最優(yōu)捕魚策略原稿

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上最優(yōu)捕魚策略摘 要為了保護人類賴以生存的的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)，林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度，本文主要研究在可持續(xù)的發(fā)展前提下，并對問題進行合理的假設，建立非線性規(guī)劃模型來尋求最優(yōu)捕魚策略，以達到最大總獲量。對于問題1，首先，我們根據(jù)死亡率的定義以及它的量綱，運用微積分知識推導得到各年齡組魚的數(shù)目與時間和死亡率的關系，得到1、2年齡組魚的數(shù)目與時間（年）和死亡率的關系： 及3、4齡魚的數(shù)目與時間、死亡率和捕撈強度系數(shù)的關系： 然后，我們假設以年作為捕魚的單位時間，孵化時間在9月，并且在每年末進行捕魚，以年收獲總量為目標函數(shù)，以初始各年齡組魚的數(shù)目，捕撈強度系數(shù)為決

2、策變量，以可持續(xù)性發(fā)展為約束條件，建立非線性規(guī)劃模型。最后，用lingo軟件編程得結果如下表：對于問題2，首先假設仍然以年作為捕魚的單位時間，孵化時間在9月，在每年末進行捕魚，并且每年的捕撈強度系數(shù)不變。然后結合問題1，提出各年齡魚的數(shù)目的時間遞推算法，以5年的總收獲量為目標函數(shù)，捕撈系數(shù)為決策變量，并規(guī)定第6年的產(chǎn)卵量不少于第1年產(chǎn)卵量的90%作為約束條件來反映該魚群的生產(chǎn)能力不受太大破壞，建立非線性規(guī)劃模型。用lingo軟件編程得到結果：最優(yōu)解為每年3，4齡魚的捕撈系數(shù)分別為12.654,30.12857，可獲得最優(yōu)值最大收獲量為克。本文最后還對模型進行檢驗、合理的評價和推廣。關鍵詞：非線

3、性優(yōu)化；捕撈系數(shù)與死亡率；最大收獲量一、問題的提出為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度，一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。考慮對某種魚（魚題T 魚）的最優(yōu)捕撈策略：  假設這種魚分4個年齡組，稱1齡魚，,4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99(克)，各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/年)，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為 個，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個月，卵孵化并成

4、活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總量n之比）為。     漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù)，通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1，漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。 建立和求解合理的數(shù)學模型，回答下列問題：1、建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的

5、年收獲量（捕撈總重量）。2、某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務5年，合同要求5年后魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122，29.7，10.1，3.29(×條)，如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。二、問題的分析問題一要求建立數(shù)學模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)捕獲，在此前提下得到最大的年收獲量。這是一個優(yōu)化問題，需要建立優(yōu)化模型來解決，首先我們確定我們的目標函數(shù)是使年收獲量達到最大；而決策的變量有捕撈度系數(shù)、，初始時各年齡組魚的數(shù)目（=1,2,3,4）。題目中提到自然死亡率，根據(jù)相關資料查詢和推導出原題中死亡率的定義由此積分可

6、得，再進一步結合死亡率和捕撈強度系數(shù)可得：由此積分求解得：，得到單位時間內(nèi)的捕獲量為其中為3、4齡魚捕撈系數(shù)。但是結合考慮第二問的問題和在較合理條件下，我們假設以年作為捕魚的單位時間，并且在每年末進行捕魚，根據(jù)題意列出目標函數(shù)和約束條件，用相應的工具解決該非線性規(guī)劃問題，得出優(yōu)化結果。問題二要求在5年后魚群的生產(chǎn)能力不能收到太大破壞的前提下，仍用固定努力量的捕撈方式，該公司應采用怎樣的策略才能使得總收獲量最大。問題2是在問題1的基礎上再進一步的擴展，仍然是一個優(yōu)化問題，初始各年齡組的數(shù)目已知，目標函數(shù)是使得5年的總收益達到最大，決策變量為3,4齡魚每年的捕撈強度系數(shù)，約束條件是要求五年后魚群的

