蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第六章《相似三角形》必考題復(fù)習(xí)(附練習(xí)答案)

1、相似圖形必考題復(fù)習(xí)一、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1 .（3分）己知兩數(shù)4和8,試寫出第三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)是其余兩數(shù)的比 例中項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)是 （只需寫出一個(gè)即可）.2 . （3分）如圖，在aABC中，48=8, AC=6,點(diǎn)。在AC上，且AO=2,如果要在A3上找一點(diǎn)£使AOE與原三角形相似，那么AE=13 . （3分）如圖，在A3C中，點(diǎn)。在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使AOCs/XACB, 那么可添加的條件是.4 .（3分）如圖，D, E分別是AABC的邊A8, AC上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使ABC 與AEQ相似，你添加的條件是.5 .（3分）下列

2、命題：所有的等腰三角形都相似：所有的等邊三角形都相似：所有 的等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似：其中真命題是（把所有 真命題的序號(hào)都填上）.6 . （3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A （4, 0）、B （0, 2）,如果點(diǎn)C在;v軸上（C與A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 或 時(shí)，使得由點(diǎn)8、。、。組成的三角形與A4O8相似（至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)）.7. （3分）如圖，在平行四邊形A8CO中，AB = 8°，AO=4cm, E為AO的中點(diǎn)，在A8上取一點(diǎn) F,使ACBFsACDE,則 AF=8 .（3分）如圖，OE與8C不平行，當(dāng)延=時(shí)，ABC與AOE相似.AC

3、二、選擇題（共10小題，每小題3分，滿分30分）9 .（3分）給出4個(gè)命題：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似：。兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似；一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，其中正確的命題是（）A.B.C.D.10 .(3分)如圖,己知。E8a EF/AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是()> AD AEb 更里c DE JD口 里 JL一 AB =AC ' CF =PB' BC =BO' AB 'CB11.（3分）如圖，D、E分別是A3、AC上兩點(diǎn)，CO與BE相交于點(diǎn)0,下列條件中不能使AABE和AC。相

4、似的是（）A. ZB=ZCB. ZADC= ZAEBC. BE=CD, AB=ACD. AD： AC=AE： ABABC第1012. （3分）如圖，在矩形A8C。中，E, F分別是CD, 8C上的點(diǎn)，若NAEF=90： 則一 定有（）A. AADEAECF B. AECFAAEF C. /XADEAAEF D. /AEFABF13. （3分）如圖，E是平行四邊形A5CO的邊8c延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE交CO于凡 則圖中共有相似三角形（）A. 1對(duì)D. 4對(duì)EB. 2對(duì)DBC14. （3分）如圖，*第13題BB.和C.和G第15題)A.和D.和15. （3分）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：

5、"（7,8CO,ABDE,BFG, ©AFGH,EFK,在中，與三角形相似的是（）A.B.C.16. （3分）如圖，M是RtZVIBC的斜邊8C上異于8、C的定點(diǎn), 使截得的三角形與ABC相似，這樣的直線共有（）D.過(guò)M點(diǎn)作直線截ABC,A. 1條17. (3分)如圖,( )A. 4個(gè)B. 2條C.3條D.4條銳角ZkABC的高CD和BE相交于點(diǎn)O,圖中與相似的三角形有B. 3個(gè)C. 2個(gè)D,1個(gè)第18題18. （3分）如圖A3COEF,則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為（B. 2對(duì)C. 3對(duì))A. 1對(duì)D. 4對(duì)三、解答題（共24小題，滿分96分）19 .在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)

6、叫做格點(diǎn).以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如 圖，請(qǐng)你在4X4的方格紙中，畫一個(gè)格點(diǎn)三角形AiBCi，使481。與一個(gè)格點(diǎn)三角 形A8C相似（相似比不為1）.Jc20 .如圖，ABC 中，BC=a.(1)若 AOi=1A8, AE =X1C 則 QiEi= ； 33(2)若。1。2=焉。出，EiE2=-EC,則。2及=：(3)若，。3=028, EiE3=EiC,則。3七3=3(4)若。.一 8, En En=>En Cf 則?！癊尸3321.如圖，ABC 與AO5 中，ZABC= ZADB=90° , AC=5c?，AB=4cm,如果圖中的兩個(gè)直角三角形相似，求A。的長(zhǎng)

