線性代數練習題2及答案

1、線性代數練習題選擇題1A,B都是n階矩陣，且AB=0,則必有：()(A)A=0或B=0.(C)|A=0或B=0.(D)IA=IB-11cbd.(A)01,-11(B)-10(C)(D)3若A為m父n矩陣，且R(A)=rcmcn則(A) A中每一個階數大于r的子式全為零。(B) A是滿秩矩陣。(C) A經初等變換可化為Er000(D) A中r階子式不全為零。4向量組j產2J0ts,線性無關的充分條件是(A) 61,32，Us均不是零向量.(B) a1,u2，0ts中任一部分組線性無關.(C) a1,0，1as中任意兩個向量的對應分量都不成比例(D) a1,0(2，口s中任一向量均不能由其余S-1

2、個向量線性表示.5齊次線性方程組AX=0是非齊次線性方程組AX=B的導出組，則()必定成立.(A) AX=0只有零解時，AX=8有唯一解.(B) AX=0有非零解時，AX=B有無窮多解.(C) a是AX=日的任意解，%是AX=B的特解時，第0+c(是AX=B的全部解.(D) M%是AX=B的解時，乙+與是AX=0的解.6若B#日，方程組AX=B中，方程個數少于未知量個數，則有(A)AX=B一定無解。(C)AX=日必有非零解。(B)AX=0只有零解。7線性方程組ax-by=1bxay=0a/b，則方程組()(A)無解(B)有唯一解8設A、B都是n階矩陣,(C)有無窮多解(D)其解需AB=0,則A

3、和B的秩(討論多種情況)(A)必有一個為0,(B)必定都小于n,(C)必有一個小于n,(D)必定都等于n填空題x12x21方程組1_工-c的通解為2x14x27x3=02設5階方陣A的行列式為A=-2,則同A=3已知20-15-34；，求X=(D)AX=B一定有無窮多組解。計算題332334424322223解:D=(3-1)(4-1)(2-1)(4-3)(2-3)(2-4)=12解:01：402(7)14x02x=x4-1602D=（3x+a）=（3x+a）一4-6f2,求矩陣A的秩。解:aL二2-310一2B=A，求解：A3二：3xaa-x203、2037解矩陣方程：-146X=-1解：-

4、146-2一3/-2-3、二04-2<27-1R（A）=2【278解矩陣方程：X一3125J-1125-35；917k135；解:I020277910<2710-227丫2641351745127求線性方程組解：B二2x23x3-X2X3125I0-327組有無窮多組解，同解方程組為:、-2x423x3-X4X3X3X4X44x4X45的通解3J125JR(A)=R(B)=2<4,故原方程7343X3,X4為自由未知量，原方程組的通解為:10求線性方程組解：B=XiX2X3X12x2X15x無窮多組解，3430ki3231k2-2-1,ki,k2任意常數x3x4=2x34x4

5、=5,一.,34的通解，并指出其對應的齊次線性方程組的一個基X2-X32x4x13x23x42、二1-30、同解方程組為:X1原方程組的通解為:11求線性方程組基礎解系。X2X3X4解：B=-1知R(A)=R(B)=2<4,故原方程組有X1X2=-3x33x4，X3,X4為自由未知量，=X3-241,0k2-2,ki,k2任意常數X1x2x3x4=13x12x2X3X4二一2,.,r123的通解，并指出其對應的齊次線性方程組的一個x22x3x4=55X14x23x33X4=04,知R(A)=R(B)=3<4,故原方程組xx3-4有無窮多組解，同解方程組為:x2=-2x3+5,%為自

6、由未知量，原方程組的通解為:Jx4=0XiX2X312當a為何值時下列線性方程組有解2x1+x2-x3+x4=-2x1+2x2+x3+x4=3有解時用向量形式表示出它的通解Jx1x22x32x4xi-x3x4-2解：B=，當a=1時，R(A)=R(B)=3，線a-1J性方程組有解。bL,知R(A)=R(B)=3<4,故0；x1原方程組有無窮多組解，同解方程組為:交3-3二f32=2，乂3為自由未知量，-3、1、x22+k-1x301工x4/1x2原方程組的通解為:,k任意常數13判斷下列向量組的線性相關性并求它的一個最大無關組(1)口1=(2,1,3);%=(1,-1,2)尸3=(0,3

