高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 數(shù)列 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

1、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和知識能否憶起1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)(不為零)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nN*，q為非零常數(shù))(2)等比中項(xiàng)：如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)即：G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列G2ab.2等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn3等比數(shù)列an的常用性質(zhì)(1)在等比數(shù)列an中，若mnpq2r(m，n，p，q，rN*)，則am·anap·aqa.特別地，a1ana

2、2an1a3an2.(2)在公比為q的等比數(shù)列an中，數(shù)列am，amk，am2k，am3k，仍是等比數(shù)列，公比為qk；數(shù)列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍是等比數(shù)列(此時(shí)q1)；anamqnm.小題能否全取1(教材習(xí)題改編)等比數(shù)列an中，a44，則a2·a6等于()A4B8C16 D32解析：選Ca2·a6a16.2已知等比數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為a1，a1，a4，則an()A4·n B4·nC4·n1 D4·n1解析：選C(a1)2(a1)(a4)a5，a14，q，故an4·n1.3已知等比數(shù)列an滿足a1a23，a2a

3、36，則a7()A64 B81C128 D243解析：選Aq2，故a1a1q3a11，a71×27164.4(2011·北京高考)在等比數(shù)列an中，若a1，a44，則公比q_；a1a2an_.解析：a4a1q3，得4q3，解得q2，a1a2an2n1.答案：22n15(2012·新課標(biāo)全國卷)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S33S20，則公比q_.解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.a10，q2.答案：21.等比數(shù)列的特征(1)從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)(2)由an1qan，q0并不能立

4、即斷言an為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a10.2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn(1)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種思想方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用(2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q1與q1分類討論，防止因忽略q1這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤等比數(shù)列的判定與證明典題導(dǎo)入例1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且anSnn.(1)設(shè)cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式自主解答(1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首項(xiàng)c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列(

5、2)由(1)可知cn·n1n，ancn11n.在本例條件下，若數(shù)列bn滿足b1a1，bnanan1(n2)，證明bn是等比數(shù)列證明：由(2)知an1n，當(dāng)n2時(shí)，bnanan11nn1nn.又b1a1也符合上式，bnn.，數(shù)列bn是等比數(shù)列由題悟法等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nN*)或q(q為非零常數(shù)且n2，nN*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列以題試法1 (2012

6、·沈陽模擬)已知函數(shù)f(x)logax，且所有項(xiàng)為正數(shù)的無窮數(shù)列an滿足logaan1logaan2，則數(shù)列an()A一定是等比數(shù)列B一定是等差數(shù)列C既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列解析：選A由logaan1logaan2，得loga2logaa2，故a2.又a>0且a1，所以數(shù)列an為等比數(shù)列等比數(shù)列的基本運(yùn)算典題導(dǎo)入例2(2011·全國高考)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a26,6a1a330，求an和Sn.自主解答設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得解得或當(dāng)a13，q2時(shí)，an3×2n1，Sn3×(2n1)；當(dāng)a12，q3時(shí)

7、，an2×3n1，Sn3n1.由題悟法1等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解2在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)根據(jù)公比q的情況進(jìn)行分類討論，切不可忽視q的取值而盲目用求和公式以題試法2(2012·山西適應(yīng)性訓(xùn)練)已知數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，a12，且a2，a4，a8成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列3an的前n項(xiàng)和解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)因?yàn)閍2，a4，a8成等比數(shù)列，所以(23d)2(2d)·(27d)，解得d2.所以a

8、n2n(nN*)(2)由(1)知3an32n，設(shè)數(shù)列3an的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn323432n(9n1)等比數(shù)列的性質(zhì)典題導(dǎo)入例3(1)(2012·威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為()A.B.C1 D(2)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S312，則S9S3等于()A12 B23C34 D13自主解答(1)因?yàn)閍3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，故sin(log3a1log3a2log3a7).(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)：S

9、3，S6S3，S9S6仍成等比數(shù)列，于是(S6S3)2S3·(S9S6)，將S6S3代入得.答案(1)B(2)C由題悟法等比數(shù)列與等差數(shù)列在定義上只有“一字之差”，它們的通項(xiàng)公式和性質(zhì)有許多相似之處，其中等差數(shù)列中的“和”“倍數(shù)”可以與等比數(shù)列中的“積”“冪”相類比關(guān)注它們之間的異同有助于我們從整體上把握，同時(shí)也有利于類比思想的推廣對于等差數(shù)列項(xiàng)的和或等比數(shù)列項(xiàng)的積的運(yùn)算，若能關(guān)注通項(xiàng)公式anf(n)的下標(biāo)n的大小關(guān)系，可簡化題目的運(yùn)算以題試法3(1)(2012·新課標(biāo)全國卷)已知an為等比數(shù)列，a4a72，a5a68，則a1a10()A7B5C5 D7(2)(2012&#