7、.22 .己知：如圖，在正方形A5CO中，P是3C上的點(diǎn)，且3P=3PC,。是CO的中點(diǎn). A。與是否相似？為什么？23 .已知：如圖，AABC 中，NABC=2NC, B。平分NA8C 求證：ABBC=ACCD.24 .如圖，已知：A3C為等腰直角三角形，NAC8=90° ZECF= 135° ,求證：AEACsACBF.25 .如圖，一個(gè)三角形鋼筋框架三邊長(zhǎng)分別為20c?、50cm. 60cm,要做一個(gè)與其相似的鋼筋框架.現(xiàn)有長(zhǎng)為30a和50c?的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下 兩段(允許有余料)作為另外兩邊，你認(rèn)為有幾種不同的截法？并分別求出.30cm

8、50cm26 .已知：如圖，/XABC 中，AD=DB, Z1 = Z2.求證：AABCAEAD.27 .如圖，點(diǎn)C。在線段上，PCO是等邊三角形.(1)當(dāng)AC、CD、。8滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，(2)當(dāng)ACPs/PO8時(shí)，求/A尸8的度數(shù).28 .如圖，四邊形ABC。、CDEF、EFG都是正方形.(1)/XAC尸與GCA相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由：(2)求N1+N2的度數(shù).29 .如圖，己知N1 = N3, NB=ND, AB=DE=5cm. BC=4cm.(1) ABCszMOE嗎？說(shuō)明理由.(2)求A。的長(zhǎng).30 .如圖，在正方形A8CO中，七為AD的中點(diǎn)，EE_LEC交48于E,連接FC(AB&g

9、t;AE), AAEFsAEFC嗎?若相似，請(qǐng)證明；若不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由.若ABC。為矩形呢？31 .如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，AE_L3C于E, AFLCDF.（1） ZiABE與AA。尸相似嗎？說(shuō)明理由.（2） ZVIEF與AABC相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.32 .如圖，。為ABC 內(nèi)一點(diǎn)，E 為ABC 外一點(diǎn)，且N1 = N2, Z3=Z4.（1） ZiAB。與ACBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2） ZiABC與O8E相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.33 .將兩塊完全相同的等腰直角三角形，擺成如圖所示的樣子，假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)和線段 都在一個(gè)平面內(nèi)，回答下列問(wèn)題：（1）圖中有多少個(gè)三角形，把它們一一

10、寫出來(lái)；（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有把它們一一寫出來(lái).34 .如圖，ABLBC, DCA.BC,垂足分別為氏 C,且 AB=8, OC=6, 8c=14, BC 上是 否存在點(diǎn)P使4AB尸與OCP相似？若有，有幾個(gè)？并求出此時(shí)8P的長(zhǎng)，若沒(méi)有，請(qǐng) 說(shuō)明理由.35 .已知：如圖，CE是RtZA3C的斜邊AB上的高，BG±AP.求證：CE2=EDEP.c36.如圖，在直角梯形ABC。中，AB/CD, A。上能否找到一個(gè)點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、A、 三角形相似？若能，共有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P?并求相應(yīng)的PD的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由.線MN將MCN翻折，使點(diǎn)C落在邊A3上，設(shè)其落點(diǎn)為

11、P.（1）當(dāng)點(diǎn)P是邊A8的中點(diǎn)時(shí)，比例式改=更成立嗎？為什么？ PB CN（2）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，工殳=更是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.PB CN38 .如圖.已知在 RtA43C 中，NACB=90° , AOBC, CO 是 Rt&WC 的高，E 是 AC 的中點(diǎn)，EO的延長(zhǎng)線與C8的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.（1）求證：OE是BE和CF的比例中項(xiàng)：（2）在A8上取一點(diǎn)G,如果AEAC=AG-A。，求證：EG，CF=EDDF.39 .反比例函數(shù)v=N的圖象在第一象限的分支上有一點(diǎn)A（3, 4）, P為工軸正半軸上的一 x個(gè)動(dòng)點(diǎn)，（1）求反比例函數(shù)解析式.（2）當(dāng)P在什么位置時(shí)

12、，。出為直角三角形，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).40 .如圖，在RtZMBC中，ZACB=90° , C。為斜邊中線，點(diǎn)。是ABC外一點(diǎn)，Z CDB=COB,線段CD與線段AB相交于點(diǎn)M.2探究：(1)求證：(2)如圖，當(dāng)NCOB = 30° ,且 OM=BM 時(shí)，求證：CM=DM,應(yīng)用：如圖，在218中，PA = PB,點(diǎn)C是%B外一點(diǎn)，ZACB=ZAPB.線段AC 與射線3P相交于點(diǎn)。.若PB=4, ADDC=7,請(qǐng)直接寫出B。的值.41 .如圖(1), ZVIBC是等邊三角形，。是8C邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且NAOF=60。，點(diǎn)F在線段AC上.(1)求證：AABDsADCF；(2

