微積分課件：8-2 對面積的曲面積分 (第一類曲面積分)

1、一、概念的引入一、概念的引入二、對面積的曲面積分的定義二、對面積的曲面積分的定義三、計(jì)算法三、計(jì)算法四、小結(jié)四、小結(jié) 第二節(jié)第二節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分 (第一類曲面積分第一類曲面積分)一、概念的引入一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)),(zyx , 求求它它的的質(zhì)質(zhì)量量.實(shí)例實(shí)例 所謂曲面光滑所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都即曲面上各點(diǎn)處都有切平面有切平面, ,且當(dāng)點(diǎn)在且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí)曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí), ,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng). .二、第一類曲面積分的定義二、第一類曲面積分的定義1.1.定義定義即即 dSzy

2、xf),(iiiniiSf ),(lim10 記為記為 dSzyxf),(.2.2.第一類曲面積分的性質(zhì)第一類曲面積分的性質(zhì)則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,)121 叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，其中其中),(zyxf.叫積分曲面叫積分曲面 dSdS面面積積元元素素 )()2曲面面積曲面面積SdS三、計(jì)算法三、計(jì)算法22 , , ( , ) 1;xyxyDf x y z x yzzdxdy dSzyxf),()y, x(zz:. 1 若曲面若曲面則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：22 , ( , ), 1;xzxzDf x y x z zyy

3、dxdz dSzyxf),(則則)z , x(yy. 2 ：若曲面若曲面22 ( , ), , 1.yzyzDf x y zy zxx dydz dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若曲面若曲面則則例例1 1積積分分曲曲面面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 221xydSzzdxdydxdy2)1(01 ,2dxdy xyDdxdy52yxD例例: :計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分,dzS其中其中 是球面是球面222zyx被平面被平面)0(ahhz截出的頂部截出的頂部.

4、.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha思考思考: :若若 是球面是球面2222azyx被平行平面被平行平面 z z = =h h 截截出的上下兩部分出的上下兩部分, ,) (dzS0則hhoxzy) (dzShln4aa0,x y 1 10,0,被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于z z為為奇奇函函數(shù)數(shù)若若 關(guān)關(guān)于于平平面面對對稱稱,I=,I=2I2I被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于z z為為偶偶函函數(shù)數(shù)利利用用對對稱稱性性

5、化化簡簡計(jì)計(jì)算算0,x z 1 10,0,被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于y y為為奇奇函函數(shù)數(shù)若若 關(guān)關(guān)于于平平面面對對稱稱,I=,I=2I2I被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于y y為為偶偶函函數(shù)數(shù)0,y z 1 10,0,被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于x x為為奇奇函函數(shù)數(shù)若若 關(guān)關(guān)于于平平面面對對稱稱,I=,I=2I2I被被積積函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)于于x x為為偶偶函函數(shù)數(shù)解解依對稱性知：依對稱性知：2222拋拋物物面面zxyzxy關(guān)關(guān)于于xoz,yozxoz,yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面對對稱稱，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyzdxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz

6、|dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx 利用極坐標(biāo)利用極坐標(biāo) trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 計(jì)計(jì)算算 xdS, 其其中中 是是圓圓柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所圍圍成成的的空空間間立立體體的的表表面面.例例4 4解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx顯

7、顯然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS討討論論3 時(shí)時(shí), 將將投投影影域域選選在在xoz上上.（注意：注意：21xy 分為左、右兩片分為左、右兩片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右兩片投影相同）（左右兩片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.四、幾何與四、幾何與物理意義物理意義(2)(2)當(dāng)當(dāng) (x,y,z)(x,y,z)表表示示 面面密密度度時(shí)時(shí), ,M M (x,y,z)dS;(x,y,z)dS; (1)(1)當(dāng)當(dāng) f(x,y,z)1f(x,y,z)1時(shí)時(shí), ,

8、 曲曲面面面面積積S1dS;S1dS; (3)(3) 曲曲面面對對 x x軸軸及及 y y軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣慣量量 , ,22222222xyxy2222z zI(yz )I(yz ) dS,I(xz )dS,I(xz ) dSdSI(xy )I(xy ) dSdS (4)(4) 曲曲面面的的重重心心坐坐標(biāo)標(biāo)x xdSydSydSzdSzdSdSx,y,z.x,y,z.dSdSdSdSdSdS例例5 5：求半徑為求半徑為a a 的均勻球殼的均勻球殼 對其直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣對其直徑軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量量. .2222x xI(yz )I(yz ) dSdS 2222222 2 (xyz )dS(xyz )d

9、S3 3 4 48 8a a3 3 思考題思考題: 設(shè)設(shè)),0(:2222 zazyx在在第第 為1一卦限中的部分一卦限中的部分, 則有則有( ).;d4d)(1 SxSxA;d4d)(1 SxSyB;d4d)(1 SxSzC.d4d)(1 SzyxSzyxDC四、小結(jié)四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算域上的二重積分計(jì)算.1、 對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分的概念; dSzyxf),(iiiniiSf ),(lim10 （按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二

10、重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個(gè)因子的幾何意義這個(gè)因子的幾何意義.221yxzz 思考題解答思考題解答是曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設(shè)設(shè) 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)

11、(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面. .練練 習(xí)習(xí) 題題二二、計(jì)計(jì)算算下下列列對對面面積積的的曲曲面面積積分分: : 1 1、 dszxxxy)22(2, ,其其中中 為為平平面面 622 zyx在在第第一一卦卦限限中中的的部部分分； 2 2、 dszxyzxy)(, ,其其中中 為為錐錐面面22yxz 被被 柱柱面面axyx222 所所截截得得的的有有限限部部分分 . . 三三、求求拋拋物物面面殼殼)10)(