第四章控制系統(tǒng)的根軌跡法

1、1第四章 控制系統(tǒng)的根軌跡法 2根軌跡概念 根據(jù)系統(tǒng)的零極點分布可間接地研究控制系統(tǒng)的性能。在復平面上由開環(huán)零極點確定閉環(huán)零極點的圖解方法稱為根軌跡法。q根軌跡的類型：常規(guī)根軌跡：包括180度等相角根軌跡和零度等相角根軌跡。軌跡增益kg從0變化到無窮大時的根軌跡稱為180度根軌跡； kg從0變化到負無窮大時的根軌跡稱為0度根軌跡。參量根軌跡：除了根軌跡增益kg以外其他參數(shù)變化時的根軌跡。當然包括0度和180度根軌跡。q根軌跡定義：開環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面上變化的軌跡。3180度等相角根軌跡方程當開環(huán)傳遞函數(shù)表示成零、極點形式時,有： jnjimigPsz

2、sksG11gk式中， 為開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益，zi為開環(huán)零點，pj為開環(huán)極點。可寫為以下兩個方程，即幅值條件和相角條件：相角條件：1218011kPszsjnjimi), 2, 1, 0( ,k111jnjimigPszsk幅值條件：根軌跡方程： 111jnjimigPszsk(kg0)4180度等相角根軌跡繪制法則 連續(xù)性和對稱性：連續(xù)且對稱于實軸。 根軌跡支數(shù)，起點和終點：支數(shù)為階數(shù)n；起點為開環(huán)極點，終點為開環(huán)零點(有限零點m個和無限零點n-m個)。 根軌跡的漸近線(有n-m條)： 傾角和與實軸的交點分別為：mnka12) 1.,2 , 1 , 0(mnkmnzPimijnja11,實

3、軸上的根軌跡：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)。 5 出射角和入射角 ：）（）（矢量幅角從其他零點到該極點的矢量幅角從其他極點到該極點的出射角）（）（矢量幅角從其他零點到該零點的矢量幅角從各個極點到該零點的入射角會合、分離點和分離角：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(180,分180度等相角根軌跡繪制法則(續(xù))6180度等相角根軌跡繪制法則(續(xù)) 與虛軸的交點 :（1）在勞斯表中，令s1行系數(shù)全等于零，用s2行的系數(shù)構成輔助方程，就可求出這一對虛根，即根軌跡與虛軸的交點。同時，還可求出此時的根軌跡增益。（2）將 代入閉環(huán)特征方程，并令特征方程的實部和虛部分

4、別等于零，可求出根軌跡與虛軸的交點和根軌跡增益。js若滿足 ,閉環(huán)系統(tǒng)極點之和等于開環(huán)系統(tǒng)極點之和，且為常數(shù)。表明，隨著kg增大，一些根軌跡左移，而另一些根軌跡必向右移。 2 mn閉環(huán)系統(tǒng)極點之和7參量根軌跡的繪制 繪制根軌跡時，如果可變參數(shù)不是kg，而是其它參數(shù)時，稱為參量根軌跡。參量根軌跡繪制方法： 對1+Gk(s)=0，即閉環(huán)特征方程進行等價變換，將其轉化為1+pGk1(s)=0的形式。其中p是可變參數(shù)。 Gk1(s)是等效的開環(huán)傳遞函數(shù)，p是可變參數(shù)。根據(jù)p的取值范圍的不同(大于0或小于0)，可畫出以p為參數(shù)的180度或0度根軌跡曲線。8增加開環(huán)零極點對根軌跡的影響 增加開環(huán)零點對根軌

5、跡的影響（1）一般可使根軌跡向左半s平面彎曲或移動，增強系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，增大系統(tǒng)的阻尼。（2）改變漸近線的傾角，減少漸近線的條數(shù)。增加開環(huán)極點對根軌跡的影響（1）一般可使根軌跡向右半s平面彎曲或移動，降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)的阻尼。（2）改變漸近線的傾角，增加漸近線的條數(shù)。9利用根軌跡分析系統(tǒng)性能 利用根軌跡可確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)范圍根軌跡處于s左半平面部分的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 瞬態(tài)性能分析 閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點和瞬態(tài)響應的關系在前面已討論過，利用根軌跡可清楚地看到開環(huán)根軌跡增益或其他參數(shù)變化時，閉環(huán)系統(tǒng)極點位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。 利用根軌跡確定系統(tǒng)的有關參數(shù) 對于二階系統(tǒng)（及具有閉環(huán)

