排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題與答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上排列組合知識(shí)點(diǎn)總結(jié)+典型例題及答案解析一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時(shí)，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時(shí)常用基本原理求解。二排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一1.公式：1. 2. (1) (2) ；(3)三組合：從n個(gè)不同元素中任取m（mn）個(gè)元素并組成一組，叫做從n 個(gè)不同的m 元素中任取 m 個(gè)元素的組合數(shù)，記作 Cn 。1. 公式： ；若四處理排列組合應(yīng)用題 1.明確要完成的是一件什么事（審題）

2、 有序還是無(wú)序 分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路：直接法；間接法：對(duì)有限制條件的問(wèn)題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時(shí)一種常用的解題方法。（2）分類處理：當(dāng)問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每?jī)深惖慕患癁榭占?，所有各類的并集為全集。?）分步處理：與分類處理類似，某些問(wèn)題總體不好解決時(shí)，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問(wèn)題時(shí)，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)

3、條件的排列與組合逐一列舉出來(lái)； (2)、特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；（3）相鄰問(wèn)題：捆邦法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問(wèn)題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來(lái)，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。（4）、全不相鄰問(wèn)題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時(shí)可采用插空法.即先安排好沒(méi)有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）、順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的

4、全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對(duì)其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個(gè)位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；（6）“小團(tuán)體”排列問(wèn)題采用先整體后局部策略對(duì)于某些排列問(wèn)題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時(shí)，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問(wèn)題用“直排法”把元素排成幾排的問(wèn)題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問(wèn)題（組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的整數(shù)） 能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整

5、除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。 能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。 能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：（1）.“至少”“至多”問(wèn)題用間接排除法或分類法: （2） “含”與“不含” 用間接排除法或分類法:3分組問(wèn)題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。4分配問(wèn)題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨

6、機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。5隔板法： 不可分辨的球即相同元素分組問(wèn)題例1.電視臺(tái)連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中含4個(gè)不同的商業(yè)廣告和2個(gè)不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有 種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有A22種；中間4個(gè)為不同的商業(yè)廣告有A44種，從而應(yīng)當(dāng)填 A22A4448. 從而應(yīng)填48例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.(1) 甲排在最右端時(shí),有種排法；

7、(2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）時(shí)，則甲有種排法，乙有種排法，其他人有種排法，共有種排法，分類相加得共有+=504種排法例.有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，有A種排法.剩余的3個(gè)位置排女生，因要求“從矮到高”，只有1種排法，故共有A1=840種.1.從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任取3臺(tái)，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺(tái)的反面就是分別只取一種型號(hào)，不取另一種型號(hào)的電視機(jī)，故不同的取法共有種,選.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺(tái)可

8、分兩種情況：甲型1臺(tái)乙型2臺(tái)；甲型2臺(tái)乙型1臺(tái)；故不同的取法有臺(tái),選.2 從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1） 如果4人中男生和女生各選2人，有 種選法；（2） 如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有 種選法； （3） 如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有 種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有 種選法分析：本題考查利用種數(shù)公式解答與組合相關(guān)的問(wèn)題.由于選出的人沒(méi)有地位的差異，所以是組合問(wèn)題.解：（1）先從男生中選2人，有種選法，再?gòu)呐羞x2人，有種選法，所以共有=60（種）；（2）除去甲、乙之外，其余2人可以從剩下的7人中任意選擇，所以共有=21（種）；

9、（3）在9人選4人的選法中，把甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選法數(shù)：=91（種）；直接法，則可分為3類：只含甲；只含乙；同時(shí)含甲和乙，得到符合條件的方法數(shù)=91（種）.（4）在9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況排除掉，得到選法總數(shù)=120（種）.直接法：分別按照含男生1、2、3人分類，得到符合條件的選法為=120（種）.16個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A40 B50 C60 D70解析先分組再排列，一組2人一組4人有C15種不同的分法；兩組各3人共有10種不同的分法，所以乘車方法數(shù)為25250，故選B.2有6個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，

10、則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有()A36種 B48種 C72種 D96種解析恰有兩個(gè)空座位相鄰，相當(dāng)于兩個(gè)空位與第三個(gè)空位不相鄰，先排三個(gè)人，然后插空，從而共AA72種排法，故選C.3只用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A6個(gè) B9個(gè) C18個(gè) D36個(gè)解析注意題中條件的要求，一是三個(gè)數(shù)字必須全部使用，二是相同的數(shù)字不能相鄰，選四個(gè)數(shù)字共有C3(種)選法，即1231,1232,1233，而每種選擇有AC6(種)排法，所以共有3618(種)情況，即這樣的四位數(shù)有18個(gè)4男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共

11、有30種不同的選法，其中女生有()A2人或3人 B3人或4人 C3人 D4人解析設(shè)男生有n人，則女生有(8n)人，由題意可得CC30，解得n5或n6，代入驗(yàn)證，可知女生為2人或3人5某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有()A45種 B36種 C28種 D25種解析因?yàn)?08的余數(shù)為2，故可以肯定一步一個(gè)臺(tái)階的有6步，一步兩個(gè)臺(tái)階的有2步，那么共有C28種走法6某公司招聘來(lái)8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語(yǔ)翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有()A

