高等數(shù)學(xué)一考研試題分析詳解和評注

1、2004年數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評注一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）曲線y=lnx上與直線垂直的切線方程為 .【分析】 本題為基礎(chǔ)題型，相當(dāng)于已知切線的斜率為1，由曲線y=lnx的導(dǎo)數(shù)為1可確定切點的坐標(biāo)?！驹斀狻?由，得x=1, 可見切點為，于是所求的切線方程為 ， 即 .【評注】 本題也可先設(shè)切點為，曲線y=lnx過此切點的導(dǎo)數(shù)為，得，由此可知所求切線方程為， 即 .本題比較簡單，類似例題在一般教科書上均可找到.（2）已知，且f(1)=0, 則f(x)= .【分析】 先求出的表達(dá)式，再積分即可?！驹斀狻?令，則，于是有 ， 即 積分得 .

2、利用初始條件f(1)=0, 得C=0，故所求函數(shù)為f(x)= .【評注】 本題屬基礎(chǔ)題型，已知導(dǎo)函數(shù)求原函數(shù)一般用不定積分。完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P89第8題, P90第11題.（3）設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分，則曲線積分的值為 .【分析】 利用極坐標(biāo)將曲線用參數(shù)方程表示，相應(yīng)曲線積分可化為定積分。【詳解】 正向圓周在第一象限中的部分，可表示為 于是 =【評注】 本題也可添加直線段，使之成為封閉曲線，然后用格林公式計算，而在添加的線段上用參數(shù)法化為定積分計算即可.完全類似例題見數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P143例10.11，考研數(shù)學(xué)大串講P122例5、例7 . （4）歐拉方程的通解為 .

3、【分析】 歐拉方程的求解有固定方法，作變量代換化為常系數(shù)線性齊次微分方程即可?！驹斀狻?令，則 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解為 【評注】 本題屬基礎(chǔ)題型，也可直接套用公式，令，則歐拉方程 ，可化為 完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P171例6.19, 數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P342第六題.，考研數(shù)學(xué)大串講P75例12. （5）設(shè)矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進(jìn)行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式為【評注】 先化簡再計算是此類問題求解的特點，而題設(shè)含有伴隨矩陣，一般均

4、應(yīng)先利用公式進(jìn)行化簡。完全類似例題見數(shù)學(xué)最后沖刺P107例2，P118例9 （6）設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則= .【分析】 已知連續(xù)型隨機變量X的分布，求其滿足一定條件的概率，轉(zhuǎn)化為定積分計算即可。【詳解】 由題設(shè)，知，于是 = =【評注】 本題應(yīng)記住常見指數(shù)分布等的期望與方差的數(shù)字特征，而不應(yīng)在考試時再去推算。完全類似例題見數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P35第5題.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（7）把時的無窮小量，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是(A) . (B) . (C

5、) . (D) . B 【分析】 先兩兩進(jìn)行比較，再排出次序即可.【詳解】 ，可排除(C),(D)選項，又 =，可見是比低階的無窮小量，故應(yīng)選(B).【評注】 本題是無窮小量的比較問題，也可先將分別與進(jìn)行比較，再確定相互的高低次序.完全類似例題見數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P28第9題.（8）設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且則存在，使得 (A) f(x)在（0，內(nèi)單調(diào)增加. （B）f(x)在內(nèi)單調(diào)減少.(C) 對任意的有f(x)f(0) . (D) 對任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函數(shù)f(x)只在一點的導(dǎo)數(shù)大于零，一般不能推導(dǎo)出單調(diào)性，因此可排除(A),(B)選項，再利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的保號性進(jìn)行分析

6、即可。【詳解】 由導(dǎo)數(shù)的定義，知 ，根據(jù)保號性，知存在，當(dāng)時，有 即當(dāng)時，f(x)f(0). 故應(yīng)選(C).【評注】 題設(shè)函數(shù)一點可導(dǎo)，一般均應(yīng)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論。完全類似例題見數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P28第10題.（9）設(shè)為正項級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是 (A) 若=0，則級數(shù)收斂.（B） 若存在非零常數(shù)，使得，則級數(shù)發(fā)散.(C) 若級數(shù)收斂，則. (D) 若級數(shù)發(fā)散, 則存在非零常數(shù)，使得. B 【分析】 對于斂散性的判定問題，若不便直接推證，往往可用反例通過排除法找到正確選項.【詳解】 取，則=0，但發(fā)散，排除(A)，(D)；又取，則級數(shù)收斂，但，排除(C), 故應(yīng)選(B).【評注】 本題

