置信區(qū)間詳細(xì)定義及計(jì)算

1、.1第七章置信區(qū)間的概念置信區(qū)間的概念一、置信區(qū)間的概念一、置信區(qū)間的概念 二二 、數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間、數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間 三三 、方差的置信區(qū)間、方差的置信區(qū)間 .2這種形式的估計(jì)稱為區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì). .前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù).但是點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大.范圍通常用區(qū)間的形式給出的。較高的可靠程度相信它包含真參數(shù)值.也就是說，我們希望確定一個(gè)區(qū)間， 使我們能以比 這里所說的“可靠程度”是用概率來度量的，稱為置信概率，置信度或置信水平. 習(xí)慣上把置信水平置信水平記作 1 ，這里 是一個(gè)

2、很小的正數(shù)，稱為顯著水平顯著水平。.3),(2111nXXX),(2122nXXX)(21若由總體X的樣本 X1,X2,Xn 確定的,21則稱 為隨機(jī)區(qū)間。兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量隨機(jī)區(qū)間與常數(shù)區(qū)間),(ba不同， 其長度與在數(shù)軸上的位置與樣本nXXX,21有關(guān)。當(dāng)一旦獲得樣本值nxxx,21那么，),(211nxxx),(212nxxx都是常數(shù)。,21為常數(shù)區(qū)間。.4121P若滿足 設(shè) 是總體X的 一個(gè)未知參數(shù)，, 10的置信區(qū)間置信區(qū)間. 121和（雙側(cè)置信區(qū)間）. 的置信水平（置信度）為分別稱為置信下限和置信上限為顯著水平. 1為置信度， 則稱區(qū)間 是,21,21若存在隨機(jī)區(qū)間對于給定的.5置信水平的

3、大小是根據(jù)實(shí)際需要選定的.121P根據(jù)一個(gè)實(shí)際樣本，,21，使一個(gè)盡可能小的區(qū)間 由于正態(tài)隨機(jī)變量廣泛存在，指標(biāo)服從正態(tài)分布，特別是很多產(chǎn)品的我們重點(diǎn)研究一個(gè)正態(tài)總體情形由給定的置信水平，我們求出975. 01即取置信水平 或 0.95，0.9 等.例如，通?？扇★@著水平 等., 1 . 0,05. 0,025. 0數(shù)學(xué)期望 和方差 的區(qū)間估計(jì)。2.6設(shè)nXXX,21為總體),(2NX的樣本，2,SX分別是樣本均值和樣本方差。對于任意給定的，我們的任務(wù)是通過樣本尋找一它以1的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望。個(gè)區(qū)間，.7設(shè)),(2NX),(2nNXnXDXE2則隨機(jī)變量) 1 , 0(2NnXZ1 1

4、、已知、已知2 2時(shí)，時(shí)，的置信區(qū)間的置信區(qū)間令221XPzn 22z22z.8221XPzn 2221XPzzn ,22znXznX這就是說隨機(jī)區(qū)間它以1的概率包含總體 X的數(shù)學(xué)期望。由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間置信區(qū)間。221PzXznn 122znXznXP22z22z.9,22znXznX置信區(qū)間也可簡記為2znX 它以1的概率包含總體X的數(shù)學(xué)期望。由定義可知，此區(qū)間即為的置信區(qū)間置信區(qū)間。其置信度為 1。置信下限2znX 置信上限2znX 22z22z.1016195. 0105. 0n查表得0.02521.96zz若由一個(gè)樣本值算得樣本均值的觀察值20. 5x則得到一個(gè)區(qū)間(5

5、.200.49)(4.71, 5.69)我們稱其為置信度為0.95的的置信區(qū)間。 其含義是：若反復(fù)抽樣多次，每個(gè)樣本值（n =16) 按公式1.961.96(,)44xx即(0.49)x確定一個(gè)區(qū)間。,22znXznX.11(0.49,0.49)xx確定一個(gè)區(qū)間。在這么多的區(qū)間內(nèi)包含的占0.95,不包含的占0.05。本題中(4.71,5.69)，屬于那些包含的區(qū)間的可信程度為0.95. 或“該區(qū)間包含”這一事實(shí)的可信程度注： 的置信水平1的置信區(qū)間不唯一。為0.95.12當(dāng) n 充分大時(shí)， 無論X服從什么分布，都近似有) 1 , 0( NnDXEXXZ的置信區(qū)間是總體),(2NX的前提下提出的

6、。均可看作EX的置信區(qū)間。,22znXznX.13 設(shè)總體X N(,0.09)， 有一組樣本值： 12.6，13.4，12.8，13.2， 求參數(shù)的置信度為0.95的置信區(qū)間.解解的置信區(qū)間為22,XzXznn00 代入樣本值算得 , 12.706，13.294.得到的一個(gè)區(qū)間估計(jì)為注：該區(qū)間不一定包含注：該區(qū)間不一定包含.0.02521.96zz有 1= 0.95，0= 0.3，n = 4,0.30.313 1 96,13 1.9622.13x .1405. 0可以取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布上分位點(diǎn)z0.04 和 z0.01 ,則又有0.040.0120.95XPzzn0.010.040.95P XzX

