相似三角形與圓綜合題

1、1、已知：如圖，AB是。O的直徑，E是AB延長線上一點，過 E作。O的切線ED,切點為 C, ADJED交ED于點D,交。O于點F, CG 1AB交AB于點G.求證：BG ?AG =DF ?DA .2、已知：如圖，AB為。O的直徑，AB1AC, BC交。O于D, E是AC的中點，ED與AB的延長線相交 于點F.(1)求證：DE為。O的切線.(2)求證：AB : AC=BF: DF.3、(南通)已知：如圖，AB是。的直徑，AB=AC, BC交。于點D, DE 1AC , E為垂足.(1)求證："DE=ZB;(2)過點O作OF /AD,與ED的延長線相交 于點F,求證：FD?DA=FOR

2、E .4、如圖，AB為。O的直徑，BF切。O于點B, AF交。O于點D,點C在DF 上，BC 交。O 于點 E,且/BAF=2JCBF , CG _BF 于點 G,連接 AE .直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證： 逐CG s公ce ；(3)若/F=60° ,GF=1 ,求。的半徑長.E5、如圖，AB、AC分別是OO的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦 DE必B分別交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點且 PC = PF.(1)求證：PC是GO的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD2=DE?DF,為什么？在(2)的條件下，若 OH=1, AH =

3、2,求弦AC的長.6、如圖，AB、AC分別是OO的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦 DEgB分別交。O于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點且 PC =PF .(1)求證：PC是GO的切線；(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD2=DE?DF,為什么？在(2)的條件下，若 OH=1, AH =2,求弦AC的長.7、如是。的直徑，CB、CD分別切。于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且 CE=AE+BC ;(1)求證：AE是。的切線；(2)過點D作DF 1AB于點F,連接BE交DF于點M,求證：DM=MF ./8、已知：如圖，AB是OO的直徑，D是。上一點，連結(jié) BD并延長

4、，使 CD=BD ,連結(jié)AC。過點D作DE ±AC,垂足是點E.過點B作BE1AB,交ED延長線于點F,連結(jié)OF。求證：(1)EF是。O的切線；X_(2)BF sJdec。9、如圖，已知 AB是。O的直徑，C是。O上一點，OD JBC于點D,過點C作。O切線，交OD的延長線于點 E,連結(jié)BE.(1)求證：BE與。相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F,若OB = 6,且sin ZABC = 2 ,求BF的長.10、如圖，AB是。O的直徑，AC是弦，/BAC的平分線 AD交。于點D,DE 1AC交AC的延長線于點 E, OE交AD于點 F。(1)求證：DE是OO的切線；什AC 4 -

5、AFi(2)右=，求的值；AB 5 DF在(2)的條件下，若。O直徑為10,求4EFD的面積.,以AB為直徑作。O, BC交。于點D, E是邊AC的中點,11、已知：如圖，在 RtAABC中，/A=90ED、AB的延長線相交于點 F.求證：(1)DE為。O的切線.(2)AB RF=AC ?BF .12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的。與邊BC交于點D,過點D作DE !AC ,垂足為 E,延長 AB、ED交于點F, AD平分/BAC .(1)求證：EF是。的切線；(2)若AE=3, AB=4 ,求圖中陰影部分的面積.13、知AB是。O的直徑，直線l與。O相切于點C且AC = AD ,弦CD交AB

6、于E, BF JL,垂足為F,BF交。O于G。(1)求證：CE2=FGFB;(2)若 tan/CBF= -, AE=3 ,求。O 的直徑。2C14.如圖，圓內(nèi)接四邊形 ABCD的對角線AC平分/BCD , BD交AC于點F,過點A作圓的切線 AE交CB的延長線于E.求證：AEBD; AD2 = DF AE15、已知：BCD ,過點 D作直線交 AC于E,交BC作。O,過E作。O的切線ET, T為切點.求證：ET = ED16、如圖，4ABC中，AB = AC,。是BC上一點，以。為圓心，OB長為半徑的圓與 AC相切于點 A,過點C作CD JBA ,垂足為D.求證：(1) Z DAC = 2 Z

7、B;(2) CA 2 = CD CO相似三角形與圓的綜合考題（教師版）1、已知：如圖，AB是。O的直徑，E是AB延長線上一點，過 E作。O的切線ED ,切點為 C, AD1ED交ED于點D,交。O于點F, CG 1AB交AB于點G.求證：BG ?AG =DF ?DA .證明：連接BC, FC, CO, 過E作。O的切線ED,DCF= ZCAD ,ZD= ZD, zCDFsDC ,CD DF -二二,. CD2=AD XDF ,.CG 1AB, AB 為直徑，BCA= "GC= ZBGC=90 ° ,GBC+ ZBCG=90 ° , BCG+ J3CA=90GBC=

