等腰三角形綜合講義(無(wú)答案)

1、等腰三角形綜合知識(shí)點(diǎn)：1等腰三角形的性質(zhì)：(1) 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。(2) 等腰三角形的頂角平分線、底邊平分線、底邊上的高重合三線合一。2、 等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形只有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等(簡(jiǎn)稱(chēng)“等角對(duì)等邊)3、 等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三條邊都相等；三個(gè)角都相等，且都等于60度。4、等邊三角形的判定：(1)兩條邊相等的等腰三角形是等邊三角形.(2) 有兩個(gè)角等于60°的三角形是等邊三角形.(3) 有一個(gè)是60°的等腰三角形是等邊三角形.5、直角三角形中30°角對(duì)的邊等于斜邊的一半。等腰直角三角形正方形AB=AC、CE=AE

2、=EB / A=Z B=Z 仁/ 2=45°黃金三角形頂角為36°的等腰三角形性質(zhì)：底角的角平分線把三角形分成兩個(gè)等腰三角形 等腰三角形的構(gòu)造1. 等腰三角形+平行線2. 角平分線+平行線 等腰三角形的存在性確實(shí)定如以下列圖1、圖2，在直線L上找一點(diǎn)P使厶ABP為等腰三角形。圖1圖2【主要數(shù)學(xué)思想】分類(lèi)思想：主要用于等腰三角形；方程思想：主要用于計(jì)算邊和角；化歸思想：主要用于把梯形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)處理。建模思想：主要用于建立等腰三角形模型 題型一：等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用【典型例題】例1.在厶ABC中, AD平分/ BAC BD丄AD垂足為D,過(guò)D作DE/ AC交A

3、B于E,假設(shè)AB=5,求線段DE的長(zhǎng).例2: 2022?青島如圖，假設(shè)將 ABC繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,那么頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為jN11ur IHIi i:iE 1§ Ii i£A. - 4, 2 B. - 2, 4 例3:如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,6, 1，/ BAC=90 , AB=AC中心對(duì)稱(chēng)，那么點(diǎn)C. 4,- 2D. 2,- 4 ABC的頂點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B, C的坐標(biāo)為2, 1，直線AB交x軸于點(diǎn)P.假設(shè) ABC與 A'B'C'關(guān)于點(diǎn)P成A'的坐標(biāo)為例4:如圖， ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A 1, 1，B4,

4、2，C 3, 41請(qǐng)畫(huà)出將厶ABC向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖形 ABQ;2請(qǐng)畫(huà)出 ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)的圖形 ABC2;3在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) P的坐標(biāo).例5:如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1.圖中線段AB和點(diǎn)P繞著同一個(gè)點(diǎn)做相同的旋轉(zhuǎn)，分別得到線段 A'B'和點(diǎn)P'，那么點(diǎn)P'所在的單位正方形區(qū)域是一 1 一&一一器丄“亍二滬乩一A. 1區(qū) B. 2區(qū) C. 3區(qū) D. 4區(qū)題型二：旋轉(zhuǎn)與幾何綜合【例題精講】例1:如圖，在正方形 ABCD和正方形 DEFG中，點(diǎn)G在CD上，DE=2將正方形 DEFG繞點(diǎn)D 順

5、時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到正方形 DE F' G ,此時(shí)點(diǎn)G在AC上，連接CE ,那么CE +CG =ADJ2 Jsr C H例2:如圖，將 ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得厶DBE點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好落在AB延長(zhǎng)線上，連接AD以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是A.Z ABD=/ EB.Z CBE玄 CC. AD/ BC D. AD=BC例3:如圖，將 AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 45°后得到 COD假設(shè)/ AOB=15，那么/AOD= , 度.例4:如圖，正方形 ABCD和正方形CEFGi長(zhǎng)分別為a和b,正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出填序號(hào)以下結(jié)論： BE=DGBE丄DQ

6、 DE+BG=2a2+2b2，其中正確結(jié)論是專(zhuān)題1:直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半應(yīng)用1如圖1,在厶ABC中，CF丄AB BE!AC M N分別是 BC與 EF的中點(diǎn)，試說(shuō)明：MF丄EF圖1圖22如圖2,在厶ABC中，CF丄AB于點(diǎn)F, BE!AC于點(diǎn)E, M為BC的中點(diǎn)，EF= 5, BC= 8,那么 EFM的周長(zhǎng)是 A. 21B . 18C . 13D. 153. 如圖3,在四邊形 ABCD中, / ABC=Z ADC= 90°, MN分別AC BD的中點(diǎn).求證：MNL BD4. 如圖，CD CF分別是 ABC的角平分線和外角平分線，且CDL AB,取AC中點(diǎn)E,連接DE交

7、CF于點(diǎn)F，求證 DE=EF.專(zhuān)題2:在直角三角形中，30度的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半1.2022秋？宜春校級(jí)期中如圖， ABC中，AB=AC / BAC=120 ,交BC于D,垂足為 E,假設(shè) DE=2cm貝U BC=cmDE垂直平分AC如圖，Rt ABC中/ ACB=90 , DE垂直平分/ A=30°, DE=4,貝U BE=.AC交 AB于 E,3. 如圖， ABC中，DE垂直平分 AC,與AC交于E,與BC交于D, / C=15 , / BAD=60 .假專(zhuān)題3:等腰三角形的高1. 在厶ABC中，AB= AC, P是直線 BC上任一點(diǎn)，PEL AB于點(diǎn)E, PF丄AC于

