七數(shù)培優(yōu)競(jìng)賽講座第講數(shù)軸數(shù)與形的第一次碰撞

1、第四講數(shù)軸一一數(shù)與形的第一次碰撞為了學(xué)好有理數(shù)的概念，使思維適應(yīng)數(shù)集的擴(kuò)充，我們把現(xiàn)實(shí)生活中大量的有關(guān)模型，如直尺、杠桿、溫度計(jì)、儀表上的刻度，所具有的本質(zhì)屬性抽象化，建立起數(shù)軸模型.數(shù)軸的建立，賦予了抽象的代數(shù)概念以直觀表象.數(shù)學(xué)一開(kāi)始就是研究“數(shù)”和“形”的，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來(lái).數(shù)與形有著密切的聯(lián)系，我們常用代數(shù)的方法研究圖形問(wèn)題；另一方面，也利用圖形來(lái)處理代數(shù)問(wèn)題，這種數(shù)與形相互作用，是一種重要的數(shù)學(xué)思想一一數(shù)形結(jié)合思想.利用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段，數(shù)軸是聯(lián)系數(shù)與形的橋梁，主要體現(xiàn)在：1 .運(yùn)用數(shù)軸直觀地表示有理數(shù)；2 .運(yùn)用數(shù)軸形象

2、地解釋相反數(shù)；3 .運(yùn)用數(shù)軸準(zhǔn)確地比較有理數(shù)的大??；4 .運(yùn)用數(shù)軸恰當(dāng)?shù)亟鉀Q與絕對(duì)值有關(guān)聯(lián)的問(wèn)題.例題【例1】（1）數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是一2,且A、B兩點(diǎn)的距離為3,那么點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是.（江蘇省競(jìng)賽題）11（2）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示一和一，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)所表木的數(shù)35是.（江蘇省競(jìng)賽題）思路點(diǎn)撥（1）確定B點(diǎn)的位置；（2）在數(shù)軸上選擇兩個(gè)特殊點(diǎn)，探索它們的中點(diǎn)所表示的數(shù)與所選兩點(diǎn)所表示的數(shù)的聯(lián)系.【例2】如圖，在數(shù)軸上有六個(gè)點(diǎn)，且AB=BC=CD=DE=EF,則與點(diǎn)C所表示的數(shù)最接近的整數(shù)是（）.AHC辦£F-5HB.0ClD.2（?12屆“木里杯.遞班堇試

3、卷，思路點(diǎn)撥利用數(shù)軸提供的信息，求出AF的長(zhǎng)度.1,【例3】比較a與一的大小.a思路點(diǎn)撥因?yàn)閍表示的數(shù)有任意性，直接比較常會(huì)發(fā)生遺漏的現(xiàn)象，若把各個(gè)范圍在11數(shù)軸上表示出來(lái)，借助數(shù)軸討論它們的大小，則形象直觀，解題的關(guān)鍵是由a、,無(wú)意aa義得出a1,1,0,據(jù)此3個(gè)數(shù)把數(shù)軸分為6個(gè)部分.【例4】（1）閱讀下面材料并回答問(wèn)題.28.（1）閱讀下面材料：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a、b,A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為IAB.當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1,|AB|=|OB|=|b|=|ab|當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，如圖2,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊|AB|=|OB|OA|=|b

4、|a|=b-a=|ab|；如圖3,點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊，b|;如圖4,點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊，a)=|ab|;綜上，數(shù)軸上AB兩點(diǎn)之間的距離IAB|=|OB|OA|=|b|a|=ba=|aIAB|=|AB|=|aIOB|OA|=|b|a|=b-(一b|0A)圖I(2)回答下列問(wèn)題:數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示一2和一5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示1和一3的兩點(diǎn)之間的距離是數(shù)軸上表示x和一1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果|AB|=2用么x為;當(dāng)代數(shù)式Ix+1|十|x-2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是(2002年南京市中考題)注：有效地從圖形、圖表獲取信息是信息社會(huì)的基本要