13、)若AB=6,則當(dāng)8。為何值時(shí)，AF=H：6(3)如圖(2), ADA.DE. BELDE,且 AD=14, 8E=22,點(diǎn)。在 OE上，且ABC 是等 邊三角形，求ABC的面積.42 .如圖1,將正方形紙片A8CO對(duì)折，使A5與CO重合，折痕為EF.如圖2,展開后再 折疊一次，使點(diǎn)。與點(diǎn)E重合，折痕為GH,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M, EM交AB于N.若A。 =2,求線段MN的長(zhǎng)度。參考答案與試題解析 一、填空題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1. （3分）已知兩數(shù)4和8,試寫出第三個(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中，其中一個(gè)數(shù)是其余兩數(shù)的比 例中項(xiàng)，第三個(gè)數(shù)是.2或16或土幺歷_（只需寫出一個(gè)即可）.【解答】

14、解：設(shè)第三個(gè)數(shù)是二 根據(jù)比例中項(xiàng)的概念,得8x=16, x=2：或 4x=64, x=16：或 f=32, =±42-故填 2 或 16 或土甸以2. （3分）如圖，在aABC中，48=8, AC=6,點(diǎn)。在AC上，且AO=2,如果要在A3上找一點(diǎn)E，使AO七與原三角形相似，那么AE= 旦或3.-3 -2 -【解答】解：第一種情況：要使ABCs/aoE, NA為公共角，AB： AD=AC： AE,即 8： 2=6： AE,，AE=3：2第二種情況：要使A3Cs2AEZ）, NA 為公共角，AB： AE=AC： AD,即 8： AE=6： 2, ：.AE=.故答案為：旦或3.33 23

15、. （3分）如圖，在A3C中，點(diǎn)。在A3上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使AOCs4C& 那么可添加的條件是 NADC=NAC8或NACD=N3或AC2=aq38 .【解答】解：V ZDAC=ZCAB.，當(dāng)NAOC=NAC8 或NACO=N8 或 AC2=AOA8 時(shí)，均可得出AOCsQmcb.故答案為：NAOC=NAC8 或 NACZ）=N5 或4. （3分）如圖，D, E分別是AABC的邊A8, AC上的點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使ABC 與AEQ相似，你添加的條件是 NAED=NB.【解答】解：NAED=NB.5. （3分）下列命題：所有的等腰三角形都相似：所有的等邊三角形都相似：所有 的

16、等腰直角三角形都相似；所有的直角三角形都相似；其中真命題是 （把所 有真命題的序號(hào)都填上）.【解答】解：本題考查相似三角形的判定性質(zhì)，等腰三角形三角不一定相等，不符合相似三角形的特點(diǎn)，錯(cuò)誤；而所有的等邊三角形三角相等，是相似三角形，正確；所有的等腰直角三角形三角都相等，因此都相似，正確：所有的直角三角形三角不一定都相等，不都相似，錯(cuò)誤.其中真命題是0.6. (3分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A (4, 0)、B (0, 2),如果點(diǎn)C在x軸上(C 與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為 (7.0) 或 (1,() 時(shí),使得由點(diǎn)兒。、C 組成的三角形與aAOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)).更

17、。：2)I I -O (4:0)【解答】解：丁點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是0,且當(dāng)N8OC=9(T時(shí)，由點(diǎn)8、0、 C組成的三角形與AlOB相似，即N8OC應(yīng)該與N8OA=90°對(duì)應(yīng)，當(dāng)AOBs/cob,即 OC 與 OA 相對(duì)應(yīng)時(shí)，則。=04=4, C(-4, 0)；當(dāng)A0Bs/30C,即 0C 與 08 對(duì)應(yīng)，則 OC=1, C ( - 1, 0)或者(1, 0).故答案可以是：(-1, 0)： (1, 0).7. (3分)如圖，在平行四邊形A8CO中，AB = 8°，AD=4cm, E為A。的中點(diǎn)，在A8 上取一點(diǎn) F，使ACBFsACDE,則 AF= 7 cm.【解

18、答】解：在平行四邊形A3CO中，AB=8c】，AD=4cm, E為A。的中點(diǎn).則BC= AD=4c/n. DE=2cm. CD=AB=Scm.: CBFsCDE,，型=巫.即匹=典：.AF=AB - BF=S - =7cm.CD DE 82 ,8 .(3分)如圖，OE與8c不平行，當(dāng)?shù)? 迪 時(shí)，ZXABC與AOE相似.AC -AD-【解答】解：根據(jù)題意得：NA = NA，當(dāng)?shù)?典時(shí)，從8。與AAOE相似：AB ACTOE與8c不平行，當(dāng)I坦時(shí)，ZVIBC與AOE相似：即也望.AB ACAC AD二、選擇題(共10小題，每小題3分，滿分30分)9 .(3分)給出4個(gè)命題：三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三

