考研數(shù)學(xué)二真題2011年

1、.word格式,2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題一、選擇題：下列每題給出的四個選項中。只有一個選項符合題目要求(1)已知當(dāng)x-0時f(x)=3sinx-sin3x與cxk是等價無窮小，則().(A) k=1 , c=4 (B) k=1 , c=-4(C) k=3 , c=4 (D) k=3 , c=-4已知f(x)在x=0處可導(dǎo)，且f(0)=0 .則/心 巾二().(A) -2f(0) (B) -f(0)(C) f。(D) 0函數(shù)f(x)=ln|(x-1)(x-2)(x-3)|的駐點個數(shù)為().(A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 3(4)微分方程y"-爛y=e入+

2、e"(入6)的特解形式為().(A) a(e 入+e-入)(B) ax(e 入+e-4(C) x(ae 入 +be -入)(D) x 2(ae 入 +be - 入)(5)設(shè)函數(shù)f(x), g(x)均有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),滿足f(0)>0, g(0)<0,且 f(0)=g'(0)=0 .則函數(shù)Z=f(x)g(y)在點(0, 0)處取得極小值的一個充分條件是().(A) f"(0)<0, g"(0)>0 (B) f"(0) <0, g"(0) < 0(C) f"(0) >0, g"(0

3、) >0 (D) f"(0) >0, g"(0) <0：2不/ = Infiinxd%,，= I IncotvdxK = IncoKxdx(6)設(shè)*此尺.則I, J, K的大小關(guān)系是().(A) I<J< K (B) I<K< J(C) J< I<K (D) K<J< I6 R = 0 0J I。10)ic ； 皿,則 A=( ) .設(shè)A為三階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B.再交換B的第U 0E = 1 I2行與第3行得單位矩陣，記(° ° pyp(A) P1P2 (B)(C) P2

4、P1 (D)(8)設(shè)A=( a, a2, a3, a4)是四階矩陣，A*為A的伴隨矩陣，若(1 , 0, 1, 0)是方程組Ax=0的一個基礎(chǔ)解系，則A*x=0的基礎(chǔ)解系可為().(A) 1 0 0C3 (B) 1 5 /2(C) 1 /x 0C2, 0C3 (D)2 a a3, 0C4二、填空題回式廣(9) i / =(10)微分方程y'+y=e -xcosx滿足條件y(0)=0的解為y=y - I plan(df第 W%)(11)曲線一 I4/的弧長$=pu3 盧 >0(12)設(shè)函數(shù) io，(13)設(shè)平面區(qū)域D由直線y=x ,圓x2+y 2=2y及y軸所組成,則二重積分、心

5、Et ,X? + 3工：+ 工;+ 2 工4+ 2x,Xi + 2M2Hq L r，(14)二次型 f(x1, x2, x3)= 123 f * 3 ,則 f 的正慣性指數(shù)為三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.網(wǎng)工)_地(1 +)府 lim F(%) = limFO) =0(15)已知函數(shù)/.設(shè)一”e，試求a的取值范圍.1 * 1x = 3： +t + y,'JU.(16)設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程L 33確定，求y=y(x)的極值和曲線y=y(x),的凹凸區(qū)間及拐點.(17)設(shè)函數(shù)Z=f(xy , yg(x),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x=1處

6、取得極值g(1)=1 ,求無力"(18)設(shè)函數(shù)y(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且曲線l： y=y(x)與直線y=x相切于原點，ila dy記a為曲線l在點(x, y)外切線的傾角,若裊E.求y(x)的表達(dá)式.< lu 1 + J < -(19) 證朋：對任意的正整數(shù)n,都有t + 1' M 凡成立. LI1= 1 + =-+ + 一 一 Inn設(shè)2(n=1 , 2,)證明數(shù)列an)收斂.(20) 一容器的內(nèi)側(cè)是由圖中曲線y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面，該曲線由1 Ix2+y 2=2y(y 工)與 x2+y 2=1(y 金)連接而成.(I求容器的容積；(n芳將容器內(nèi)盛滿的水從容器頂部

