與已知棱錐的

5、高的平方比。3、正棱錐（1）正棱錐的定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形并且頂點在底面內(nèi)的射影為底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。（2）正棱錐性質(zhì)：（）各側(cè)棱相等；各側(cè)面都是全等的等腰三角形；各等腰三角形底邊上的高（正棱錐的斜高）相等。（）正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形； 正棱錐的高、側(cè)棱和側(cè)棱在底面內(nèi)的射影組成一個直角三角形；提醒：正棱錐必須滿足兩個條件：一是底面為正多邊形；二是頂點在底面上的射影恰為底面多邊形的中心，這二者缺一不可。正棱錐除去上面指出的兩個直角形外，正棱錐的底面半徑、邊心距和半邊長也組成一個直角三角形；正棱錐側(cè)面上的側(cè)棱、相應(yīng)的斜高和半邊長也組成一個直角

6、三角形，這些特殊的三角形是解決正棱錐問題的基礎(chǔ)和突破口。4、面積與體積 （1） 設(shè)正棱錐的底面周長為C，斜高為h，則它的側(cè)面積 （2）若一個棱錐所有的側(cè)面與底面組成二面角都等于銳角，并且頂點在底面上的射影在底面多邊形的內(nèi)部，則有 （3）設(shè)錐體（棱錐或圓錐）的底面積為S，高為h則錐體的體積 。認知：由柱體和錐體的體積的閱讀材料可知，任何一個三棱柱都可以分割成體積相等的三棱錐，反之，以任何一個三棱錐為基礎(chǔ)都可以補充成同底等高的三棱柱。這種割補化歸的思想是立體幾何中的重要思想，解題時應(yīng)注意這種思想和手段的運用。 （三）球1、 球的概念（1）定義（2）球的元素球的半徑：連結(jié)球心和球面上任意一點的線段叫

7、做球的半徑。 球的直徑：連結(jié)球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。2、球的截面的性質(zhì)用一個平面去截球，截面是圓面，球的截面有如下性質(zhì)：（1）球心和截面圓心的連線垂直于截面。（2）球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有如下關(guān)系： 其中（）當d=0時，截面過球心，此時截面面積最大。球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓。（）當d=R時，平面與球面相切。（）當0<d<R時，平面與球面相交但不過球心。球面被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做小圓。3、球面距離在球面上，兩點之間的最短連線的長度，是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度。球面上經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧的長，叫做這

8、兩點的球面距離。4、面積與體積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積 ；球的體積 。四、經(jīng)典例題例1、已知在三棱柱 在底面ABC內(nèi)的射影O恰為AC中點，試求：（1）AB與側(cè)面AC1所成的角；（2）側(cè)面ABB1A1與側(cè)面ACC1A1所成的角；（3）三棱柱的側(cè)面積；（4）三棱柱的體積。分析：對于（1），為表示所求角，從尋找或構(gòu)造側(cè)面AC1的垂線切入；對于（2），切入與突破則是利用題設(shè)條件構(gòu)造該二面角的平面角。解：（1） 為 ，且 。 ，平面 平面ABC又 BC平面AC1BAC是AB與側(cè)面AC1所成的角。由 中AC=BC得 ，AB與側(cè)面AC1所成的角為 ； （2）在側(cè)面AC1內(nèi)作CEAA1于E，連結(jié)BE。BC

9、平面AC1EC為EB在平面AC1內(nèi)的射影EBAA1BEC為側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成二面角的平面角O為AC中點在 中，A1AO=60°在 中， 在 中， 即 所求側(cè)面AB1與側(cè)面AC1所成角為 （3）在這里，對于只用一個頂點A的A1AC、BAC、EAB有 （證明從略） (4)O為AC中點， ，即三棱柱的高為 ，又 點評：（1）這里借用了前面所指出的以直線與平面所成角為基礎(chǔ)構(gòu)造的三個角，間的關(guān)系式 ，其中是不以斜線射影為邊的角。（2）我們從例1、例2看到，盡管三棱柱為斜三棱柱，但仍會是一個側(cè)面與底面垂直或一個側(cè)面為矩形。例2 、（1）已知正三棱錐P-ABC中，M、N分別為側(cè)棱PB、PC

10、的中點，若截面AMN側(cè)面PBC，則此正棱錐的側(cè)面積與底面積之比為 。（2）若三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，又設(shè)P、A、B、C所對面的面積分別S、S1、S2、S3，則S= 。 分析：（1）為尋找側(cè)面與底面的聯(lián)系，取BC中點為E，連結(jié)AE、PE，并且令 再連結(jié)AF，則 ， ， 為二面角P-BC-A的平面角。令 。由MN為 的中位線知：F為PE中點，且 又平面AMN平面PBC，且它們的交線為MN， PE平面AMN 而F為PE中點 為等腰三角形，且AP=AE（由已知條件認知相關(guān)三角形）令A(yù)B=2a，則 在 中，由 ， ，得 ， 在 中，由，得 注意到 ，故得 ，即所求正三棱錐的