7、生產(chǎn)能力不受到太大的破壞，即3、4齡魚的數(shù)目不發(fā)生太大改變，我們假定一個合理的界限為約束條件，假設第6年的產(chǎn)卵量不少于第1年產(chǎn)卵量的90%，該魚群的生產(chǎn)能力不受到太大的破壞。三、模型的假設1、 假設該種魚分為四種年齡組，1，2，3，4齡魚，且各年齡組每天魚的重量分別為：5.07,11,55，17.86,22.99（克），不考慮4齡魚以上年齡組的魚；2、不考慮魚群的遷入和遷出等因素對魚群數(shù)量的影響；3、假設各年齡組的死亡率為0.8（1/年）；4、假設以年為捕魚時間單位；5、假設平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為個，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡魚和1齡魚不產(chǎn)卵，孵化期在9月，孵化后成活為1齡魚，成活率

8、為；6、假設生產(chǎn)能力不受太破壞的標準為第6年的產(chǎn)卵量不少于第1年產(chǎn)卵量的90%。四、符號說明: 時刻第齡魚的數(shù)量（) ：3齡魚的捕撈度系數(shù) ：4齡魚的捕撈度系數(shù) ：平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量，為； ：總產(chǎn)卵量 ： 年死亡率 ：年收獲量（捕獲總重量） ：孵化的成活率 五、模型的建立與求解5.1 問題1模型的建立與求解5.1.1 模型的準備已知各齡魚的自然死亡率為0.8（1/年），根據(jù)死亡率的定義，得到時刻魚群數(shù)量的減少量，占時刻魚群數(shù)量的比例，即但表示死亡數(shù)目占總數(shù)的多少，與各齡的自然死亡率的單位（1/年），即前者無量綱，后者有量綱，而且魚的死亡是一個瞬時連續(xù)的過程，無時無刻都在發(fā)生，取一個極小的時

9、間間隔，當時，得到瞬時死亡率，即根據(jù)微分定義可得:兩邊同時積分:當時，有，即該年齡組魚群的魚年初的初始數(shù)量。而對3、4齡魚在前8個月被捕撈的情況下，綜合考慮捕撈和死亡率可得到:即：兩邊同時積分:得到3、4齡魚前8個月的數(shù)量與時間、捕撈系數(shù)之間的關系為：綜上，1、2齡魚的數(shù)量與時間、死亡率的關系為： 3、4齡魚的數(shù)量與時間、死亡率、捕撈率的關系為： 5.1.2模型一的建立與求解問題1要求在實現(xiàn)可持續(xù)捕獲的前提下，獲得最高的年收獲量。因此對于問題1我們建立優(yōu)化模型來解決，以年收獲量W為目標，可持續(xù)發(fā)展和實際條件為約束條件（即各年齡組的數(shù)量條數(shù)在第2年初不改變）。根據(jù)實際捕魚情況，我們假設以年為單位

10、時間進行捕撈，由此來計算年收獲總重量。設初始的各齡魚的數(shù)目為、，3，4齡魚的捕獲強度系數(shù)分別為 、且；m為平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量，根據(jù)假設知；為產(chǎn)卵總量。由于捕撈過程只能在1到8月()進行，而且只能捕獲 3、4齡魚，所以可以得到任意時刻捕獲量為，由積分可得捕獲總重量為：運用數(shù)學積分方法可得捕魚總重量：根據(jù)假設只有3、4齡魚可以產(chǎn)卵，且平均每條3、4齡魚產(chǎn)卵數(shù)目分別為、，且產(chǎn)卵時間為九月初，由此可得產(chǎn)卵數(shù)目：孵化成活率：綜上，建立非線性規(guī)劃模型：約束條件說明：1.條件（1），（2），（4），（5）表示分別表示年末1,2,3,4齡魚的數(shù)量與第一年初各年齡魚數(shù)目相等；2.條件（3)表示在產(chǎn)卵期的產(chǎn)卵