8、 ZACG , /BGCsWGA ,CG _BGAG = CC ,. CG2=BG >AG , 過E 作。O 的切線 ED,OCdDE,.AD IDE, . CO /AD ,OCA= /CAD ,.AO=CO ,OAC= /OCA ,OAC= /CAD ,在ZAGC和祥DC中，/CCA = zD，zCAC = zDAC 、AC=AC , zAGC0DC (AAS),.CG=CD , . BG XAG=AD XDF .2、已知：如圖，AB為。O的直徑，AB 1AC, BC 的中點，ED與AB的延長線相交 于點F.(1)求證：DE為。O的切線.(2)求證：AB : AC=BF : DF .證

9、明：m連結(jié)口5 di .為0門直徑，-.ZCD4=zBDA=90° .CE-EA ,.DE=EAr.Z1=Z4 f OD-OA t.'-Z2=Z3 f24+£3=90"/ Z1+Z2=00D ,即 1 £EDO- t二-0D是半徑.BE為。的切線：(2 ) -, Z3+Z/?/?.! = 90fl ,上3+24 = 9(1* ,- -Z4 = zBR4 . CDA-£BDA- ,.-ABD-CAD tAB BDTd r.FDB+BDO=a r, :OD=OB t.ZBDO-DBO ,上31FDB ,.NF=上 尸，. .-FADFDB

10、,BD_BFAD DF '.AB BFICDF r即： AC=BF ; DF .3、（南通）已知：如圖，AB是。的直徑，AB=AC, BC交。于點D, DE 1AC , E為垂足.(1)求證："DE=ZB;（2）過點O作OF /AD,與ED的延長線相交 于點F,求證：FD?DA=FORE .解：（1）方法一：證明：連接OD,QA=OD ,OAD= /ODA .,.AB是。O的直徑,ADB=90 ° ,即AD IBC.又. AB=AC ,. AD 平分/BAC,即/OAD= /CAD .ODA= ZDAE= dOAD . ADE+ ZDAE=90 ° ,AD

11、E+ JODA=90 ° ,即 QDE=90 ° , OD JDE . .OD是OO的半徑，. EF是。O的切線.ADE= ZB.方法二：,.AB是。O的直徑，ADB=90 ° ,又DE1AC,DEA=90 ° ,ADB= ZDEA , zABC 中，AB=AC , AD IBC,. AD 平分/BAC ,即/DAE= /BAD . dDAEs/BAD .ADE= ZB.(2)證明：.OF /AD,.£= ZADE .又. zDEA= ZFDO (已證), /FDOs/deA . FD: DE=FO : DA,即 FD?DA=FO RE .點評

12、：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì);(2)題乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得以證明.4、如圖，AB為。O的直徑，BF切。O于點B, AF交。O于點D,點C在DF上BC 交。O 于點 E,且/BAF=2J3BF , CG 1BF 于點 G,連接 AE .直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證： 逐CG s公CE ;(3)若/F=60 ° ,GF=1 ,求。O的半徑長.解：(1)如圖1 ,.AB是。O的直徑,AEB=90 ° . AE dBC .(2)如圖1 ,.BF與。O相切，ABF=90 ° .C

13、BF=90 °-ZABE= ZBAE . BAF=2 4BF .BAF=2 ZBAE .BAE= /CAE .CBF= /CAE .CG _LBF , AE JBC ,CGB= ZAEC=90 ° . CBF= /CAE , ZCGB= ZAEC ,/BCGsACE .(3)連接BD,如圖2所示. dae= zdbe , zdae= zcbf , .DBE= #bf .,.AB是。O的直徑，ADB=90 ° . BD _LAF. DBC= #BF , BD 1AF , CG JBF ,. CD=CG ., F=60 ° ,GF=1 , ZCGF=90 &

14、#176; ,CG. tan ZF= GF =CG=tan60 =V3 CG= V3 ,. CD=旨. AFB=60 ° , ABF=90 ° , BAF=30 ° . ADB=90 ° , BAF=30 ° , . AB=2BD . bae= zcae , zaeb= "EC , abe= zace . AB=AC .設(shè)。的半徑為r,則AC=AB=2r , BD=r . ADB=90 ° ,. AD= Vr. DC=AC-AD=2r- V5r= (2-V3) r=V3. r=2 V3+3.GO的半徑長為2A/Q+3.解析:

15、由AB為。O的直徑即可得到 AE與BC垂直.(2)易證/CBF= ZBAE,再結(jié)合條件/ BAF=2 ZCBF 就可證至U/ CBF=/CAE ,易證/CGB= "EC ,從而證到BCGsZace .(3)由/F=60,GF=1可求出CG="行；連接BD ,容易證到/ DBC= #BF ,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG= ??；設(shè)圓O的半徑為r,易證AC=AB , ZBAD=30從而得至|J AC=2r ,AD=|/r,由 DC=AC-AD=分析:(1)連接OC,證明/OCP=90 °即可.B可求出。O的半徑長.5、如圖，AB、AC分別是OO的直徑和弦，點D為劣弧