11、側(cè)面積與底面積之比為 ：1。（2）為溝通側(cè)面與底面的聯(lián)系，過點P作 平面ABC于H，連結(jié)AH并延長交BC于D，連結(jié)PD。 ， 平面PBC 又在 中 同理 +得 即 點評：為了溝通底面與側(cè)面的聯(lián)系，對于（1），構(gòu)造出截面 并認識到 ， 為等腰三角形為解題突破的關(guān)鍵；對于（2），構(gòu)造出截面 并認識到PH是 及其斜邊上的高則是上掛下連，化生為熟的重要一環(huán)。以構(gòu)造適當?shù)慕孛鏈贤ǖ酌媾c側(cè)面（或上與下）的聯(lián)系，乃是值得品悟的策略與經(jīng)驗。例3、 在半徑為1的球面上有A、B、C三點，A和B，A和C的球面距離均為 ，B和C的球面距離為 ，經(jīng)過A、B、C三點作截面，求球心到截面的距離。分析：這里已知球半徑R=1，

12、要求球心到截面的距離d，首先需要認知截面 ，進而認知 的外心（截面圓圓心）。解：由題設(shè)條件知： ， ， ，BC=1取BC的中點為D，連結(jié)AD，OD則 又 平面OAD， 平面 平面OAD，且平面 平面OAD=AD。在平面OAD內(nèi)過點O作 于H，則 平面ABC，且H為截面圓圓心（ 的外心）因此，又由已知，得 ，AO=1 于是，在 中，由等積變換得 ，即所求球心到截面的距離為 點評：對于問題中出現(xiàn)的三棱錐O-ABC，我們?nèi)詮臉?gòu)造截面 入手去溝通有關(guān)量之間的關(guān)系。截面 的特性一旦被認知，解題便勝利在望。例4、已知正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為l，相鄰兩側(cè)棱的夾角為 ，求它的外接球的體積。分析：只要求出球

13、的半徑R，為此，循著與球半徑的由遠到近的關(guān)系，首先利用已知條件求出正三棱錐底面邊長AB，再而求出球的截面圓（ 的外接圓）半徑，進而通過解 求得R的值。解：作 底面ABC于D，則D為正 的中心，設(shè)外接球心為O，則 底面ABC,P、O、D三點共線（認知圖形）PA=PB=PC=l，APB=2在 中，由余弦定理得 又設(shè)APD=，作OEPA于E，則E為PA中點在 中， 而OP=OA=R， 在 中， ， 。點評：注意到球面上兩點間的連結(jié)線段，乃是球的大圓的弦。因此，面對圖形中的線段PA，要想到它是大圓的弦，因而利用圓的弦的性質(zhì)去解題，這是此類問題溝通聯(lián)系的關(guān)鍵。五、高考真題（一）選擇題1.已知高為3的直棱

14、柱ABC- 的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐 的體積為（ ）A. B. C. D. 分析：由題設(shè)得 ， ，應(yīng)選D2.在正三棱柱 中，若AB=2， ，則點A到平面 的距離為（）A. B. C. D. 分析：注意到有關(guān)三棱錐體積和三角形面積易求，故考慮運用“體積法”。設(shè)點A到平面 的距離為h。由題設(shè)得 ， 由 得 ，由此解得 ，應(yīng)選B。3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且 、 均為正三角形， ，EF=2，則該多面體的體積為（ ）A. B. C. D. 分析：對于楔形幾何體的體積，一般是通過“分割”，轉(zhuǎn)化為尋求錐體體積。為此，取EF中點為P，連結(jié)PA、PB、PC、

15、PD，則由已知得E-PAD，F(xiàn)-PBC均為正四面體，P-ABCD為正四棱錐。又正四棱錐P-ABCD的高 ， 而 原幾何體體積為：，應(yīng)選A。4.如圖，在體積為1的三菱錐A-BCD側(cè)棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，記O為三平面BCG，CDE，DBF的交點，則三棱錐O-BCD的體積等于（ ）A. B. C. D. 分析：運用“特例法”，取三棱錐為特殊的正四面體，則上述三平面的交點O一定在正四面體的高AP上。連結(jié)DP并迎長交BC邊于M，則M為BC中點，且M、O、G三點共線。注意到 ，欲求 ，首先尋找三棱錐O-BCD的高OP與正四面體的高AP的聯(lián)系，