7、全部抽出，至少需要做多少功？(長度 單位：m.重力加速度為gm/s2,水的密度為103kg/m3).一120 KS專業(yè).專注(21)已知函數(shù)f(x, y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f(1, y)=0, f(x, 1)=0,其中D=(x, y)0 <x<1, 0<y01計算二重積分 I =加Mgg&k量組2(1 ,1 , 1)T,(22)設(shè)向量組 a1=(1 , 0, 1)T, a2=(0, 1, 1)T, a3=(1 , 3, 5)T,不能由向二(1 , 2, 3)T,飽=(3, 4, a)T線性表示(I求a的值；(H)等由，02 ,飽用附，0C2 ,0C3線性表小.(2

8、3)設(shè)A為三階實矩陣，(I求A的特征值與特征向量； (n求矩陣A.2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題解析、選擇題(1)考點無窮量的比較答案解析因為19sinx = *一-十 q( jc3 ) T sin3 x = 3 不一 x3 + o( )62,所以f(x)=4x3+o(x 3)4x3,于是 c=4 , k=3 ,故選(C).(2)考點導(dǎo)數(shù)的定義答案解析同g三/© = 1M寸2屜，30)二a4TlAdXx C耳'選(B).考點確定f(x)的零點個數(shù)答案解析求出f(x):r” 1 G 2) 3) 4 (* - 1)(死 - 3) + 1)(-2)' _-1

9、)(.2)4-373r 12力 + 11(x - 1) (x -2)(% - 3)由判別式122-4 X 3X 11=1202 03x2-12x+11有兩個零點(不是x=1 , x=2 , x=3),因此f(x)有兩個駐點.故選(C).(4)考點微分方程的求解y2-正=0 ,解得y產(chǎn)入2=-答案解析原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程 入，則y"- %y=e入，的特解y=xe入C1y"- 22y=e入珀勺特解y2=xe-入C2故原方程的特解y=x(C 1e入+C 2e-入)故選(C).(5)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值登=/"(動目興G)答案解析z=f(x)g(y)“內(nèi)b

10、-京,二，rQT5) 4 二臺三，g)c = =/(x)Z(j)在(0, 0)點，A=f"(0)g(0)B=f(0)g'(0)=0 C=f(0)g"(0),葭。算"m=n若”小心在也外有極小修AC-B2>0 且 A>0"f"(0)<0, g"(0) >0 故選(A).(6)考點定積分的計算X G 0, 答案解析I4 s sinx<eosx< 1 <cotx 貝UInsinx < Incosx < 0< IncotxIn cot芋日工> 0故.即I<K<

11、; J故選(B).(7)考點矩陣的初等變換答案解析顯然P2AP產(chǎn)E,"二凡巴 A =心打，故選(D).j-號In sin xdx < In co?工d* < 0p因為*(8)考點線性方程組的基礎(chǔ)解系答案解析因為Ax=0基礎(chǔ)解系含一個線性無關(guān)的解向量 于是r(A*)=1 ,故A*x=0基礎(chǔ)解系含3個線性無關(guān)的解向量，又A*A=|A|E=0且r(A)=3 ,所以A的列向量組中含A*x=0所以 r(A)=3 ,的基礎(chǔ)解系，因為(1, 0, 1, 0)T是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系故 ai , oc2, a4 或 a2, ot3 基礎(chǔ)解系，故選(D).二考點極限的計算答案解析a4線

12、性無關(guān)，顯然,所以 ai+ oc3=0 ,22 , 0C3, a4 為 A*x=0 的一個liw II +2lini 1*3 X(10) e-xsinx考點一階微分方程求解答案解析-If=e故 y=e-xsinx.(11) ： 、 考點曲線積分的計算答案解析£ .一 一£ 二1Jl + tan%cU = In |L(12)'考點反常積分計算f+«產(chǎn)拄=答案解析7(13)二考點二重積分的計算答案解析?”八£可Hu#pcos&，sing，p * dp c口sgsinMe3812(14) 2考點二次型答案解析特征值%=0,乃=1 , %=4,