5、求.從數(shù)軸上獲取有關(guān)信息是解有理數(shù)問(wèn)題的常用技巧，主要包括：(1)數(shù)軸上堵塞點(diǎn)所表示的數(shù)是正負(fù)性；(2)數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.(1)字母表示數(shù)是代數(shù)的特點(diǎn)，但字母具有抽象性，所以在條件允許的范圍內(nèi)賦予宇母以特殊值來(lái)計(jì)算、判斷或探求解題思路，能化抽象為具體，這就是我們常說(shuō)的“賦值法”，但這種方法不能作為解題的規(guī)范過(guò)程.(2)純粹的代數(shù)的方法比較抽象，如能借助圖形(利用數(shù)形結(jié)合的思想方法)，則可使許多抽象的概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，甚至簡(jiǎn)單化.(2)試求|x-1|十|x-2|+|x-3|+|x1997|的最小值.(天津市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥對(duì)于(1),閱讀理解從數(shù)軸上看，|ab|的意義；對(duì)

6、于(2)由于x的任意性、無(wú)限性，因此，通過(guò)逐個(gè)求出代數(shù)式的值解題明顯困難，不妨從絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)軸入手，借助(1)的結(jié)論解題.【例5】(1)工作流水線(xiàn)上順次排列5個(gè)工彳臺(tái)A、B、C、D、E,一只工具箱應(yīng)該放在何處，才能使工作臺(tái)上操作機(jī)器的人取工具所走的路程最短？(2)如果工作臺(tái)由5個(gè)改為6個(gè)，那么工具箱應(yīng)如何放置能使6個(gè)操作機(jī)器的人取工具所走的路程之和最短？(3)當(dāng)流水線(xiàn)上有n個(gè)工作臺(tái)時(shí)，怎樣放置工具箱最適宜？思路點(diǎn)撥把流水線(xiàn)看作數(shù)軸，工作臺(tái)、工具箱看作數(shù)軸上的點(diǎn)，這樣，就找到了解決本例的模型一一數(shù)軸，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為例4的形式求解.學(xué)力訓(xùn)練1 .在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3,則a

7、3=1112 .a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所不，則、中最大的是abcbac3 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，若mabb1ac1c，則,則1000m=.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4 .如圖，工作流程線(xiàn)上A、B、C、D處各有1名工人，且AB=BC=CD=1,現(xiàn)在工作流程線(xiàn)上安放一個(gè)工具箱，使4個(gè)人到工具箱的距離之和為最短，則工具箱的安放位置是_5 .有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)abcb|的結(jié)果為（）.A.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c6 .如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d2a=10,那么數(shù)軸

8、的原點(diǎn)應(yīng)是（）.A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)（第15后江蘇省競(jìng)賽題）7 .X1X1的最小值是（）.A.2B.0C.1D.一l8 .數(shù)a、b、c、d所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A、B、C、D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么ac與bd的大小關(guān)系是（）.A.ac<bdB.ac=bdC.ac>bdD.不確定的（江蘇省競(jìng)賽題）9 .已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)。的距離為3.求所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和.（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）10 .已知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷a與|b的大小.11 .有理數(shù)a、b滿(mǎn)足a0,b0,a|b,用“<”將a、b、a、b連接起來(lái)12

9、 .|x1x2x3的最小值是13 .已知數(shù)軸上表示負(fù)有理數(shù)m的點(diǎn)是點(diǎn)M,那么在數(shù)軸上與點(diǎn)M相距|m個(gè)單位的點(diǎn)中,與原點(diǎn)距離較遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是.（山東省競(jìng)賽題）14 .若a0,b0,則使|xaxbab成立的x取值范圍是（武漢市選拔賽題）15 .如圖，A、B、C、D、E為數(shù)軸上的五個(gè)點(diǎn).且AB=BC=CD=DE,則圖中與P點(diǎn)表示的數(shù)比較接近的一個(gè)數(shù)是（）.A.lB.1C3D.5AIS（1）K-iu-Ht,（J（河南省競(jìng)賽題）16 .設(shè)yx1x1,則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）.a.y沒(méi)有最小值B.只有一個(gè)x使y取最小值C.有限個(gè)X（不止一個(gè)）y取最小值D.有無(wú)窮多個(gè)X使y取最小值17 .不相等的有理

10、數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,若abbcac,那么點(diǎn)B（）.A.在A、C點(diǎn)右邊B.在A、C點(diǎn)左邊C.在A、C點(diǎn)之間D.以上均有可能18 .試求x2x4x6x2000的最小值.19 .電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)Ko,第一步從Ko向左跳1個(gè)單位到Ki,第二步由Ki向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由K2向左跳3個(gè)單位到，第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4,，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K100所表示的數(shù)恰是19.94,試水電子跳蚤的初始位置Ko點(diǎn)所表示的數(shù).20 .如圖，在數(shù)軸上（未標(biāo)出原點(diǎn)及單位長(zhǎng)度）點(diǎn)A為線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，已知點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)的三個(gè)數(shù)a、b、c之積為負(fù)數(shù)，