10、183;成都模擬)已知an是等比數(shù)列，a22，a5，則a1a2a2a3anan1()A16(14n) B16(12n)C.(14n) D.(12n)解析：(1)選D法一：由題意得解得或故a1a10a1(1q9)7.法二：由解得或則或故a1a10a1(1q9)7.(2)選Ca22，a5，a14，q，anan12n5.故a1a2a2a3anan1(14n)1設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，若S33a3，則公比q為()AB1C或1 D.解析：選C當(dāng)q1時(shí)，滿足S33a13a3.當(dāng)q1時(shí)，S3a1(1qq2)3a1q2，解得q，綜上q或q1.2(2012·東城模擬)設(shè)數(shù)列an滿足：2a

11、nan1(an0)(nN*)，且前n項(xiàng)和為Sn，則的值為()A. B.C4 D2解析：選A由題意知，數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，故.3(2012·安徽高考)公比為2的等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3a1116，則log2a10()A4 B5C6 D7解析：選Ba3·a1116，a16.又等比數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，a74.又a10a7q34×2325，log2a105.4已知數(shù)列an，則“an，an1，an2(nN*)成等比數(shù)列”是“aanan2”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選A顯然，nN*，an，an1，

12、an2成等比數(shù)列，則aanan2，反之，則不一定成立，舉反例，如數(shù)列為1,0,0,0，5(2013·太原模擬)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn2，S3n14，則S4n等于()A80 B30C26 D16解析：選B設(shè)S2na，S4nb，由等比數(shù)列的性質(zhì)知：2(14a)(a2)2，解得a6或a4(舍去)，同理(62)(b14)(146)2，所以bS4n30.6已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根組成以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則()A. B.或C. D以上都不對解析：選B設(shè)a，b，c，d是方程(x2mx2)(x2nx2)0的四個(gè)根，不妨設(shè)a<c<d<

13、b，則a·bc·d2，a，故b4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到c1，d2，則mab，ncd3，或mcd3，nab，則或.7已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an，滿足2a3a2a110，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b6b8_.解析：由題意可知，b6b8ba2(a3a11)4a7，a70，a74，b6b816.答案：168(2012·江西高考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比不為1.若a11，則對任意的nN*，都有an2an12an0，則S5_.解析：由題意知a3a22a10，設(shè)公比為q，則a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，則S511.答案：119(

14、2012·西城期末)已知an是公比為2的等比數(shù)列，若a3a16，則a1_；_.解析：an是公比為2的等比數(shù)列，且a3a16，4a1a16，即a12，故ana12n12n，n，n，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，.答案：210設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)求a1a3a2n1.解：(1)S1a11，且數(shù)列Sn是以2為公比的等比數(shù)列，Sn2n1，又當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n2(21)2n2.an(2)a3，a5，a2n1是以2為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，a3a5a2n1.a1a3a2n11.11設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)

15、和為Sn，其中an0，a1為常數(shù)，且a1，Sn，an1成等差數(shù)列(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn1Sn，問：是否存在a1，使數(shù)列bn為等比數(shù)列？若存在，求出a1的值；若不存在，請說明理由解：(1)依題意，得2Snan1a1.當(dāng)n2時(shí)，有兩式相減，得an13an(n2)又因?yàn)閍22S1a13a1，an0，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公比為3的等比數(shù)列因此，ana1·3n1(nN*)(2)因?yàn)镾na1·3na1，bn1Sn1a1a1·3n.要使bn為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1a10，即a12.所以存在a12，使數(shù)列bn為等比數(shù)列12 (2012·山東高考)已知等

16、差數(shù)列an的前5項(xiàng)和為105，且a102a5.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對任意mN*，將數(shù)列an中不大于72m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm.求數(shù)列bm的前m項(xiàng)和Sm.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Tn，由T5105，a102a5，得解得a17，d7.因此ana1(n1)d77(n1)7n(nN*)(2)對mN*，若an7n72m，則n72m1.因此bm72m1.所以數(shù)列bm是首項(xiàng)為7，公比為49的等比數(shù)列，故Sm.1若數(shù)列an滿足p(p為正常數(shù)，nN*)，則稱數(shù)列an為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列an是等方比數(shù)列；乙：數(shù)列an是等比數(shù)列，則甲是乙的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要

17、條件D既不充分也不必要條件解析：選B若p，則±，不是定值；若q，則q2，且q2為正常數(shù)，故甲是乙的必要不充分條件2(2012·浙江高考)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S23a22，S43a42，則q_.解析：法一：S4S2a3a43a22a3a43a42，將a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化簡得2q2q30，解得q(q1不合題意，舍去)法二：設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，由S23a22，得a1(1q)3a1q2.由S43a42，得a1(1q)(1q2)3a1q32.由得a1q2(1q)3a1q(q21)q>

18、;0，q.答案：3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn4an3(nN*)(1)證明：數(shù)列an是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn滿足bn1anbn(nN*)，且b12，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式解：(1)證明：依題意Sn4an3(nN*)，n1時(shí)，a14a13，解得a11.因?yàn)镾n4an3，則Sn14an13(n2)，所以當(dāng)n2時(shí)，anSnSn14an4an1，整理得anan1.又a110，所以an是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(2)因?yàn)閍nn1，由bn1anbn(nN*)，得bn1bnn1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)23·n11(n2)，當(dāng)n1時(shí)也滿足，所以數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn3·n11.1(2012·大綱全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和