16、從構(gòu)造相似 切入。在平面ADP內(nèi)作 于N，則 平面BCD ， 又 得 再注意到 由、得 于是由得 而 故得 ，應(yīng)選C。5.將半徑為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（ ）A. B. C. D. 分析：考察4個鋼球在正四面體容器內(nèi)的存在狀態(tài)，注意到正四面體的一個內(nèi)切球的球心到頂點距離為3r，所以，當4個球都與正四面體的面相切時，正四面體的高分為三部分：4個鋼球中最上端的球心到頂點的距離為3，下面三個球心到底面的距離為1，中間部分即四個球心構(gòu)成的正四面體的高為 ，于是已知此時正四面體的高為 ，本題應(yīng)選C。6.矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABC

17、D折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）A. B. C. D. 分析：本題主要考察空間想象能力，在審題過程中迅速找到球心位置。設(shè)矩形對角線交點為O，則點O到A、B、C、D各項點距離相等，距離為 ，折疊后，點O到空間圖形中A、B、C、D的距離不變。 O為四面體ABCD的外接球的球心，球面半徑為 。 ，應(yīng)選C。二、填空題1.下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成二面角都相等的三棱錐都是正三棱錐；底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐；側(cè)棱與底面所成角都相等，且側(cè)面與底面所成二面

18、角都相等的三棱錐是正三棱錐。其中，真命題的編號是 （寫出所有真命題的編號）分析：逐一分析各個命題。對于，由題設(shè)得各側(cè)面上底邊上的高相等，因而各側(cè)棱相等，故為正三棱錐；對于，側(cè)面上PA=PB=AB=BC=CAPC滿足題設(shè)，但不是正三棱錐；對于，以中的反例為基礎(chǔ)考察側(cè)面面積相等的情形，可知它為假命題；對于，由題設(shè)知頂點在底面上的射影既是底面正三角形的外心，又是它的內(nèi)心，故此時的三棱錐為正三棱錐，于是得答案為。2.如圖，在直三棱柱 中， ， ， ，E、F分別為 、 的中點，沿棱柱的表面從E到F兩點的最短路經(jīng)的長度為 。分析：注意到幾何體表面上兩點間的最短距離即幾何體表面的某展開圖上對應(yīng)兩點間的直線距

19、離，對直三棱柱相關(guān)表面的展開分類討論。（1）將側(cè)面 和 展開成平面圖形 此時 （2）將側(cè)面 與底面 展開成平面圖形 此時由 得B，B1，C1三點共線，取BB1中點為D，則 （3）將側(cè)面 和底面 展開成平面圖形，仿（2）可得此時 于是可得所求最短距離為 3.有兩個相同的直三棱柱，高為 ，底面三角形的三邊長分別為3a，4a，5a（a>0），用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍為 。分析：解決此題的關(guān)鍵是如何拼成三棱柱或四棱柱。（1）將它們拼成新的三棱柱，只有將它們摞起來一種情形，其全面積為 ；（2）將它們拼成四棱柱，則有三種情形將兩個相同

20、的三棱柱分別沿其相同的側(cè)面對接，其全面積分別為 ， ， ，顯然S2S3S4。 只需S1S4 ，解得 即 所求a的取值范圍為 三、解答題1.如圖，在斜三棱柱 中， ，AB=AC， ，側(cè)面 與底面ABC所成二面角為120°，E、F分別是棱 、 的中點。（1）求 與底面ABC所成的角；（2）證明： 平面 ；（3）求經(jīng)過A1、A、B、C四點的球的體積。分析：為了表示（1）中目標，需要構(gòu)造平面ABC的垂線，而一旦尋出或作出平面ABC的垂線之后，又可以此為基礎(chǔ)作出已知的側(cè)面 與底面ABC所成二面角的平面角。因此，解題結(jié)構(gòu)是平面ABC的垂線切入，通過構(gòu)造及求解 突破。解：（1）作 平面ABC于H，

21、連結(jié)AH并長交BC邊于G，連結(jié)EG， ， 則 為 與底面ABC所成角。又 AG為 的平分線（證明從略） AB=AC， 即 而AH是 在底面ABC上的射影 平面 注意到 平面 ，且 ， 為二面角A-BC-E的平面角 又四邊形AGEA1為平行四邊形 即 與底面所成角為60°。（2）連結(jié) 交EG于點P，則P為EG的中點，連結(jié)FP。 F為 的中點 四邊形 為平行四邊形 又 面 ， 面 ， 面 。（3）連結(jié) ，由（1）知HB=HC 由已知得 三棱錐 為正三棱錐 它的外接球球心O在高AH上，又連結(jié)OF，則 ，且 即球半徑 ，球的體積 點評：對于（1），通過作 平面ABC于H，將已知二面角的平面角