12、24種 B36種 C38種 D108種解析本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，據(jù)題意可先將兩名翻譯人員分到兩個(gè)部門，共有2種方法，第二步將3名電腦編程人員分成兩組，一組1人另一組2人，共有C種分法，然后再分到兩部門去共有CA種方法，第三步只需將其他3人分成兩組，一組1人另一組2人即可，由于是每個(gè)部門各4人，故分組后兩人所去的部門就已確定，故第三步共有C種方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2CAC36(種)7已知集合A5，B1,2，C1,3,4，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A33 B34 C35 D36解析所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中不含1的有CA12

13、個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有1個(gè)1的有CAA18個(gè)；所得空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)中含有2個(gè)1的有C3個(gè)故共有符合條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1218333個(gè)，故選A.8由1、2、3、4、5、6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且1、3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是()A72 B96 C108 D144解析分兩類：若1與3相鄰，有ACAA72(個(gè))，若1與3不相鄰有AA36(個(gè))故共有7236108個(gè)9如果在一周內(nèi)(周一至周日)安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有()A50種 B60種 C120種 D210種解析先安排甲學(xué)校的

14、參觀時(shí)間，一周內(nèi)兩天連排的方法一共有6種：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任選一種為C，然后在剩下的5天中任選2天有序地安排其余兩所學(xué)校參觀，安排方法有A種，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有不同的安排方法CA120種，故選C.10安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_種(用數(shù)字作答)解析先安排甲、乙兩人在后5天值班，有A20(種)排法，其余5人再進(jìn)行排列，有A120(種)排法，所以共有201202400(種)安排方法11今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9

15、個(gè)球排成一列有_種不同的排法(用數(shù)字作答)解析由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問(wèn)題，共有CCC1260(種)排法12將6位志愿者分成4組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，不同的分配方案有_種(用數(shù)字作答)解析先將6名志愿者分為4組，共有種分法，再將4組人員分到4個(gè)不同場(chǎng)館去，共有A種分法，故所有分配方案有：A1 080種13要在如圖所示的花圃中的5個(gè)區(qū)域中種入4種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有_種不同的種法(用數(shù)字作答)解析5有4種種法，1有3種種法，4有2種種法若1、3同色，2有2種種法，若1、3不同色，2有1種種法，有432(1211)

16、72種14. 將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1，2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（A）12種 （B）18種 （C）36種 （D）54種【解析】標(biāo)號(hào)1,2的卡片放入同一封信有種方法；其他四封信放入兩個(gè)信封，每個(gè)信封兩個(gè)有種方法，共有種，故選B.15. 某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有A. 504種 B. 960種 C. 1008種 D. 1108種解析：分兩類：甲乙排1、2號(hào)或6、7號(hào) 共有種方法甲乙排中間

17、,丙排7號(hào)或不排7號(hào)，共有種方法故共有1008種不同的排法排列組合 二項(xiàng)式定理1，分類計(jì)數(shù)原理 完成一件事有幾類方法，各類辦法相互獨(dú)立每類辦法又有多種不同的辦法（每一種都可以獨(dú)立的完成這個(gè)事情）分步計(jì)數(shù)原理 完成一件事，需要分幾個(gè)步驟，每一步的完成有多種不同的方法2，排列 排列定義：從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素（被取出的元素各不相同），按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。排列數(shù)定義；從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)公式 = 規(guī)定0！=13，組合組合定義 從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元

18、素的一個(gè)組合組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中，任取m（mn）個(gè)元素的所有組合個(gè)數(shù) =性質(zhì) = 排列組合題型總結(jié)一 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇，其余2位有四個(gè)可供選擇，由乘法原理：=2402特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有=60，1不在千位時(shí)，千位有種選法，個(gè)位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252二 間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252例：有五

19、張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？分析：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個(gè)，其中0在百位的有個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432例： 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排（1） 女生必須全排在一起 有多少種排法（ 捆綁法）（2） 女生必須全分開(kāi) （插空法 須排的元素必須相鄰）（3） 兩端不能排女生（4） 兩端不能全排女生（5） 如果三個(gè)女生占前排，五個(gè)男生站后排，有多少種不同的排法二 插空法 當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，

20、且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有=100中插入方法。三 捆綁法 當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。1四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有 種（）,2，某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來(lái)選有其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）四 閣板法 名額分配或相同物品的分配問(wèn)題，適宜采

21、閣板用法例5 某校準(zhǔn)備組建一個(gè)由12人組成籃球隊(duì)，這12個(gè)人由8個(gè)班的學(xué)生組成，每班至少一人，名額分配方案共 種 。分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對(duì)應(yīng)一種名額的分配方式，故有種五 平均分推問(wèn)題例：6本不同的書(shū)按一下方式處理，各有幾種分發(fā)？（1） 平均分成三堆，（2） 平均分給甲乙丙三人（3） 一堆一本，一堆兩本，一對(duì)三本（4） 甲得一本，乙得兩本，丙得三本（一種分組對(duì)應(yīng)一種方案）（5） 一人的一本，一人的兩本，一人的三本分析：1，分出三堆書(shū)（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書(shū)平均分成三堆方式有=15種2，六本不同的書(shū)，平均分成三堆有x種，平均分給甲乙丙三人就有x種 3， 5，五 合并單元格解決染色問(wèn)題Eg 如圖1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作