“幾何直觀”觀什么-最新文檔

1、義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011 年版）提出了“幾何直觀”這一核心概念， 認為“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用”。1 這段話所說的是對幾何直觀在含義與作用方面廣義的理解。而在面對具體數(shù)學課程內(nèi)容的時候，教科書編寫以及實際教學設(shè)計將要面臨的具體問題是：什么情況下需要幾何直觀？如何借助幾何直觀進行教學？通過幾何直觀能夠感知的內(nèi)容究竟有什么？這些問題并不容易回答，期望通過下面幾個案例的分析，能夠成為此類問題研究的引玉之磚。一、數(shù)形結(jié)合看“

2、倒數(shù)”小學數(shù)學課程與教學中關(guān)于“倒數(shù)的認識”通常關(guān)注兩點：第一是“兩個數(shù)的乘積都是 1”； 第二是“相乘的兩個數(shù)的分子、分母正好顛倒了位置”（見圖 1）。圖 1 “倒數(shù)的認識”教科書圖例其中，“兩個數(shù)的乘積都是 1”揭示出了倒數(shù)關(guān)于乘法運算“逆元（ Inverse Element ）”的屬性；“分子、分母顛倒了位置”是從書寫形式上說明了兩個數(shù)之間的關(guān)系。 這兩點均沒有從本質(zhì)方面說明倒數(shù)的含義究竟是什么。以與 2 為例， 二者相乘結(jié)果為1，表明關(guān)于乘法運算互為逆元，也就是互為倒數(shù)；從形式上看是分子、分母顛倒了位置。需要進一步探討的是，與2 在意義上是如何相關(guān)聯(lián)的？按照對分數(shù)的理解，表示“將單位

3、1 平均分為兩份中的一份”， 而 2可以認為是某數(shù)的2倍， 現(xiàn)在需要知道這里的“某數(shù)”是什么？此時借助幾何直觀就可以使得與2 的關(guān)系一目了然（見圖 2）。單位 1 等于 2 個：圖 2 2 個示意圖從圖 2 線段圖中可以看出，與其倒數(shù)2 的關(guān)系為“單位 1 等于 2 個”。 這樣的關(guān)系還可以反過來表達，也就是“單位 1 等于個2”，這一點可以從圖3 中明顯看出。單位 1 等于個2：圖 3 個 2 示意圖按照這樣的方式還可以進一步理解與的關(guān)系，即“單位 1 等于個”（見圖4）。單位 1 等于個：圖 4 個示意圖反過來的“單位 1 等于個”可以從圖 5 明顯看出 （見圖5）。單位 1 等于個：圖

4、5 個示意圖綜上， 兩個互為倒數(shù)的分數(shù)與的關(guān)系可以概括為：分數(shù)對應(yīng)的單位 1 中含有個。這一命題反過來也是正確的，即分數(shù)對應(yīng)的單位 1 中含有個。這里的幾何直觀可以說揭示出了“倒數(shù)”真正的含義， 借助幾何圖形使得互為倒數(shù)的兩個數(shù)之間的關(guān)系可以看見了。有了這樣的理解，除數(shù)為分數(shù)的除法中“顛倒相乘”的運算法則就是顯而易見的事情了。比如“10÷”表示“求10 里面包含多少個”，由于單位 1 里面包含個，所以10 里面包含的個數(shù)就是的 10 倍，即 10× =15。從這個例子可以總結(jié)出幾何直觀在數(shù)學教學中的一個作用就是通過數(shù)與形的結(jié)合，借助形象的圖形展現(xiàn)出隱蔽著的數(shù)量關(guān)系。 類似的

5、例子還有，從圖 6 長方形面積之間的關(guān)系可以明顯看出乘法對加法的分配律“a×（b+c） =a× b+a× c”（見圖6）。圖 6 “分配律”直觀示意圖二、幾何中的幾何直觀需要指出，幾何直觀體現(xiàn)的并非僅僅是數(shù)與形的結(jié)合。在幾何圖形這一領(lǐng)域內(nèi)部也經(jīng)常需要幾何直觀溝通聯(lián)系并幫助理解。美國數(shù)學學會有一個名為Mathematics Magazine的期刊，其中有一個叫作“無字證明（Proof Without Word）”的欄目，欄目中的問題及其證明都是體現(xiàn)幾何直觀的。1990 年 6 月該欄目刊載的就是如何直觀看出一個半徑為R的圓的周長2 R與圓的面積 R2之間的關(guān)系。2最