19、角形相似：而兩邊對(duì)應(yīng)成比例且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似：一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形相似，其中正確的命題是()A.B.C. D.【解答】解：正確；需是夾角對(duì)應(yīng)相等才相似，錯(cuò)誤：一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似，正確：若一個(gè)等腰三角形的頂角和另一個(gè)等腰三角形的底角對(duì)應(yīng)相等，那么兩個(gè)等腰三角形 不相似，故錯(cuò)誤.正確的有故選：A.10 .(3分)如圖,己知。E3C, EF/AB,則下列比例式中錯(cuò)誤的是()B f C& AD AE 口 CE EA .DE AD n EF CFAB ACCF FBBC BDAB CB【解答】解：:DE/BC, EF

20、/AB, ：. /ADEAABC, AEFCAABC,:.ADEsXEFC, .地望，CE =EA, 第0.故選 c.AB AC CF FB AB CBU.（3分）如圖，D、E分別是A3、AC上兩點(diǎn)，CO與BE相交于點(diǎn)O,下列條件中不能 使A4BE和AC。相似的是（）A. NB=NCB. ZADC= ZAEBC. BE=CD, AB=ACD. AD： AC=AE： AB【解答】解：NA = NA,工當(dāng)N8=NC或NAOC=NAE8 或 AD： AC=AE： A8 時(shí)，ABE和4從。相似.故選：C.12 .（3分）如圖，在矩形A3CD中，E, F分別是CO, 8c上的點(diǎn)，若NAE/=90

21、6; ,則一 定有（）A. AADEsMCF B. AECFAAEF C. AADEAAEF D. ZXAEFAABF 【解答】解：在矩形ABC。中，AZD=ZC=90° ,V ZAEF=90a ：. ZDEA+ZCEF=90° , ZDEA+ZDAE=90>B.和C.和: XADFsXEBAsWCF,，有三對(duì)，故選：C.14. （3分）如圖，D.和A.和13 . （3分）如圖，E是平行四邊形ABC。的邊8C延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接AE交CO于凡 則圖中共有相似三角形（）A. 1對(duì)B.2對(duì)C. 3對(duì)D. 4對(duì)【解答】解：ABC。是平行四邊形，:.ADBC, DC/AB【解

22、答】解：和相似，;由勾股定理求出的三角形的各邊長(zhǎng)分別為2、6、V10： 由勾股定理求出的各邊長(zhǎng)分別為久歷、2、2姓，.亍蘭豆=等,津=亞，即=返=津，兩三角形的三邊對(duì)應(yīng)邊成比例，2后 2272 2 275，相似.故選：C.15. （3分）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)斜三角形：AA8C,8CO,8。心 A.D.BFG,FG，XEFK,在中，與三角形相似的是（）【解答】解：設(shè)第個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則A3C的各邊長(zhǎng)分別為1BC。的各邊長(zhǎng)分別為1、26：AB。七的各邊長(zhǎng)分別為2、26、2d號(hào)（為AABC各邊長(zhǎng)的2倍）：BEG的各邊長(zhǎng)分別為5、厭、聲（為各邊長(zhǎng)的巡倍）：&以；的各邊長(zhǎng)分別為2、6

23、、V10 （為各邊長(zhǎng)的6倍）；長(zhǎng)的各邊長(zhǎng)分別為3、瓜娓.根據(jù)三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似得到與三角形相似的是.故選：B.16. （3分）如圖，M是RtZiABC的斜邊8C上異于8、C的定點(diǎn)，過(guò)M點(diǎn)作直線截A3C,使截得的三角形與AABC相似，這樣的直線共有（）D. 4條A. 1條【解答】解：:截得的三角形與AABC相似，過(guò)點(diǎn)M作A8的垂線，或作AC的垂線，或作8C的垂線，所得三角形滿足題意 ，過(guò)點(diǎn)M作直線/共有三條，故選：C.17. （3分）如圖，銳角ZkABC的高。和8E相交于點(diǎn)0,圖中與相似的三角形有A. 4個(gè)B. 3個(gè)C 2個(gè)D.1個(gè)【解答】解：: /BDO=/BEA=90

24、6; , /DBO=NEBA, :BDOsBEA,V ZBOD= ZCOE, ZBDO=ZCEO=90° , :BDOsdCEO,NCEO=NCZM=90° , /ECO=NDCA, ：.ACEOACDA,18. （3分）如圖AB8EF,則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為（）A. 1對(duì)【解答】解:B. 2對(duì)BC 3對(duì)D.4對(duì)9：AB/CD/EF, ACQs/XAEF, AECDAEAB.，圖中共有3對(duì)相似三角形.故選：C.三、解答題（共19小題，滿分。分）19.在方格紙中，每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以格點(diǎn)連線為邊的三角形叫做格點(diǎn)三角形.如圖，請(qǐng)你在4X4的方格紙中，畫一個(gè)格點(diǎn)三角形Ai