7、-1);(2)”1=(101),h(0,1,-1),O6=(2,0,1)蛤=(0,1,2)210)ri-13解：(1)A=1-13L01-2321J001向量組«1,«2,«3線性無關，且口1。2,口3就是一個最大無關組2001-131解：（2）A=0向量組%,a2p3,64線性相關，%,吃,%或%,%,%是最大無關組3=3456,14已知向量組儀1=(1234),以2=(2345"4=（4567），求向量組的秩。123234W12A=3<46117)1111111110111,9120011y(1341000000,10111123000000,

8、R(：1,：-2,：3,：-4)=215已知向量組a1=(12-11,*2=(20t0),j=9-45-2)的秩為2,求to"12后20解：A=-1tJ005-2>-2I。-21000212t00、150>若R(a1,a2,a3)=2,則2+t=5,所以t=3.16討論向量組a1=（111,a2=（123）,a3=（13t）,當t為何值時，向量組線性相關。1解：A=1若向量組線性相關R(a1,ot2,ot3)=R(A)<3所以t5=0，即t=5四證明題1,設A,B相乘可交換，且A可逆，證明A，與B相乘也可交換證：由AB=BA得B=ABA故BA=AB.2.設A是可逆的

9、n階矩陣，求證(A),=-A.證：由(一A尸(一A)=A4A=E.故(_A),=_A,.線性代數練習題答案一.選擇題2.(B)可代入驗算(B,D)部分組也含向量組1.(C)；|AB|=|A|B|=|0|=0。1000、(A,C,D)例如A=|01004.I。0003通本身。5.(C)豆是AX=8的任意解，”是AX=B的特解時，丁°+口是AX=B的全部解.6.B#e(C)7 .(B)D=：-b=a2+b2/0,由克萊姆法則知有唯一解。ba8 .(C),填空題X1X2.計算題11D-.解:K,k是任意常數.2.-3J化為三角形行列式得:-11-5-5-11由范得蒙行列式結論得:(<

10、2力A|=-(<26D=40-5-5-11-6-6-5-40D=(3-1)(4-1)(2_1)(4-3)(2-3)(2-4)-123.解：按第一行展開計算得：D=X4-16將2,3,4行加到第一行提公因式化三角形得:D=(3xa)(a-x)3Ar102010,000R(A)=24411|B|=|A|=|A|=|A|2解：（A,E）導變（E,A"）203、100152、5-146_1212123-2一31<3_2一方5一福，A4B=一51_17k-157A同上題，X=BA01-丁725-3531523-102-346153110增廣矩陣A=2-1110（行最簡階梯-M-4X

11、3X3=-2X4+3-xf,X3,&1'X2X3F5、3231kJ2、-10k2+7、3430X4=X4、X4/<0<1/<0>X1X2k,k2為任意常數.10.解:對增廣矩陣做初行變后類上題可得:X1X2=-3x33x4=X3-2X4X3二XX4=XX1、5310、X21-21=k+k2+X3100<X4J<0i<1J1,k1,k2為任意常數.-31103-201>%尸2為對應導出組AX=8的一個基礎解系。11.解:對增廣矩陣做初行變后類上題可得:X1=X3-4x2=-2x3-5X3=X3X4=0X1X21、-2k+75X310

12、X4J|<0J<0/k為任意常數.1-2110a為對應導出組AX=0的一個基礎解系。21-112.解:-1I11-2、10-101一313初行變01102TT23-2a00011-1>0001133a12-1對增廣矩陣做初行變后可知當a時,3原方程組有解,1X1X3-3X2=-X32X3=X3通解為:X1X4X4'1'-11I。一3202<3J13.(1)解:03一100,1口14243線性無關，為其最大無關組.(2)解:A=0J01-1012,10L061一3J，口2,口3為其最大無關組.%82產3尸4線性相關14.解:23<4234534564567初行變00<00100_1200_2300%產2為其最大無關組.秩為2.15.解:121020t00452100<00100-21t-30,v