8、點(diǎn)F, BDL AC 于點(diǎn)D.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，試說(shuō)明PE PF、BD的關(guān)系并證明。于點(diǎn)F, BNLAC于點(diǎn)N,貝U DE DF、BN三者的數(shù)量關(guān)系為E, DFL AC【變式訓(xùn)練】1.如圖，將厶ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在AB邊上點(diǎn)B'處，此時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A 恰好落在BC邊的延長(zhǎng)線上，以下結(jié)論錯(cuò)誤的C.Z B' CA=Z B' AC D. B'C 平分/ BB' A'2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A, B的坐標(biāo)分別是 A3, 0，B 0, 4，把線段AB 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到線段 AB，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在x軸

9、的正半軸上，那么點(diǎn) B'的坐標(biāo)是A. 5, 0B . 8, 0C. 0, 5D . 0, 83.如圖，將 AOB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 45°后得到 COD假設(shè)/ AOB=15，那么/ AOD 的度數(shù)是.AB'C'D'.假設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'落在邊CD上，那么B'C的長(zhǎng)為等腰三角形的存在性問(wèn)題解題策略專(zhuān)題攻略如果 ABC是等腰三角形，那么存在A吐AC,B& BCC& CB三種情 況.腰長(zhǎng)畫(huà)等腰三角形用圓規(guī)畫(huà)圓，底邊畫(huà)等腰三角形用刻度尺畫(huà)垂直 平分線.解等腰三角形的存在性問(wèn)題，有幾何法和代數(shù)法，把幾何法和代數(shù)法相結(jié)合， 可以

10、使得解題又好又快.幾何法一般分三步：分類(lèi)、畫(huà)圖、計(jì)算.代數(shù)法一般也分三步：羅列三邊長(zhǎng)，分類(lèi)列方程，解方程并檢驗(yàn).例題解析例？如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3, 4)，點(diǎn)P 是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果 DOP是等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).1$/D /0圖1-1例？ 如圖2-1，在矩形ABCD中，A吐6, BC= 8,動(dòng)點(diǎn)P以2個(gè)單位/秒的 速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以1個(gè)單位/秒的速度從點(diǎn)C 出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)，當(dāng)P、Q兩點(diǎn)中其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)那么停止運(yùn)動(dòng). 在P、t的值.Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)例？如圖3-1，直線y = 2x+ 2與x軸交于點(diǎn)A，與

11、y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x 軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線 PQ與直線AB垂直，交y軸于點(diǎn)Q,如果 APC是 等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo).PO*圖3-1例？如圖4-1，正方形OABC勺邊長(zhǎng)為2,頂點(diǎn)A C分別在x、y軸的 正半軸上，M是BC的中點(diǎn).P(0, m)是線段0C上一動(dòng)點(diǎn)C點(diǎn)除外，直線PM 交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.當(dāng)厶APD是等腰三角形時(shí)，求m的值.例？ 如圖5-1， ABC中, A吐AC= 6, BC= 8,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 點(diǎn)E在AC邊上，/ ADE=Z B.設(shè)BD的長(zhǎng)為X,如果 ADE為等腰三角形，求x 的值.課后習(xí)題一、夯實(shí)根底1. 如圖，在 ABC中，/ ABC和/ACB勺平分

12、線交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作MN BC交AB于交AC于N,假設(shè)B阿CN= 9,那么線段MN的長(zhǎng)為A. 6 B . 7 C . 8 D . 92. 假設(shè)等腰三角形的頂角為80。，那么它的底角是A. 20° B . 50° C . 60° D . 80°3. 如圖，AE/ BD, C是 BD上的點(diǎn)，且 A吐BC, / AC9 110°,那么/EAB=度.4、如圖， ABC的周長(zhǎng)為30 cm把厶ABC的邊AC對(duì)折，使頂點(diǎn)C和點(diǎn)A重合， 折痕交BC邊于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)E,連接AD假設(shè)AE= 4 cm,那么ABD的周長(zhǎng)A. 22 cmB . 20 cm15 c

13、m二、能力提升5. 如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn) A2, - 1 , O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如 果以點(diǎn)P, O, A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ( )PA. 2 B . 3 C . 4 D . 56. 如下列圖，A, B, C分別表示三個(gè)村莊，AB= 1 000米，BO 600米，AO800米，在社會(huì)主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個(gè)文化活動(dòng)中心，要求這三個(gè)村莊到活動(dòng)中心的距離相等，貝U活動(dòng)中心P的位置應(yīng)在A. AB中點(diǎn) B . BC中點(diǎn)C. AC中點(diǎn) D . Z C的平分線與AB的交點(diǎn)7. 在 ABC中, Z B和Z C的平分線交于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)F作D

14、F/ BC,交AB于點(diǎn)D, 交AC于點(diǎn)E,假設(shè)BD+ CB 9,那么線段DE的長(zhǎng)為A. 9 B . 8 C . 7 D . 68 .如圖，P,Q是厶ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且QC= A吐AO B吐PQ那么Z BAC=A . 125°B. 130° C . 90° D . 120°三、課外拓展9.如圖，在 ABC中, BC= 8, AB的中垂線交BC于點(diǎn)D, AC的中垂線交BC于點(diǎn)，那么厶ADE勺周長(zhǎng)等于10 .如圖， ABC且CG=CDDF= DE 那么Z E=度.11等腰 ABC勺周長(zhǎng)為10,假設(shè)設(shè)腰長(zhǎng)為x,那么x的取值范圍是.四、中考鏈接12. 如圖， ACL BC, BD丄AD, AC與 BD交于 O, AO BD.求證：(1)BC = AD (2) OAB是等腰三角形.13. ，如圖，延長(zhǎng) ABC的各邊，使得BF= AC, AE= CD= AB,順次連接D, E, F,得到 DEF為等邊三角形.求證： AEFACDE(2) AB