11、總量；3.條件（6）表示3齡魚的捕撈強度系數(shù)與4齡魚捕撈強度系數(shù)的關系；4.條件（7）表示年死亡率為0.8；5.條件（8）表示平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量。通過運用lingo軟件編程運行得出結果如下圖1：圖1結果告訴我們這個非線性規(guī)劃的最優(yōu)解為：1、2、3、4齡魚初始條數(shù)為：， 3、4齡魚捕撈強度系數(shù)為： ，最優(yōu)值為，即年最大捕撈量（克）為：將該結果匯總繪制如下表1表1魚群項目1齡魚2齡魚3齡魚4齡魚初始條數(shù)捕撈強度系數(shù)產(chǎn)卵量5.2問題2模型的建立與求解問題二要求在5年后魚群的生產(chǎn)能力不受到太大破壞的前提下，仍用固定努力捕撈的捕撈方式，公司該采取怎樣的措施時使得收獲總量最大。該問題也是一個優(yōu)化模型，

12、同問題1建立非線性規(guī)劃模型。假設仍然以年為單位時間進行捕撈，假設第6年的產(chǎn)卵數(shù)目不少于第1年的產(chǎn)卵數(shù)目的90%，表示生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞。以5年的收獲總量Y為目標函數(shù)，決策變量3，4齡魚的捕獲強度系數(shù)分別為 、，約束條件為第6年的產(chǎn)卵量不小于第1年產(chǎn)卵量的90%，同時不大于第1年產(chǎn)卵量的110%。單位時間內(nèi)的3、4捕獲量為： 確定目標函數(shù)，即五年總收獲量為：化簡，得：經(jīng)過前面的分析，建立如下非線性規(guī)劃模型：約束條件說明：1.條件（1）,（2），（3），（4）表示各年齡魚的數(shù)量時間遞推公式；2.條件（5）表示每年的產(chǎn)卵總量；3.條件（6）表示3,4齡魚捕撈強度系數(shù)關系；4.條件（7），（8）

13、（9），（10）表示初始各年齡魚的數(shù)目；5.條件（11），（12）表示第6年的產(chǎn)卵量不小于第1年產(chǎn)卵量的90%，同時不大于第1年產(chǎn)卵量的110%。通過運用lingo軟件編程運行得出結果如下圖2：圖2將運行結果中的每年各年齡魚的數(shù)目結果匯總如下表2：表2：每年各年齡組魚的數(shù)量年魚齡第一年第二年第三年第四年第五年第六年1齡魚2齡魚3齡魚4齡魚根據(jù)運行結果，得3、4齡魚每年的捕撈強度系數(shù)為：，最優(yōu)值為，即五年該公司最大收獲量為：即可為該公司提出相應的捕魚策略：在保持5年后魚群的生產(chǎn)能力不受到太大破壞的前提下，對3、4齡魚每年的捕撈系數(shù)控制為12.654和30.12857，可獲得可最大收獲量。六、模型

14、的檢驗問題一的檢驗：問題一中，我們假設了3、4齡魚群的產(chǎn)卵期在9月初，而問題要求魚的產(chǎn)卵期在9-12月，下面我們改變3、4齡魚群的產(chǎn)卵期，分別對10月、11月、12月魚群產(chǎn)卵進行計算并分析，計算結果如下表：十月魚群項目一齡魚二齡魚三齡魚四齡魚條數(shù)捕撈強度系數(shù)-7.17.18957產(chǎn)卵量-十一月魚群項目一齡魚二齡魚三齡魚四齡魚條數(shù)捕撈強度系數(shù)-717.01660產(chǎn)卵量-十二月魚群項目一齡魚二齡魚三齡魚四齡魚條數(shù)捕撈強度系數(shù)-7.16.67183產(chǎn)卵量-由上表可知，該改變魚群的產(chǎn)卵時間，對優(yōu)化結果并無太大誤差，所以問題一中用9月份表示魚群的產(chǎn)卵時間進行相應計算是合理的。根據(jù)計算結果，繪制魚的總條數(shù)