7、也可用比較判別法的極限形式， ，而級數(shù)發(fā)散，因此級數(shù)也發(fā)散，故應(yīng)選(B).完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P213例8.13.（10）設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，則等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求導(dǎo)，再代入t=2求即可。關(guān)鍵是求導(dǎo)前應(yīng)先交換積分次序，使得被積函數(shù)中不含有變量t.【詳解】 交換積分次序，得 =于是，從而有 ，故應(yīng)選(B).【評注】 在應(yīng)用變限的積分對變量x求導(dǎo)時，應(yīng)注意被積函數(shù)中不能含有變量x: 否則，應(yīng)先通過恒等變形、變量代換和交換積分次序等將被積函數(shù)中的變量x換到積分號外或積分線上。完全類似例題見數(shù)學(xué)最后沖刺P184例

8、12，先交換積分次序再求導(dǎo).（11）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C, 則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本題考查初等矩陣的的概念與性質(zhì)，對A作兩次初等列變換，相當(dāng)于右乘兩個相應(yīng)的初等矩陣，而Q即為此兩個初等矩陣的乘積?！驹斀狻坑深}設(shè)，有 ， ，于是， 可見，應(yīng)選(D).【評注】 涉及到初等變換的問題，應(yīng)掌握初等矩陣的定義、初等矩陣的性質(zhì)以及與初等變換的關(guān)系。完全類似例題見數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P196例2.2（12）設(shè)A,B為滿足AB=O的任意兩個非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)，B

9、的行向量組線性相關(guān). (B) A的列向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). (C) A的行向量組線性相關(guān)，B的行向量組線性相關(guān). (D) A的行向量組線性相關(guān)，B的列向量組線性相關(guān). A 【分析】A,B的行列向量組是否線性相關(guān)，可從A,B是否行（或列）滿秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解進(jìn)行分析討論.【詳解1】 設(shè)A為矩陣，B 為矩陣，則由AB=O知， . 又A,B為非零矩陣，必有r(A)0,r(B)0. 可見r(A)n, r(B)e時， 所以單調(diào)減少，從而，即 ，故 .【證法2】 設(shè)，則 ， ,所以當(dāng)xe時， 故單調(diào)減少，從而當(dāng)時， ，即當(dāng)時，單調(diào)增加.因此當(dāng)時，即 ，故 .【評注】 本題

10、也可設(shè)輔助函數(shù)為或，再用單調(diào)性進(jìn)行證明即可。 完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P347例13.31及P344的解題提示, 考研數(shù)學(xué)大串講P65例13. （16）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時，為了減少滑行距離，在觸地的瞬間，飛機尾部張開減速傘，以增大阻力，使飛機迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸時的水平速度為700km/h. 經(jīng)測試，減速傘打開后，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為 問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小時.【分析】 本題是標(biāo)準(zhǔn)的牛頓第二定理的應(yīng)用，列出關(guān)系式后再解微分方程即可。【詳解1】 由題設(shè)，飛機的

11、質(zhì)量m=9000kg，著陸時的水平速度. 從飛機接觸跑道開始記時，設(shè)t時刻飛機的滑行距離為x(t)，速度為v(t).根據(jù)牛頓第二定律，得 .又 ，由以上兩式得 ，積分得 由于，故得，從而 當(dāng)時， 所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【詳解2】 根據(jù)牛頓第二定律，得 ,所以 兩端積分得通解，代入初始條件解得，故 飛機滑行的最長距離為 或由，知，故最長距離為當(dāng)時，【詳解3】 根據(jù)牛頓第二定律，得 , ，其特征方程為 ，解之得，故 由 ，得 于是 當(dāng)時，所以，飛機滑行的最長距離為1.05km.【評注】 本題求飛機滑行的最長距離，可理解為或的極限值，這種條件應(yīng)引起注意.完全類似的例題見數(shù)學(xué)最后沖刺

12、P98-99例10-11.（17）（本題滿分12分）計算曲面積分 其中是曲面的上側(cè).【分析】 先添加一曲面使之與原曲面圍成一封閉曲面，應(yīng)用高斯公式求解，而在添加的曲面上應(yīng)用直接投影法求解即可.【詳解】 取為xoy平面上被圓所圍部分的下側(cè)，記為由與圍成的空間閉區(qū)域，則 由高斯公式知 = =而 ，故 【評注】 本題選擇時應(yīng)注意其側(cè)與圍成封閉曲面后同為外側(cè)（或內(nèi)側(cè)），再就是在上直接投影積分時，應(yīng)注意符號(取下側(cè)，與z軸正向相反，所以取負(fù)號).完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P325例12.21，數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P148例10.17（2）, 數(shù)學(xué)一臨考演習(xí)P38第19題.（18）（本題滿分11分）設(shè)