6、外圍圖 7 是一個半徑為R 的圓，圓內(nèi)部畫出許多同心圓。2 R（見圖7）。圖 7 半徑為 R 的圓及其內(nèi)部的同心圓示意圖想象將圓面從某處剪開，然后逐步展開并拉直（見圖8）。圖 8 剪開并逐步拉直過程示意圖當所有同心圓的圓周都拉直后，就會形成一個如圖9 的三角形。圖 9 剪開并拉直后示意圖這個三角形的底邊長度就是大圓周長2 R，底邊上的高就是大圓半徑R，利用三角形面積公式立刻可以得到這個三角形的面積為2 R× R÷ 2= R2，與圓面積公式一致。數(shù)學知識之間的聯(lián)系有宏觀和微觀的區(qū)別，如果把對倒數(shù)的認識看作是算術(shù)或代數(shù)領(lǐng)域中的內(nèi)容，那么前面對倒數(shù)的認識用幾何直觀所溝通的是數(shù)學中

7、不同領(lǐng)域之間的聯(lián)系，這樣的聯(lián)系屬于宏觀的聯(lián)系。這里所說的圓周長和圓面積同屬于圓這一幾何圖形的測量問題，二者并非孤立存在，而是相互關(guān)聯(lián)的，這樣的聯(lián)系不同于宏觀的聯(lián)系，屬于微觀的聯(lián)系。其中的幾何直觀是通過一系列的圖形演變，使得隱藏著的聯(lián)系變得明顯了。幾何直觀可以分為靜態(tài)和動態(tài)兩種。所謂動態(tài)的幾何直觀是指將幾何圖形實施保持某種屬性不變的一系列的變化，前面從圖7 到圖 9 的變化就保持了圓的面積這一屬性沒有變化。人民教育出版社出版的義務(wù)教育課程標準教科書- 數(shù)學五年級上冊中關(guān)于“多邊形的面積”這一內(nèi)容的呈現(xiàn)基本上也是這樣的過程10）。圖 10 人教版教科書“平行四邊形面積”示意圖三、幾何直觀并非全能應(yīng)

8、當注意的是幾何直觀并非全能，它是依賴于感官的感知，這種感知有時并不可靠。比如觀察圖11 左右兩個中心處的圓圈，直觀上會感覺右面的比左面的大，而實際上這兩個圓的大小是一樣的。圖 11 感官錯覺示意圖這種對感官錯覺（VisibleIllusion ）的研究由來已久，古希臘時期的亞里士多德（ Aristotle ） 提出的“輪子悖論”就是典型的例子。 3 設(shè)想有大小不同的兩個同心圓，沿著水平方向滾動（見圖12）。圖 12 輪子悖論示意圖大圓滾動一周后，圖12 中線段CC'的長度應(yīng)當與大圓周長相等， 那么線段DD'的長度是什么呢？直觀上看與大圓周長相等，同時又應(yīng)當與小圓周長相等。這就形

9、成了一個自相矛盾的結(jié)論，因為兩個半徑不同的圓的周長是不可能相等的。這種自相矛盾的結(jié)論叫作悖論，分析產(chǎn)生這一悖論的原因，實際上是在大圓滾動過程中， 小圓的運動方式并非只有滾動，還有人的感官難以察覺地“滑動”， 滑動的距離與小圓周長的和就成為了大圓周長。4小學六年級學生在學習“圓錐體積”時會出現(xiàn)這樣的疑問：“等底等高的圓柱和圓錐分別可以看作是由一個長方形和一個直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的（見圖13），旋轉(zhuǎn)之前三角形的面積是長方形面積的二分之一，那么旋轉(zhuǎn)之后圓錐的體積為什么不是圓 柱體積的二分之一，而變成三分之一了呢？”圖 13 圓錐體積示意圖這種疑問的產(chǎn)生實際上就是過分依賴幾何直觀，缺少了邏輯方面的思考。事實上， 旋轉(zhuǎn)體的體積并不是由旋轉(zhuǎn)之前旋轉(zhuǎn)面的面積唯一確定的，還與旋轉(zhuǎn)的距離有關(guān)。學生的疑問來源于“一因一果”的思維模式。 旋轉(zhuǎn)體的體積是由面積的大小和旋轉(zhuǎn)的距離這樣兩個因素同時制約的。更詳細的解釋可參見筆者在本刊2011 年第78 期發(fā)表的另外一篇題為為何不是二分之一的文章。 5綜上， “直觀”是相對于“抽象”而言的， 抽象作為人頭腦中的思維活動，往往具有隱性的特征。因此直觀的過程就是把抽象的內(nèi)容具