25、BCi， 形ABC相似（相似比不為1）.【解答】解：20.如圖，ZiABC 中，BC=a.(1)若 AOi=Ia& AE =-Uc 則 QE= L/ ；(2)若EE2 =使AiBCi與一個(gè)格點(diǎn)三角一3一 &C，則小金=旦 39(3)(4)若。13，En Eu=En iCt 則 DnEn 333n-2n3n若DD=DB E正產(chǎn)工EC則。疙3= a_- 3' -27【解答】解：(I) ADi=3aB, AEi=Lc, NA = NA, AAADiEiZkABC, 33DR 知 DE /11J-=-即-=-，。用=工況=三一1,:故答案為：BC AB a 13313(2)AE

26、i=C,。1小=4必，ExEi=EC, NA=NA,3333:.AZhEzsAABC,(AB-Lb)=鳥8, o 1D =418, ：.AD2=AD1+D1D1 =Xa8d3-33AD2_D2E21b bc-ABM 解得£>2七2=2/=3212,故答案為：紅八93293 3（3）;同（1）可得A6E3sABC, D3E3=里/=> W a,故答案為：且處273，27 a2n 9n9n（4）由（1） （2） （3）可知，DnEL -乙"，故答案為：3 -乙u3n3n21.如圖，ABC 與AO5 中，NA8C=NAQB=9（T , AC=5cnu AB=4cm9

27、如果圖中的 兩個(gè)直角三角形相似，求A。的長(zhǎng).A【解答】解：NA8C=NADB=90° , AC=5cm9*e, 5C=a/xC2-AB2= 3cm,若A4BCsZaO& 則至即且，解得:AB AD4 AD若zMBC/Zoa,則笆,圖，即包上，解得: AB AD4 ADAB=4cm93以53工5cm；m.A。的長(zhǎng)為：里7522.己知：如圖，在正方形A5CO中，P是3c上的點(diǎn)，且BP=3PC,。是8的中點(diǎn). A。與QCP是否相似？為什么？【解答】解:；BP=3PC,XXOQs XPCQcp=_Lbc=_1c。, 44.,。是。的中點(diǎn)，：.CQ=DQ=XD.a£P = C

28、Q.=A,又： /c=/d. :./adqaqcp.QD AD 223.已知：如圖，ABC 中，NA3C=2NC, 5。平分NA8C 求證：AB*BC=AC/CD.【解答】證明:NA8O=NO8C=NC,:.BD=CD, / / 4= / A在AB。和 AAC3 中，1 匚門?？?，:.ABDsXACB,(zabd=zce J :=>» 即 A88C=AC8。， ：.ABBC=ACCD.AC BC24 .如圖，已知：ABC為等腰直角三角形，NAC8=90° ,延長(zhǎng)8A至E,延長(zhǎng)A8至F, ZECF= 135° ,求證：AEACsACBF.E AB【解答】證明

29、：A8C為等腰直角三角形，NAC8 = 90° , ，NCAB=NC區(qū)4=45° , A ZE+ZECA =45° （三角形外角定理）.又NEC尸=135° , ：.ZECA+ZBCF=ZECF- ZACB=45C , ：.ZE=ZBCF,同理，/ECA = /F, :EACsCBF.25 .如圖，一個(gè)三角形鋼筋框架三邊長(zhǎng)分別為20c?、50“、60cm.要做一個(gè)與其相似的鋼 筋框架.現(xiàn)有長(zhǎng)為30cz和50“的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根上截下 兩段（允許有余料）作為另外兩邊，你認(rèn)為有幾種不同的截法？并分別求出.30c 制50cm【解答】解：

30、有兩種不同的截法：（1）如圖（一），以30o長(zhǎng)的鋼筋為最長(zhǎng)邊，設(shè)中邊為心 短邊長(zhǎng)為y, 則有，辿一解得x=25,60 50毀上，解得=10,60 20所以從50cm長(zhǎng)的鋼筋上分別截取10cm 25cM的兩段；（6分）（2）如圖（二）以30o長(zhǎng)的鋼筋為中邊，設(shè)長(zhǎng)邊為X，短邊長(zhǎng)為A G奇嗡，解得X=36,毀上，解得y=12.50 20所以從50加長(zhǎng)的鋼筋上分別截取12加、36皿的兩段.（12分）（3）若以30。長(zhǎng)的鋼筋為短邊，設(shè)長(zhǎng)邊為x,中邊長(zhǎng)為y,V ZBDA = Z1+ZC= Z2+ZADE,又= ：.ZC=ZADE.：.XABCs AEAD.21.如圖，點(diǎn)C。在線段上，PCO是等邊三角形.（