15、、魚群產(chǎn)卵數(shù)與捕撈系數(shù)的關系圖像，結果如下：圖3：魚的總條數(shù)與捕撈系數(shù)圖4：魚群產(chǎn)卵數(shù)與捕撈系數(shù)根據(jù)圖3、圖4，可知魚群的數(shù)量和產(chǎn)卵量和捕撈系數(shù)有很明顯的關系，從曲線趨勢可以看出，隨著對魚群捕撈強度系數(shù)的增加，魚群的數(shù)量和產(chǎn)卵量有下降的趨勢，這與實際情況相符合，也證明了我們問題一所建模型的合理性，對實際生產(chǎn)具有一定指導意義。問題二的檢驗：檢驗該公司使用我們給出的捕撈策略后，魚群的生產(chǎn)能力沒有受到太大破壞，繪出各齡組魚的條數(shù)隨時間的變化圖像如下：圖5：魚的數(shù)量與時間從圖5中可以看出，在該捕撈策略下，隨著時間的推移，各年齡組魚群的數(shù)量是波動變化的，維持在一定水平上，證明魚群的生產(chǎn)能力并沒有受到太大

16、破壞，從而證明了我們問題二中模型的正確性。七、模型的評價優(yōu)點：針對于問題1，我們建立了一個非線性規(guī)劃模型，我們在保證可持續(xù)收獲的的條件下，得到初始的1,2,3,4齡魚的數(shù)量分別為條，條，條，條，3齡魚和4齡魚的捕撈強度系數(shù)分別為，可以獲得最高年收獲量：克。同樣對于問題2，在問題1的基礎上，我們建立起一個非線性規(guī)劃模型，得到3，4齡魚的捕撈系數(shù)分別為12.654,30.12857。這兩個模型的結果可以為廣大魚民和漁業(yè)提供參考，結合自身的情和該模型制定最優(yōu)捕魚方案來達到可持續(xù)性發(fā)展的利益最大化。 該模型合理考慮了魚群的死亡和捕撈情況，并運用微分方程和極限的概念表示魚的死亡率和捕撈率，將離散型問題轉

17、化成連續(xù)問題，將魚群的死亡捕撈率結率和合起來，進而推導出任意時刻四個年齡組魚的數(shù)量表達式。避免了二者的割裂，更加接近實際情況。問題二在問題一的基礎上，運用了遞推的思想，給出了每一年各年齡組魚群數(shù)量的算法。不足：該模型的不足之處在于盡管問題的假設都是較合理的，但是其太理想化，是其計算結果與實際情況存在一定的誤差，如魚群的遷入遷出對各年齡組魚群數(shù)量的影響等問題，但是其誤差對我們的捕魚策略影響不大。第二未計算出若以月做為捕撈單位時間是否誤差會更小，由此也可以比較出兩者的誤差。八、模型的推廣雖然漁業(yè)資源具有再生的特性，但是當捕撈量超過漁業(yè)資源的再生能力的時候，所面臨的狀況就是資源的逐漸枯竭甚至是物種的

18、滅絕很多國家目前存在的近海無魚可打的狀況，就是過量捕撈帶來的惡果，而不斷壯大的遠洋捕撈能力，又將這種危機帶到了深海地區(qū)我們希望建立更為完善的捕魚捕魚模型，來解決現(xiàn)在的魚荒問題.首先，出海捕魚涉及到公海捕魚時，應該考慮各個國家的捕撈強度不同及利率不同等的問題，這樣可以不僅保持生態(tài)的基礎上各自獲得最大效益，還可以避免各國之間的糾紛；另外，由于不同魚的繁殖速度、成長速度均有不同，針對這一特點可以對不同的魚類制定不同的捕撈策略。這樣我們就可以使海洋逐步恢復到原有的繁榮。這樣我們在保護我們賴以生存的環(huán)境的同時，可以實現(xiàn)可持續(xù)性的最大化收益。參考文獻1趙靜 但琦，數(shù)學建模與數(shù)學建模（第三版），北京，高等教