22、與構(gòu)造所求的直線與平面所成角納入同一個作圖與論述過程之中，這一過程一旦完成，“已知”與“目標”的聯(lián)系便呼之欲出了。對于（3）解題的關(guān)鍵是認知所給四點構(gòu)成正三棱錐，認識到這一點，即問題轉(zhuǎn)化為求正三棱錐 的外接球體積，于是，化生為熟便得以實現(xiàn)。2.已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC， 底面ABCD，且 ，M是PB的中點。（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。分析：對于（），注意到 面PAD，得證；對于（），當四棱錐內(nèi)難以找到AC或PB的平行線時，要想到在四棱錐外部構(gòu)造AC與PB的平行線；對于（），則要想到利用（），（）推理中的

23、認知與結(jié)論來構(gòu)造或計算二面角的平面角。方法一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD。因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD。又CD 面PCD，面PAD面PCD。（）解：過點B作BECA，且BE=CA，則PBE是AC與PB所成的角。連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE= ，又AB=2，所以四邊形ACBE為正方形。由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE= ,PB= ,cosPBE= ,AC與PB所成的角為arccos .()解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN。在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC，BNCM,故

24、ANB為所求二面角的平面角。CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB,所以CM=AM。在等腰三角形AMC中，AN·MC= AN= 。AB=2，cosANB= 。故所求的二面角為arccos( ).方法二：因為PAAD,PAAB,ADAB,以A為坐標原點，AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標系，則各點坐標為A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1, ).()證明：因 =（0，0，1）， =（0，1，0），故 ，所以APDC又由題設(shè)知ADDC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD，

25、又DC在面PCD內(nèi)，面PAD面PCD。（）解：因 =（1，1，0）， =（0，2，1），故| |= ，| |= ， ， 由此得AC與PB所成的角為arccos .()解：在MC上取一點N（x,y,z）,則存在 R，使 ， =(1x,1y,z), =(1,0, ),x=1 ,y=1,z= .要使ANMC，只需 ，即x z=0,解得 = 。可知當 = 時，N點坐標為（ ），能使 此時， =（ ）， ，有 由 ， 得ANMC，BNMC所以ANB為所求二面角的平面角 。故所求的二面角為arccos( ).點評：對于（ II ），突出四棱錐體外，人為地構(gòu)造出ACBE之后，根據(jù)題設(shè)認知這一平行四邊形為正方

26、形是解題的關(guān)鍵。一般地，當你人為地構(gòu)造出某一圖形之后，都需要認知并利用這一圖形的特殊屬性來解題；對于（ III ），首先直接構(gòu)造出 ，而后再證明它是所求二面角的平面角。這一方法雖不常用，但也屬于基本方法定義法的應(yīng)用，需要同學(xué)們注意掌握。3.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點。（）求證：EF平面PAB；（）設(shè) ，求AC與平面AEF所成的角的大小。 分析：（ I ）為考察EF與PA、PB之間是否具有垂直關(guān)系，考慮構(gòu)造與點E、F有關(guān)的 ，為此，連結(jié)PE、BE，則由題設(shè)易知 ，推理由此展開。（ II ）借重推證（ I ）的過程中對

27、圖形的認識，從導(dǎo)找或構(gòu)造平面AEF的垂線突破。方法一：（）證明：連結(jié)EP，PD底面ABCD,DE在平面ABCD內(nèi)，PDDE，又CE=ED，PD=AD=BC。RtBCERtPDEPE=BE。F為PB中點。EFPB由三垂線定理得PAAB，在RtPAB中PF=AF，又PE=BE=EA。EFPEFA。EFFA.PB、FA為面平PAB內(nèi)的相交直線。EF平面PAB。 （）解：不妨設(shè)BC=1，則AD=PD=1。AB= ,PA= ，AC= PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點，BF=1，且AFPBPB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直，PB平面AEF. 連結(jié)BE交AC于G，作GHBP交E

28、F于H，則GH平面AEFGAH為AC與平面AEF所成的角。由EGHBGA可知EG= GB，EG= EB，AG= AC= .由EGHEBF可知GH= BF= .sinGAH= = .AC與平面AEF所成的角為arcsin 方法二：以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系. （）證明：設(shè)E（a，0，0）其中a>0，則C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F(xiàn)（a， ， ）. =（0， ， ）， =（2a，1，-1）， =（2a，0，0）。 ，EFPB. ，EFAB又PB 平面PAB，AB 平面PAB，PBAB=B.EF平面PAB. （）解：