31、1）當(dāng)AC、CD、。8滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，ACPsAPDB：（2）當(dāng)ACPs2pob 時(shí)，求NAPB 的度數(shù).【解答】解：(1)當(dāng)CQ2=ACO3時(shí)，MCPsAPDB, :PCD是等邊三角形,:.NPCD=/PDC=6U0 ,/. ZACP=ZPDB=20° ,即生=幽,BD PD若 CD?=ACDB,由 PC=PO=CO 可得：PCPD=ACDB, 則根據(jù)相似三角形的判定定理得ACPs2pz)8(2)當(dāng)ACPs2PO8 時(shí)，/APC=NPBDVZPDB=120° ,:NDPB+/DBP=60°，NAPC+N8PO=6(T , A ZAPB= ZCPD+ZAPC+Z

32、BPD= 120° 即可得NAP8的度數(shù)為120。.28 .如圖，四邊形480 CDEF、EFG都是正方形.(1)AC/與GCA相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由；.AC_V2aCF a=瓜爛卷S嘴嚙(2)求N1+N2的度數(shù).【解答】解：E為A。的中點(diǎn)，."E=OE,VEF1EC A ZAEF+ZDEC=W , NDCE+/DEC=90° ,:NAEF=NDCE,丁 ZACF= NACF, :. ACFs2GCA； (2):ACFs4gcA,，N1 = NG4F,VZCAF+Z2=45° , A Zl+Z2=45a .29 .如圖，己知N1 = N3, /B=/D,

33、AB=DE=5cm. BC=4cm.(1) ABCs&ioe嗎？說(shuō)明理由.(2)求AO的長(zhǎng).【解答】解：(1) AABCAADE.理由：VZ1 = Z3,，1+N2=N3+N2,即N8AC=NOAE.： /B=/D, ：.AABCAADE.(2) A3CsA4OE,上：.AB： AD=BC： DE,即 5： AD=4： 5, ：.AD=L Q7). 430 .如圖，在正方形A8CO中，七為AD的中點(diǎn)，EF上EC交AB于F,連接FC(AB>AE), 若ABC。為矩形呢？又NA=NO=90° , :AEFsXDCE,，嫗=坐=空，里=迎DE CD EC AE EC又NA=N

34、CEF=9(T , :/AEFs4EF3ABC。為矩形時(shí)，同理可得AEFsZSkocE, AF_AE_EF AF_EF , , DE CD EC AE EC又NA=NCEF=9(r , :/AEFs/EFC.31.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，AE_L8c于E, AFLCDF.（1） AABE與AA。尸相似嗎？說(shuō)明理由.（2） ZAEF與A48C相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.【解答】解：（1）相似.理由如下：二四邊形A8CQ是平行四邊形，/8= NO, AE_L3c 于 E, AFLCD 于 F./. ZAEB=ZAFD=90 , A AABE ZXADF： （2）相似.理由如下：V /ABE&g

35、t;/ADF. 幽=雪 而 AO=8C,，膽二里 AD AFAE AF四邊形A3CQ是平行四邊形，"C。，：.ZBAF=ZAFD=90Q , A ZEAF+ZBAE=9 , 而N8+N8AE=90° , ：.ZB=ZEAF,：.AAEFsBAC.32. 如圖，。為ABC 內(nèi)一點(diǎn)，E 為ABC 外一點(diǎn)，且N1 = N2, Z3=Z4.（1） A3O與ACBE相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2） ZiABC與O8E相似嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：（1）相似.理由如下：VZ1 = Z2> N3 = N4.:.ABDMCBE：（2）相似.理由如下：VZ1 = Z2, N1 + /DBC

36、=N2+DBC,即/月3C= NOBE,：/ABDsACBE,，些=理,，延=里,：.ABCsXDBE.BC BE BD BE33.將兩塊完全相同的等腰直角三角形，擺成如圖所示的樣子，假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)和線段 都在一個(gè)平面內(nèi)，回答下列問(wèn)題：（1）圖中有多少個(gè)三角形，把它們一一寫出來(lái)：（2）圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有把它們一一寫出來(lái).【解答】解：(1) 7 個(gè)，分別為：AABD. LABE、AABC、AADE、A。、AEC、 AFG：(2) AADEABAE, ACDAAADE. ABAEACDA,證明：ABC與aAFG都為等腰直角三角形，：.ZDAE=ZB=45° ,