19、育出版社，2008.12姜啟源 謝金星，數(shù)學模型（第四版），北京，高等教育出版社，2011.13司守奎 孫璽菁，數(shù)學建模算法與應用，北京，國防工業(yè)出版社，2011專心-專注-專業(yè)附 錄問題一附錄1. 非線性優(yōu)化lingo程序max=17.86*a3*x3*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x4*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4);a3=0.42*a4;x3=n*1.22*1011/(1.22*1011+n)*exp(-1.6);x4=n*1.22*1011/(1.22*1011+n)*exp(-2.4-2/3*a3);m=1.

20、109*105;n=0.5*m*x3*exp(-2/3*(0.8+a3)+m*x4*exp(-2/3*(0.8+a4);x1=n*1.22*1011/(1.22*1011+n);x2=x1*exp(-0.8);2.魚群數(shù)量與捕撈強度系數(shù)的關系用matlab繪圖程序clc,clearx=0:30;n=0.5*1.109*105*2.415*1010*exp(-2/3*(0.8+0.42*x)+1.109*105*8.396*107*exp(-2/3*(0.8+x);x3=n*1.22*1011/(1.22*1011+n)*exp(-1.6);x4=n*1.22*1011/(1.22*1011+n

21、)*exp(-2.4-2/3*0.42*x);x1=6.078*1012*1.22*1011/(1.22*1011+6.078*1012);x2=1.196*1011*exp(-0.8);y=x1+x2+x3+x4;plot(x,y);title('魚的總條數(shù)與捕撈系數(shù)的關系');xlabel('捕撈系數(shù)');ylabel('魚的總條數(shù)');3.魚群產(chǎn)卵總與捕撈系數(shù)的關系用matlab繪圖程序clc,clearx=0:30;y=0.5*2.415*1010*exp(-2/3*(0.8+0.42*x)+*8.396*107*exp(-2/3*(0.

22、8+x);plot(x,y);title('產(chǎn)卵量與捕撈系數(shù)的關系');xlabel('捕撈系數(shù)');ylabel('產(chǎn)卵量');問題二附錄1.非線性優(yōu)化lingo程序model:max=17.86*a3*x31*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x41*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4)+17.86*a3*x32*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x42*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4)+17.86*a3*x

23、33*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x43*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4)+17.86*a3*x34*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x44*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4)+17.86*a3*x35*(1-exp(-2/3*(0.8+a3)/(0.8+a3)+22.99*a4*x45*(1-exp(-2/3*(0.8+a4)/(0.8+a4);a3=0.42*a4;x11=122*109;x21=29.7*109;x31=10.1*109;x41

24、=3.29*109;x22=x11*exp(-0.8);x32=x21*exp(-0.8);x42=x31*exp(-(0.8+2/3*a3);x12=1.109*105*(0.5*x31*exp(-2/3*(0.8+a3)+x41*exp(-2/3*(0.8+a4)*1.22*1011/(1.22*1011+0.5*x31*exp(-2/3*(0.8+a3)+x41*exp(-2/3*(0.8+a4);x23=x12*exp(-0.8);x33=x22*exp(-0.8);x43=x32*exp(-(0.8+2/3*a3);x13=1.109*105*(0.5*x32*exp(-2/3*(0.8+a3)+x42*exp(-2/3*(0.8+a4)*1.22*1011/(1.22*1011+0.5*x32*exp(-2/3*(0.8+a3)+x42*exp(-2/3*(0.8+a4);x24=x13*exp(-0.8);x34=x23*exp(-0.8);x44=x33*exp(-(0.8+2/3*a3);x14=1.109*105*(0.5*x33*exp(-2/3*(0.8+a3)+x43*exp(-2/3*(0.8+a4)*1.22*1011/(1.22