2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ ）A. B. C. D.【答】C.因?yàn)?，所以，?又 ，而，所以，故.因此.2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ ）A3. B4. C5. D6.【答】B.方程即，顯然必須是偶數(shù)，所以可設(shè)，則原方程變?yōu)?，它的整?shù)解為從而可求得原方程的整數(shù)解為，共

2、4組.3已知正方形ABCD的邊長為1，E為BC邊的延長線上一點(diǎn)，CE1，連接AE，與CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長為 （ ）A B C D【答】D.過點(diǎn)C作CP/BG，交DE于點(diǎn)P.因?yàn)锽CCE1，所以CP是BEG的中位線，所以P為EG的中點(diǎn).又因?yàn)锳DCE1，AD/CE，所以ADFECF，所以CFDF，又CP/FG，所以FG是DCP的中位線，所以G為DP的中點(diǎn).因此DGGPPEDE.連接BD，易知BDCEDC45°，所以BDE90°.又BD，所以BG.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共5頁）4已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小

3、值為 （ ）A. B0. C1. D.【答】B.因?yàn)?，所以，從而，故，因此，?因此的最小值為0，當(dāng)或時(shí)取得.5若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為 （ ）A0. B. C. D.【答】 B.由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，所以，.又由得，所以，所以，所以.代入檢驗(yàn)可知：均滿足題意，不滿足題意.因此，實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為.6由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ ）A36個(gè). B40個(gè). C44個(gè). D48個(gè).【答】C.根據(jù)使用的不同數(shù)字的個(gè)數(shù)分類考慮：（1）只用1個(gè)數(shù)字，組成的四位數(shù)可以是1111，2222，333

4、3，4444，共有4個(gè).（2）使用2個(gè)不同的數(shù)字，使用的數(shù)字有6種可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的數(shù)字是1、2，組成的四位數(shù)可以是1122，1221，2112，2211，共有4個(gè)；同樣地，如果使用的數(shù)字是另外5種情況，組成的四位數(shù)也各有4個(gè).因此，這樣的四位數(shù)共有6×424個(gè).（3）使用3個(gè)不同的數(shù)字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，組成的四位數(shù)可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8個(gè).2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第2頁（共5頁）（4）使用4個(gè)不同的數(shù)字1，2，3，

5、4，組成的四位數(shù)可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8個(gè).因此，滿足要求的四位數(shù)共有4248844個(gè).二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則_【答】 .由得，代入得，整理得 又由可得，代入式得，即，又，所以，所以.驗(yàn)證可知：時(shí)；時(shí).因此，.2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個(gè)數(shù)為 【答】 1設(shè)（其中為正整數(shù)），則，顯然為奇數(shù)，設(shè)（其中是正整數(shù)），則，即.顯然，此時(shí)和互質(zhì)，所以或或解得.因此，滿足要求的整數(shù)只有1個(gè).3在ABC中，已知ABAC，A40°，P為AB上一點(diǎn)，ACP20°，則 【答】 .設(shè)

6、D為BC的中點(diǎn)，在ABC外作CAE20°，則BAE60°.作CEAE，PFAE，則易證ACEACD，所以CECDBC.又PFPABAEPA60°AP，PFCE，所以APBC，因此.4已知實(shí)數(shù)滿足，則 【答】 . 2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第3頁（共5頁）因?yàn)?，所?同理可得，.結(jié)合可得，所以.結(jié)合，可得.因此，.實(shí)際上，滿足條件的可以分別為. 第二試 （A)一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長均為整數(shù)，周長為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.由及得

7、，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 5分根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡得，所以， 10分因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是解得15分所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為. 20分二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點(diǎn)D.證明：.2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第1頁（共4頁）證明：連接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 5分2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 第4頁（共7頁）又由切割線定理可得，D、B、C、O四點(diǎn)共圓，10分PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， 20分，. 25分三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是ABC的外接圓的切線.設(shè)M，若AM/BC，求拋物線的解析式.解 易求得點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE.5分因?yàn)镻A為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，