7、znn則的置信度為0.95的置信區(qū)間為0.010.04,XzXznn與上一個(gè)置信區(qū)間比較，同樣是95. 01其區(qū)間長度不一樣，上例0.025123.920.984zn比此例0.040.0111()4.081.0244zz短。01. 001. 0z04. 004. 0z.15第一個(gè)區(qū)間為優(yōu)（單峰對稱的）。 可見，像 N(0,1)分布那樣概率密度的圖形是單峰且對稱的情況。 當(dāng)n固定時(shí)以2znX 的區(qū)間長度為最短，我們一般選擇它。若以L為區(qū)間長度，則22znL 可見L隨 n 的增大而減少（ 給定時(shí)），有時(shí)我們嫌置信度0.95偏低或偏高， 也可采用0.99或0.9. 對于 1 不同的值， 可以得到不同

8、的置信區(qū)間。.16估計(jì)在區(qū)間 內(nèi). ,21 這里有兩個(gè)要求:),(2111nXXX只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量)可見，對參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)， )(21 就是要設(shè)法找出兩個(gè)),(2122nXXX一旦有了樣本，就把2. 估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度12 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.,21 1. 要求 很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)， 21 P就是說，概率即要求估計(jì)盡量可靠. 要盡可能大.可靠度與精度是一對矛盾，條件下盡可能提高精度.一般是在保證可靠度的.17已知某種油漆的干燥時(shí)間X（單位:小時(shí)）服從正態(tài)分布),1 ,(NX其中未知,現(xiàn)在抽取25個(gè)樣品做試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)后計(jì)算得62511n

9、kkxx取05. 0(10.95),求的置信區(qū)間。解解0.02521.96zz625xn2znx392. 0696. 1516所求為5.608, 6.392.18中隨機(jī)地抽查了9人，其高度分別為：；，置信度為假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)差%9570的置信區(qū)間。試求總體均值由樣本值算得：解：已知.05. 0, 9, 70n.115)110120115(91x，由此得置信區(qū)間：查正態(tài)分布表得臨界值96. 12Z57.119,43.1109/796. 1115,9/796. 1115已知幼兒身高現(xiàn)從56歲的幼兒115, 120, 131, 115, 109, 115, 115, 105, 110cm;,22znXznX

10、2( ,),XN .19當(dāng)總體X的方差未知時(shí)，容易想到用樣本方差 2代替2 2。已知已知) 1(2ntnSXT則對給定的，令1)1(22ntnSXP查t 分布表，可得) 1(2nt的值。則的置信度為1 的置信區(qū)間為1)1() 1(22ntnSXntnSXP)1(),1(22ntnSXntnSX)1(2ntnSX.2040名旅游者。解解本題是在2 2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。選取統(tǒng)計(jì)量為05. 0由公式知的置信區(qū)間為查表0227. 2)39()39(025. 0205. 0 tt則所求的置信區(qū)間為95.113,05.96為了調(diào)查某地旅游者的消費(fèi)額為X，隨機(jī)訪問了得平均消費(fèi)額為105x

11、元，樣本方差2228s設(shè)求該地旅游者的平均消費(fèi)額的置信區(qū)間。) 1(2ntnSXT)1(2ntnSX若2 22525的置信區(qū)間為2znX 96. 1405105即55.106,45.103),(2NX.21用某儀器間接測量溫度，重復(fù)測量5次得0000012751260124512651250求溫度真值的置信度為 0.99 的置信區(qū)間。解解設(shè)為溫度的真值，X表示測量值，通常是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量 .EX問題是在未知方差的條件下求的置信區(qū)間。125925105150511250 x4570)12591275()12591250(151222s339. 55 .2852s01. 041n由公式查表604

12、1. 4)4()4(005. 0201. 0 tt則所求的置信區(qū)間為58.241259,58.241259)1(2ntnSX.22解解本題是在2 2未知的條件下求正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間。05. 0由公式知的置信區(qū)間為查表306. 2)8()8(025. 0205. 0tt則所求的置信區(qū)間為 1 .6889,9 .6650為了估計(jì)一批鋼索所能承受的平均張力（單位kg/cm2),22286720sx設(shè)鋼索所能承受的張力X，分別估計(jì)這批鋼索所能承受的平均張力的范圍與所能承受的平均張力。)1(2ntnSX隨機(jī)選取了9個(gè)樣本作試驗(yàn)，2867202.3063即則鋼索所能承受的平均張力為 6650.9 kg

13、/cm2由試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)得),(2NX22286720sx.23下面我們將根據(jù)樣本找出2 2 的置信區(qū)間，這在研究生產(chǎn)的穩(wěn)定性與精度問題是需要的。已知總體),(2NX我們利用樣本方差對2 2進(jìn)行估計(jì)，由于不知道S2與2 2差多少？容易看出把22S看成隨機(jī)變量，又能找到它的概率分布，則問題可以迎刃而解了。22S的概率分布是難以計(jì)算的，而2222(1)(1)nSn對于給定的).10(1)1() 1() 1(2222221nSnnP) 1(22n2 p yx) 1(221n2.24212(1)0( )2np y d y) 1(22n2 p yx) 1(221n21)1() 1() 1(2222221n