6、主導共軛復數(shù)極點的高階系統(tǒng)），通?？筛鶕?jù)性能指標的要求在復平面上劃出滿足這一要求的閉環(huán)極點（或高階系統(tǒng)主導極點）應在的區(qū)域。如下頁圖所示，具有實部 和阻尼角 劃成的左區(qū)域滿足的性能指標為：10利用根軌跡分析系統(tǒng)性能(續(xù))%100%100%21ctgeecos和)(33為極點實部nst若閉環(huán)極點落在左圖中紅線包圍的區(qū)域中，有：3%sctgte和利用這一關系可確定滿足一定性能指標要求的開環(huán)系統(tǒng)的一些參數(shù)。 穩(wěn)態(tài)性能分析：穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)有關，根據(jù)根軌跡圖能夠確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。11應掌握的內容 180度，0度根軌跡的繪制 參數(shù)根軌跡的繪制 增加開環(huán)零、極點對根軌跡和系統(tǒng)性能的影響 分析系

7、統(tǒng)的穩(wěn)定性 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能 對于二階系統(tǒng)（及具有閉環(huán)主導共軛復數(shù)極點的高階系統(tǒng)），根據(jù)性能指標的要求在復平面上劃出滿足這一要求的閉環(huán)極點（或高階系統(tǒng)主導極點）應在的區(qū)域。12例4-1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：當A和kg取不同值時，繪出的根軌跡是什么類型的根軌跡。)3)(2(1)(sssAsksGgk解分以下幾種情況說明： Kg為常數(shù)，A為變數(shù)時，為參量根軌跡； A為常數(shù)，kg為變數(shù)時，為常規(guī)根軌跡（包括180度和0度根軌跡）； 當kg0時，若A0，則為180度根軌跡；若A0，為0度根軌跡。 當kg0，則為0度根軌跡；若A0，為180度根軌跡。13q 畫根軌跡 分離（會合）點分別為-2.9

8、3和-17.1，分離（會合）角為90度。根軌跡為圓，如右圖所示。45例4-2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為（1）畫出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計算當增益k為何值時，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對系統(tǒng)性能的影響。 510sssksG2114q當 時，阻尼角 ，表示 角的直線為OB,其方程為 ，代入閉環(huán)特征方程整理后得：令實部和虛部分別為零，有解得由圖可知當 時直線OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。 2245450521052kjkk0520105kkk5, 5k5k2155j15q 對于分離點 ，由幅值條件可知 對于會合點 ，有 由根軌跡圖可知，當 時，閉環(huán)系統(tǒng)

9、有一對不等的負實數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈過阻尼狀態(tài)。當 時，閉環(huán)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)極點，其瞬態(tài)響應呈欠阻尼狀態(tài)。當 時，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對不等的負實數(shù)極點，瞬態(tài)響應又呈過阻尼狀態(tài)。93. 2858. 093. 21093. 2593. 21k07.1714.2907.17100 .17507.172k858. 00 k14.29858. 0 k k14.294516例4-3控制系統(tǒng)的結構圖如下圖所示。試繪制以a為參變量時的根軌跡。)(sR)(sY)2(1ss1as解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：1)2(1)(assss用不含參數(shù)a的項去除閉環(huán)特征方程的兩邊，有：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：01)2()(asss

10、sD1) 1(, 012122ssassas即畫出以a為參變量的根軌跡：10aaa17例4-4系統(tǒng)的結構圖如圖所示。試繪制 的根軌跡。并說明閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)時的開環(huán)增益范圍。 0*k1*sk) 1(3sss)(sR)(sC解這里要畫以k*參量根軌跡。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3333)(*2*2*2*sskskssssksks閉環(huán)特征方程為：033*2*2sskskss等效為：132)3(2*ssssk等效開環(huán)零點為：0，-3等效開環(huán)極點為：21j18Root LocusReal AxisImag Axis-3-2.5-2-1.5-1-0.50-1-0.500.51例4-4（續(xù)1）19例4-4（續(xù)2）其分離回合點計算如下：22)(, 32)(32)(,3)(22ssD