11、這三個(gè)數(shù)之和與其中一數(shù)相等，設(shè)p為a、b、c三數(shù)中兩數(shù)的比值，求p的最大值和最小值.21 .某城鎮(zhèn)沿環(huán)形路上依次排列有五所小學(xué)：A1、A2、A3、A4、A5,它們順次有電腦15臺(tái)、7臺(tái)、11臺(tái)、3臺(tái)、14臺(tái)，為使各校的電腦數(shù)相同，允許一些小學(xué)向相鄰小學(xué)調(diào)出電腦，問(wèn)怎樣調(diào)配才能使調(diào)出的電腦總臺(tái)數(shù)最少？并求出電腦的最少總臺(tái)數(shù).（湖北省荊州市競(jìng)賽題）.參考答案3數(shù)軸數(shù)身形的一次硬插1例題求解】例1門(mén)15或h一舞示*A中直后聶的筮星")=一4例hitC據(jù)示*F-ll-LG=®M-BOCD-DE-EF-學(xué)7.E1點(diǎn)坐標(biāo)為T(mén)73+3.3L4，例3樨小加圖4QT-當(dāng)aU】時(shí)，當(dāng)-I時(shí)+*

12、：*勺-1<1亡.0時(shí)，等CVn<l好,4<；1冷注=1時(shí)皿一:,當(dāng)*>1時(shí),口>!.M41”九"&(2)|i+1M-3®-Ie2,_8>提示iMIt上甘，求|jH+|i114-IJf3|-1-i-I*-15971的小:Th廠(chǎng)+t一二；_值，即在H軸七找出表木工的Jtt+使它科表示ttJ?小的點(diǎn)的臚睥藝和133網(wǎng)Shwiw?小*如國(guó)蕭當(dāng).一gM".原式的循小，從看上上這個(gè)小偷為；19葡-11+119962)+t$9S-+(lotto-9904-(999-白蠅-iqg6*M4+99?+a-，ggTo。士，也可精工=9購(gòu)代人

13、上太子求情.觸5牌可門(mén),，丁且伴放存心書(shū)罩L箱放在二口哥臺(tái)之臼的克任一虻M3J升"為尚或偶敬兩件情一Hitt學(xué)力訓(xùn)練】I,。國(guó)一02.占冊(cè)一和00q時(shí)H.口含5.加之同任一姓，tA*.B?.AgrA9.12發(fā)密;杳藺處或的數(shù)為3或一3.青足條件的盛口典由4卞.1K當(dāng)點(diǎn)8在凜點(diǎn)的右邊時(shí)時(shí)一u>b，當(dāng)點(diǎn)A在晚點(diǎn)的左邊時(shí)演V0V。，則1q1上沿!.當(dāng)點(diǎn)八述分別在照點(diǎn)的右，左兩便時(shí).加一口二”這時(shí)£去比較1畫(huà)的大小關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)A正好在通點(diǎn)位時(shí).A<uh劇/AM:當(dāng)點(diǎn)H正好覆原點(diǎn)佗*時(shí)E=*<u，鼾存>1.H.K-a<<<-t,IL4IL2mU

14、-MMaIS.C1(.D»7+CJI.SOODOO短示：身iOOOjzlOOZ時(shí),原式有嫌小也.這個(gè)小值力/IW£-G+£lM*-”+*i+CgOilOmi*'5MOOO.14.-JO.06械承于設(shè)£點(diǎn)表示的有理獨(dú)力工唱也4.一族點(diǎn)后我相的右周數(shù)分別為了J-1+Sm1+23.-J-十£一3+*蚓+IM,由蜘觥器工-I+S-3+4M+100=19.9%解詞i=-Mt(K,M.由闡如。酎HL郵成爐:“</<,即等或在點(diǎn)之間或在點(diǎn)右尺*V5*芝加萬(wàn)其中之一第等.叮知舌的數(shù)的融為U.即這席數(shù)互為相反效他岸點(diǎn)只能在點(diǎn)乩再之同且是統(tǒng)段鼻四的中點(diǎn)黑中=褊，亍=*,?-一L分刷為此值的做大值叮小曲21.盤(pán)瓶：加的.用機(jī)乩C.U.E胭內(nèi)處理列依次及泰一至五所小學(xué)U一次向餐樓調(diào)郎山，表3，上*“1自電躺.依理童搏5AT十工,一it=