14、SnnP22(1)( )2np y d y1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP則得到2 2隨機(jī)區(qū)間隨機(jī)區(qū)間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn以 的概率包含未知方差2 2， 1這就是2 2的置信度為1的置信區(qū)間置信區(qū)間。.25某自動(dòng)車床加工零件，抽查16個(gè)測得長度（毫米）01.1203.1216.1209.1208.1201.1212.1215.12怎樣估計(jì)該車床加工零件長度的方差。解解 先求06.1201.1208.1211.1207.1213.1206.1215.12)05. 0(075.1206. 012. 015. 016112x)0

15、75.1206.12()075.1215.12(151222s2 2的估計(jì)值0024. 05 . 716121515100001222或11)(11122122niiniixnxnxxns查表262. 6)15(2975. 0488.27)15(2025. 0.2600588. 0,00133. 0所求標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為0.95的 置信區(qū)間由) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn0765. 0,0365. 0得得) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn262. 60024. 015,488.270024. 015得得.27為了估計(jì)燈泡使用時(shí)數(shù)（小時(shí)

16、）的均值和解解)05. 0(查表7 . 2)9(2975. 019)9(2025. 0測試了10個(gè)燈泡得2220s1500 x方差2 2，若已知燈泡的使用時(shí)數(shù)為X，),(2NX求和2 2的置信區(qū)間。2(1)9 4003600ns由公式知的置信區(qū)間為)1(2ntnSX262. 2)9()9(025. 0205. 0tt的置信區(qū)間為查表3 .141500即3 .1514,7 .1485由公式知2 2的置信區(qū)間為) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn2 2的置信區(qū)間為33.1333,47.1897 . 24009,194009.28電動(dòng)機(jī)由于連續(xù)工作時(shí)間（小時(shí)）過長會(huì)燒壞，解解

17、)05. 0(查表18. 2)8(2975. 054.17)8(2025. 0燒壞前連續(xù)工作的時(shí)間X，得2265. 2s7 .39x),(2NX求和2 2的置信區(qū)間。今隨機(jī)地從某種型號的電動(dòng)機(jī)中抽取9臺， 測試了它們在設(shè)由公式知的置信區(qū)間為2(1)SXtnn0.0252.6539.7(8)9t04. 27 .39即74.41,66.378064.25,2041. 3所求2 2的置信度為0.95的 置信區(qū)間) 1() 1(,) 1() 1(2212222nsnnsn18. 265. 28,54.1765. 2822得得.29一般是從確定誤差限誤差限入手. 1|P使得稱 為 與 之間的誤差限 .

18、1，可以找到一個(gè)正數(shù) ， 只要知道 的概率分布，確定誤差限并不難. 我們選取未知參數(shù)的某個(gè)估計(jì)量，根據(jù)置信水平 由不等式 |可以解出 ：這個(gè)不等式就是我們所求的置信區(qū)間.30),(2NX1221uWuP被估被估參數(shù)參數(shù)條件條件統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量置信區(qū)間置信區(qū)間已知已知2未知未知22未知未知) 1 , 0( NnXZ) 1(ntnSXT22,XzXznn) 1(, ) 1(22ntnSXntnSX2222(1)(1)nSn )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn.31P294 4 5 6 8 10 12.32例例4 假定初生嬰兒的體重服從正態(tài)分布，隨機(jī)抽取12 名嬰兒，測得體重為：（單位

19、：克） 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540 試以 95% 的置信度估計(jì)初生嬰兒的平均體重以及方差.解解 設(shè)初生嬰兒體重為X 克，則 XN( , 2 ),(1) 需估計(jì) ,而未知 2.3057,375.3,xs0.05.3305. 012)1(/ ntnSXT取取201. 2作為統(tǒng)計(jì)量. 有有 = ，n= ，3057,375.3,xs375.3375.3 3057-2.201,30572.2011212 2818, 3296 .t0.025(11)= ，即的置信區(qū)間。(1) 需估計(jì) ,而未知

20、 2.)1(),1(22ntnSXntnSX.34(2) 需估計(jì)2 ,而未知 ，取統(tǒng)計(jì)量為92.21816. 3有 20.025(11)= ，20.975(11)= ，) 1() 1(2222nSn2111549350.99,s3.816549000,21.92549000 112的置信區(qū)間為 70682.07, 406014.41 .即0.05.35解解01. 0由置信區(qū)間的概念，所求的0.99的 置信區(qū)間為在交通工程中需要測定車速（單位 km/h),由以往2258. 32、現(xiàn)在作了150次觀測，試問平均測量值的誤差在 99. 01XP的經(jīng)驗(yàn)知道，即測量值為X，),(2NX測量值的誤差在 之間。11、至少作多少次觀測，才能以0.99的可靠性保證平均之間的概率有多大？1)58. 3 ,(2NX由題意要求用平均測量值 來估計(jì)X其