29、由AB= BC，得a= .可得 =（ ，-1，0）， =（ ，1，-1）cos< , >= = ,異面直線AC、PB所成的角為arccos =（ ，- ， ）. ,PBAF.又PBEF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線,即AC與平面AEF所成的角為arcsin .點評：運用解法一，可感覺到這是一道平面幾何味道很濃的立體幾何題突破或決戰(zhàn)都需要運用平面幾何知識與方法。對于（ I ），重點在于證明與利用三角形全等；對于（ II ），則重點在于利用相似三角形溝通聯(lián)系。運用解法二，證明（ I ）簡捷明了；解答（ II ）只要想到轉(zhuǎn)化或溝通，其設(shè)想也容易實現(xiàn)，由此可見，適當條件下坐標法的優(yōu)

30、越性。4.如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD底面ABCD（）證明AB平面VAD；（）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小分析：（）從略（）所求二面角的棱為AD，注意到 平面VAD，故選擇“三垂線定理”構(gòu)造或證明該二面角的平面角。方法一：（）證明： （）解：取VD的中點E，連結(jié)AE，BEVAD是正三角形AEVD，AE= ADAB平面VAD ABAE又由三垂線定理知BEVD因此， 是所求二面角的平面角于是， ，即得所求二面角的大小為 方法二：以D為坐標原點，建立如圖所示的坐標系（）證明：不妨設(shè) ，則 ， 由 ，得 又 ，因而 與平面 內(nèi)兩條相交直

31、線VA，AD都垂直 平面 （）解：設(shè) 為 中點，則 由 ，得 ，又 因此， 是所求二面角的平面角。 解得所求二面角的大小為 點評：對于（ II ），首先構(gòu)造出 ，而后利用已知條件與（ 1 ）的結(jié)果證明它是二面角的平面角，這種“先構(gòu)造，后證明”的策略也是解決幾何問題的基本策略。5.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB= ，BC=1，PA=2，E為PD的中點.（）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離.分析：（1）為策應(yīng)PD中點E，連結(jié)AC、BD，并設(shè) ，連結(jié)OE，則 ，于是所求角易于作出；（2

32、）注意到尋找NE的難度，故這里考慮分兩步走：第一步，尋找或構(gòu)造經(jīng)過PD上的點且垂直于平面PAC的直線；第二步，確定上述垂線的平行線NE的位置。因此，解題從尋找或構(gòu)造平面PAC的垂線切入。 方法一：（）設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB， EOA即為AC與PB所成的角或其補角.在AOE中，AO=1，OE= 即AC與PB所成角的余弦值為 .（）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則 .連PF，則在RtADF中 設(shè)N為PF的中點，連NE，則NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC，從而NE面PAC.N點到AB的距離 ，N點到AP的距離 方法二：（）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A、B、

33、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0）、 B（ ，0，0）、C（ ，1，0）、D（0，1，0）、 P（0，0，2）、E（0， ，1），從而 設(shè) 的夾角為，則 AC與PB所成角的余弦值為 .（）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為（x，0，z），則 ，由NE面PAC可得， 即N點的坐標為 ，從而N點到AB、AP的距離分別為1， .點評：在解法一中，（ II ）中運用迂回戰(zhàn)術(shù)，首先利用已知條件作出平面PAC的垂線DF，再而尋找DF的平行線段DE。在直面構(gòu)造或?qū)ひ捰龅嚼щy時，常運用這一策略；解法二通過坐標運算求解言簡意賅，當然是這一類問題的最簡解法。6.已知三棱錐PABC中，E、F分別是AC、A

34、B的中點，ABC，PEF都是正三角形，PFAB.（）證明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值；（）若點P、A、B、C在一個表面積為12的球面上，求ABC的邊長.分析：（）注意到題設(shè)條件中的正三角形與直角三角形，想到利用這些三角形的特性確定線線垂直關(guān)系；（）利用（）中的認知尋找或構(gòu)造平面角；（）首先認知這四點的特殊性，而后刻意化生為熟。（）證明： 連結(jié)CF. （）解法一： 為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=a，則 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則 （）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R. ， 的邊長為 解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. 點評：（1）對于（），由直角三角形性質(zhì)認定 是證明關(guān)鍵，同時它也為（）中認知PA、PB、PC兩兩互相垂直奠定基礎(chǔ)。（2）對于（），在認定球面上四點P、A、B、C滿足條件PA、PB、PC兩兩互相垂直之后，解題便實現(xiàn)了“化生為熟”，進入人們所熟悉的情境。7.如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面A