37、ZAED=ZBEA, ：.AADE/BAE.同理：ACDA/ADE. ：.ABAEACDA.34 .如圖，ABLBC, DCA.BC,垂足分別為氏 C,且 A8=8, OC=6, 8c=14, BC 上是 否存在點(diǎn)P使A3尸與OC尸相似？若有，有幾個(gè)？并求出此時(shí)8P的長(zhǎng)，若沒(méi)有，請(qǐng) 說(shuō)明理由.【解答】解：設(shè)8P=x,則PC=14-x,8P與CP是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，空=些，即_=且，解得x=8,CP DC14-x 68P與。C是對(duì)應(yīng)邊時(shí)，至巳=也,即二=-,解得xi =6,刈=8, DC CP6 14-x所以，BC上存在兩個(gè)點(diǎn)P, BP=6或8使八43尸與OCP相似.35 .已知：如圖，CE是RtZAB

38、C的斜邊AB上的高，BGLAP.求證：CE2=EDEP.【解答】證明：CE是RtZABC的斜邊A8上的高， ：lkCEsXCBE, 里=里 KJ CE2=AEBE.AE CE CE是Rt4BC的斜邊A3上的高，BGA.AP, NP+N用E=90° , NDBEM必E=90° ,：NP=NDBE,又：NAEP=NDEB=9g , ：.AAEPADEB； 幽=里，即 aEBE=EOEP,又：Cf=AEBE,:CE2=EDEP.DE EB36 .如圖，在直角梯形 A8CO 中，ABCD, DA1,AB, CQ=2, A8=3, AO=7,在線段A。上能否找到一個(gè)點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、

39、A、8為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)P、C、。為頂點(diǎn)的三角形相似？若能，共有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)尸？并求相應(yīng)的尸。的長(zhǎng)；若不能，說(shuō)明理由.【解答】解：能相似.如圖：:在直角梯形 ABC。中，AB/CD, DA±AB9 ：. ZA=ZD=90° , 設(shè)尸。=x, VCD=2t A8=3, AD=7,則以=A。- PO=7 - x,3 7-x：.PD= 或 6,當(dāng)空型時(shí)，XPCDsMBPA,則/_ J,解得：r=i或x=6, FA AB7-x 3,PCDsXPBX,則2=,解得：.PD=37 .如圖，A8是等腰直角三角形A8C的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊8c上，沿直 線MN將MCN翻折

40、，使點(diǎn)C落在邊A8上，設(shè)其落點(diǎn)為P.（1）當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，比例屋良=成立嗎？為什么？PB CN（2）當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，里=里是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.PB CM【解答】解：（1）點(diǎn)P是邊A8的中點(diǎn)時(shí)，比例式里=生成立.PB CM理由：如圖（1）,連接PC,MN是折痕，垂直平分PC, 9AC=BC, AP=BP, C.CPLAB,肚=1,PB:MNAB, :CMNsMAB,筌=1, ：.h=L.CN BC PB CN(2)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，世=仍然成立.PB CN理由：如圖(2),連接PC,則MALLPC, 過(guò)點(diǎn)P作PEL4C于點(diǎn)£V ZACB=90°

41、 , NA 是公共角，：.AAEPAACB,，弛二, PB EC9AC=BC, ：. ZA = ZB=45° , NAPE=N5=45° ,：.AE=EP,: /MCN=90° , CPLMN,工/ECP= NMNC, :AMCNsAPEC, .CM CN - CM PE AE - PA.CMPE ECCM EC EC PB CNCl）（2）38.如圖，己知在 RtZiABC 中，NAC8=9（T , AC>BC, CO 是 RtZA3C 的高，石是 AC 的 中點(diǎn)，七。的延長(zhǎng)線與C5的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.（1）求證：OF是8F和CF的比例中項(xiàng)：【考點(diǎn)】相似三

42、角形的判定與性質(zhì).【專題】證明題：三角形：圖形的相似.【分析】（1）由NAC8=90°、COLAB利用同角的余角相等可得出N8CO=NA,由E 是AC的中點(diǎn)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出DE=AE,進(jìn)而可得出 NAOE=NA,結(jié)合對(duì)頂角相等可得出NFCQ=NFZ）8,再結(jié)合公共角NCFD=NOF8, 即可證出。/。心，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可證出DF?=BF5（2）由A£>47=從67。結(jié)合乙4=/從可證出4從反7644。，根據(jù)相似三角形的性質(zhì) 可求出NAEG=NAOC=9（T ,結(jié)合NAC8=90°可得出EGBC,進(jìn)而可得出毀=度,ED DF