13、有方程，其中n為正整數(shù). 證明此方程存在惟一正實根，并證明當(dāng)時，級數(shù)收斂.【分析】 利用介值定理證明存在性，利用單調(diào)性證明惟一性。而正項級數(shù)的斂散性可用比較法判定。【證】 記 由，及連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程存在正實數(shù)根當(dāng)x0時，可見在上單調(diào)增加, 故方程存在惟一正實數(shù)根由與知 ，故當(dāng)時，.而正項級數(shù)收斂，所以當(dāng)時，級數(shù)收斂. 【評注】 本題綜合考查了介值定理和無窮級數(shù)的斂散性，題型設(shè)計比較新穎，但難度并不大，只要基本概念清楚，應(yīng)該可以輕松求證。完全類似例題見數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P91例6.15(有關(guān)根的存在性與惟一性證明), 收斂性證明用比較法很簡單.（19）（本題滿分12分）設(shè)z=z(x

14、,y)是由確定的函數(shù)，求的極值點和極值.【分析】 可能極值點是兩個一階偏導(dǎo)數(shù)為零的點，先求出一階偏導(dǎo)，再令其為零確定極值點即可，然后用二階偏導(dǎo)確定是極大值還是極小值，并求出相應(yīng)的極值.【詳解】 因為 ，所以 ， .令 得 故 將上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故，又，從而點(9,3)是z(x,y)的極小值點，極小值為z(9,3)=3.類似地，由 ，可知，又，從而點(-9, -3)是z(x,y)的極大值點，極大值為z(-9, -3)= -3.【評注】 本題討論由方程所確定的隱函數(shù)求極值問題，關(guān)鍵是求可能極值點時應(yīng)注意x,y,z滿足原方程。完全類似的例題見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P277例10.31.

15、（20）（本題滿分9分）設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解.【分析】 本題是方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同的齊次線性方程組，可考慮對系數(shù)矩陣直接用初等行變換化為階梯形，再討論其秩是否小于n，進(jìn)而判斷是否有非零解；或直接計算系數(shù)矩陣的行列式，根據(jù)題設(shè)行列式的值必為零，由此對參數(shù)a的可能取值進(jìn)行討論即可。【詳解1】 對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 當(dāng)a=0時， r(A)=1n，故方程組有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時，對矩陣B作初等行變換，有 可知時，故方程組也有非零解，其同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方

16、程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【詳解2】 方程組的系數(shù)行列式為 .當(dāng)，即a=0或時，方程組有非零解.當(dāng)a=0時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 于是方程組的通解為 其中為任意常數(shù).當(dāng)時，對系數(shù)矩陣A作初等行變換，有 ，故方程組的同解方程組為 由此得基礎(chǔ)解系為 ，于是方程組的通解為 ，其中k為任意常數(shù).【評注】 矩陣A的行列式也可這樣計算：=+，矩陣的特征值為，從而A的特征值為a,a, 故行列式 類似例題見數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集P228例4.4和P234例4.12.（21）（本題滿分9分） 設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根，求a的值，并討論A是否可相似對

17、角化.【分析】 先求出A的特征值，再根據(jù)其二重根是否有兩個線性無關(guān)的特征向量，確定A是否可相似對角化即可.【詳解】 A的特征多項式為 =當(dāng)是特征方程的二重根，則有 解得a= -2.當(dāng)a= -2時，A的特征值為2,2,6, 矩陣2E-A=的秩為1，故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個，從而A可相似對角化。若不是特征方程的二重根，則為完全平方，從而18+3a=16，解得 當(dāng)時，A的特征值為2，4，4，矩陣4E-A=秩為2，故對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個，從而A不可相似對角化?！驹u注】 n階矩陣A可對角化的充要條件是：對于A的任意重特征根，恒有 而單根一定只有一個線性無關(guān)的特征向量。原題見考研數(shù)學(xué)大

18、串講P224例20.，完全類似的例題還可參見數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南P462例5.12及解題提示.(22)（本題滿分9分）設(shè)A,B為隨機事件，且，令 求：（I）二維隨機變量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相關(guān)系數(shù)【分析】 先確定(X,Y)的可能取值，再求在每一個可能取值點上的概率，而這可利用隨機事件的運算性質(zhì)得到，即得二維隨機變量(X,Y)的概率分布；利用聯(lián)合概率分布可求出邊緣概率分布，進(jìn)而可計算出相關(guān)系數(shù)。【詳解】 （I） 由于， 所以， ， ， =（或），故(X,Y)的概率分布為 Y X 0 1 0 1 (II) X, Y的概率分布分別為 X 0 1 Y 0 1 P P 則，DY=, E(XY)=,故 ，從而 【評注】 本題盡管難度不大，但考察的知識點很多，綜合性較強。通過隨機事件定義隨機變量或通過隨機變量定義隨機事件，可以比較好地將概率論的知識前后連貫起來，這種命題方式值得注意。原題見考研數(shù)學(xué)大串講P274例3.（23）（本題滿