13、f慣性指數(shù)為2.(C+sinx),由于 y(0)=0 ,則 C=0 ,三、解答題(15)考點極限的逆問題Inn /(第)=+ b答案解析當(dāng)a=0時，因為一,所以結(jié)論不正確；Hm F(")當(dāng)a<0時，因為-2所以結(jié)論也不正確；當(dāng)a>0時，沁1"1產(chǎn) UX/ln（I + I2） d;Ilin /'（jc） = hm 舄一）萌t+«工'=lim 卬1 學(xué)）=Sim-一三=。得。> L，* 駐曰1 +耳曰（儀一 1）笈rin（l +）也 I f | *外工liniF'd）二）im ；= lini - = 1 ini 工 0 得 2

14、 > a - L工 小土，if 工"r-kO* tCCr-*04 <Lt所以a<3,于是1<a<3.(16)考點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點卻挑=曰=。*=1&嘀4,/ 11I111H- r答案解析d必&/山(/+1產(chǎn)立 一1 一口當(dāng)t=1時，因為d/ (/+1)2,所以當(dāng)t=-1即x=-1時,函數(shù)取極大值y=1 .d, 4fl 門<當(dāng)t=i時，因為山(t+】*,所以當(dāng)t=i即'一 3_ _ J_時，函數(shù)取極小值H- 丁.2 dfVdtd 4，令 ddt L(+l)3-得t = 0吟<o 再>0,當(dāng) t<

15、0 時，d',當(dāng) t>0 時&''f - B白當(dāng)t<0時即I3/時，函數(shù)為凸函數(shù)，工E (小+)當(dāng)t>0即'3/時，函數(shù)為凹函數(shù).(17)考點二元函數(shù)求偏導(dǎo)答案解析由g(x)可導(dǎo)且在x=1處取極值g(1)=1 ,所以g'(1)=0 .f =/叮勰0)口+到廢燈3*(立dx售r4曬龍外(工)3mm鬻)町，熠(工)*“(工)砂“叫屈6) +HA1(孫霓), ,“尸八。)+八(11)十人(14 mtn(18)考點利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線=答案解析由一2 dflf nsc a 丁 = ydx1/ y于是有y(0)=,即(1+y'2)

16、y'=y",。,/(。)= <二歲 半 U + ?)令y'=p，則 由，于是有也,變量分離得jcLP = dx尸】十尸'，兩邊積分得由 P(0)=11 . 1=in 22p = ¥ =dxx - -4n 代入得 .er解出面積分得：及一匕'由y(0)=0 .式K)二(19)考點數(shù)列與積分中值定理綜合題答案解析證明：f(x)=ln(1+x)在卜'R應(yīng)用中值定理1 , 11 + 一 Ini 丁n f1 + f其中即士 <d73- ln( n + 1 )A + 1art+1 - alt = / + j - ln(n + t) +

17、 】皿江 + ln) <其中 易知 又an+1 -an<0,則 an+i <an 即an單調(diào)遞減>】口 > (i +T)+(1 + + + In 1 + 一! Inn+ 4 In 風(fēng)上 1 - Inrt=ln(n + 1) - Inn 工nM?l±l0ft所以an單調(diào)遞減有界 (20)考點積分的應(yīng)用 答案解析(I ),故an收斂.-/ ) dyOrT辟=J i陽kTG)2 -川 = ppr=pgxJ1 W)(2p)dy 十：(1 W)(l 十力時ij二陽43(1 H)廿二慚國27 135一股于=7部(21)考點二重積分的計算答案解析3fz (片力)打= 了“(京4)二 if札y) I： -工工")d九(明父)何=4（工,1） - dyv（3y）dy于是由不,外I ：如一如/(3)d#一k 1 dy咨/（式，y）d*=（dyj/（H,r）（k =伽 JC ,y） d*dy - a.D(22)考點向量的線性相關(guān)性1 0 1I 6 ,外,*二 0 1 3 10答案解析(I內(nèi)為22 , 0C3）=3又因為ai,ot2,a3不能由Bi,22.,網(wǎng)線性表小，所以r( 8,歷，國)<3,于是| 1,缸飽|=0,解得a=5 .（n）rl 0 1（M也必強，場）=0 1 3I 1 5pl 0 1f 0 I 3-0 I 41 1 3r