43、根據(jù)（1） CFQs/OFB可得出變=，等量替換后可得出旦£=變，進(jìn)而即可證出 CF DFED CFEGCF=ED，DF.【解答】證明：（1）V ZACB=90° , CD1AB, ：. ZBCD=ZA, ZADC=90° .是 AC 的中點(diǎn)，:DE=AE=CE, ：. ZADE=ZA, ：. ZBCD=ZADE.又NADE=NFDB, ：.ZFCD=ZFDB.： /CFD=NDFB, :CFDsDFB,:.DF?=BFCF.（2） AEAC=AGA。，蟠=£AD ACNA = NA, AEGsAAOC, ：.EG/BC. :.EGDs/FBD,，毀=電

44、.ED DF由（1）知：CFDsADFB,，更=型，匹=，；.EG*CF=EDDF.CF DF ED CF【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、互余、平行線的判定與性質(zhì)以及直角三 角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用相似三角形的性質(zhì)找出CFOs2of& （2）根 據(jù)相似三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)找出更=巫、股=度.CF DF ED DF39.反比例函數(shù)y=K的圖象在第一象限的分支上有一點(diǎn)A （3, 4）, P為x軸正半軸上的一個(gè) x動(dòng)點(diǎn)，（1）求反比例函數(shù)解析式.（2）當(dāng)P在什么位置時(shí)，。用為直角三角形，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量

45、的垂直關(guān)系.【專題】綜合題.【分析】（1）將A（3, 4）代入y*可得k的值，進(jìn)而可得函數(shù)解析式： X（2）可分兩種情況：當(dāng)N0A = 9（T時(shí)，易得：當(dāng)NQ4P=90°時(shí)，過(guò)A作軸于H，易得。4/從尸”，進(jìn)而可得得51盤1：化簡(jiǎn)代入數(shù)據(jù)可得答案.AH PH【解答】解： 將A （3, 4）代入y4，（1分）£ 得K=12,所以函數(shù)解析式為y2： （2分）; 不、25"V（2）當(dāng)NOAP=90° 時(shí)，P （幺，0）, （3 分）_ 3hP當(dāng)/OAP=90°時(shí)，過(guò)A作從_1_工軸于，'2 -由0As/4P，（4 分）得型RPpTT=_L=l

46、l;AH PH OH 3上所以，。尸=3包=生：此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（生，0）.（5分） 333當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3, 0）時(shí)，0%也是直角三角形.【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn).此題難度稍大，綜合性比 較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用.40.如圖，在RtZA8C中，ZACB=90° , C。為斜邊中線，點(diǎn)。是48C外一點(diǎn)，Z CDB=L/COB,線段CO與線段AB相交于點(diǎn)M.2探究：（1）求證：（2）如圖，當(dāng)NCZ）B=30° ,且 0M=8M 時(shí)，求證：CM=DM,應(yīng)用：如圖，在見8中，PA=PB,點(diǎn)C是見8外一點(diǎn)，ZACB=ZAPB.線段AC與射

47、線5尸相交于點(diǎn)。,若PB=4, ADDC=7,請(qǐng)直接寫出8。的值.【考點(diǎn)】相似形綜合題.【專題】等腰三角形與直角三角形：圖形的相似.【分析】探究：（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到4。=。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NA= NAC。，推出NA = NCD8,于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)已知條件得到，NCOB=6（T ,推出COB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性 質(zhì)得到NOCM=N8CM=3（T ,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；應(yīng)用：如圖，延長(zhǎng)8P到Q,使尸。=3尸；連接A。；則/。=/力0, ZAPB=ZQ+ZPAQ =2/0：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到ADDC=QDBD,設(shè)PD=x,則。=4+心BD

48、=4 -x,列方程即可得到結(jié)論.【解答】解：探究：（1）證明：:在RtZXABC中，NAC8=90° , CO為斜邊中線， ：.AO=CO, ：. ZA = ZACO. V ZBOC= ZA+ZACO, ：. ZA=ZCOB.2: /CDB=Z/COB, ：. ZA=ZCDB, V ZAMC=ZDMB9 ：.AAMCADMB,2(2) VZCDB=30° ， ZCDB=ZCOB.，NCO8=60° , 2COB是等邊三角形，：.CO=CB,，N0CM=NBCM=3(r ,：/OCM=NCDB, rZ0CM=ZCDB在COM 與O8W 中， ZCM0=ZDMB，：.ACOMADBM (A4S), ：.CM=DM；vB兒應(yīng)用：如圖，延長(zhǎng)8P到Q，使PQ=5P：連接AQ：則NQ=N必。，NAP8=NQ+N%0 = 2N。；V ZAP