16、AC上一點，弦 DEgB分別交。O于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點且 PC =PF .(1)求證：PC是GO的切線;(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD2=DE?DF,為什么?在(2)的條件下，若 OH=1, AH =2,求弦AC的長.(2)(3)解答:D3p0H可以先根據(jù)勾股定理求出DH ,再通過證明 OGAEHD,得出AC=2AG=2DH ,求出速/ACc(1)證明：連接OC .PC=PF , OA=OC ,PCA= ZPFC , ZOCA= ZOAC ,的長.乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出. PFC= ZAFH , DE JAB ,

17、AHF=90PCO= ZPCA+ "CO= "FH+ ZFAH=90 . PC是。O的切線.(2)解：點D在劣弧AC中點位置時，才能使 AD2=DERF,理由如下: 連接AE . 點D在劣弧AC中點位置，DAF= /DEA , ADE= "DE , dDAF sJdea ,. AD : ED=FD : AD, . AD2=DE ?DF .(3)解：連接OD交AC于G.OH=1 , AH=2 ,. OA=3 ,即可得 OD=3 ,. DH=、8。=叵2.點D在劣弧AC中點位置，. AC _LDO,OGA= ZOHD=90 ° , 在AOGA和AOHD中，*

18、 DOAAOD OA = OD,zOGAzOHD (AAS), .AG=DH ,. AC=4 0.點評：本題考查了切線的判定. 要證某線是圓的切線， 已知此線過圓上某點， 連接圓心與這點(即為半徑)再證垂直即可.同時考查了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì).6、如圖，AB、AC分別是OO的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦 DEgB分別交。O于E,交AB在(2)的條件下，若 OH=1, AH =2,求弦AC的長.(1)證明：連接OC.PC=PF , OA=OC ,PCA= ZPFC , ZOCA= ZOAC , PFC= ZAFH , DE JAB ,AHF=90. PC是。O的切線.(2)解

19、：點D在劣弧AC中點位置時，才能使 AD2=DERF,理由如下: ADE= "DE ,dDAF sJdea ,于H,交AC于F. P是ED延長線上一點且 PC =PF .(1)求證：PC是GO的切線;(2)點D在劣弧AC什么位置時，才能使 AD2=DE?DF,為什么?PCO= ZPCA+"CO= "FH+ ZFAH=90連接AE .點D在劣弧AC中點位置,DAF= /DEA ,. AD : ED=FD : AD, . AD2=DE ?DF .(3)解：連接OD交AC于G.OH=1 , AH=2 ,. OA=3 ,即可得 OD=3 ,. DH= VOD2-CH2=V

20、8=2 V2.點D在劣弧AC中點位置，. AC _LDO,OGA= ZOHD=90 ° ,在AOGA和AOHD中，I rzOGA-zOHDzDOA=zAOD<OA = OD ,zOGAzOHD (AAS),.AG=DH ,. AC=4 V2解析：(1)連接OC,證明/OCP=90 °即可.(2)乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出.(3)可以先根據(jù)勾股定理求出 DH ,再通過證明 OGAEHD,得出AC=2AG=2DH ,求出弦AC的長。7、如圖，AB是OO的直徑，CB、CD分別切。于B、D兩點，點E在CD的延長線上，且CE=AE+BC ;(1)

21、求證：AE是。的切線；c(2)過點D作DF 1AB于點F,連接BE交DF于點M,求證：DM=MF ./證明：(1)連接OD, OE ,.CB、CD分別切。于B、D兩點，-八 VODE=90 ,CD=CE ,.CE=AE+BC , CE=CD+DE ,.AE=DE ,.OD=OA , OE=OE ,.zODEJOAE (SSS),OAE= JODE=90 ° ,A FQ. OA1AE,. AE是。O的切線；(2)DF 必B, AE1AB, BC 必B ,. AE /DF /BC , zBMFs/BEA ,MF BF AE 二 BA ,CD BF CB.CE = BA = CE ,MF

22、CEAE = CE . zEDM sCB ,CE： DM.CE = DE ,aE.DM=MF .解析:(1)首先連接 OD ,OE ,由CB、CD分別切。于B、D兩點，即可得/ODE=90 ° CD=CE，又由CE=AE+BC ,CE=CD+DE ,即可證得 AE=DE ,則可得ODEEAE,即可證得 AE是。的切線；(2)首先易證得 AE/DF/BC,然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF .8、已知：如圖，AB是OO的直徑，D是。上一點，連結(jié) BD并延長，使 CD=BD ,連結(jié)AC。過點D作DE ±AC,垂足是點E.過點B作BE1

23、AB,交ED延長線于點F,連結(jié)OF。 求證：(1)EF是。O的切線；4/ »(2)OBF sjDEC。證明：(1)連結(jié)OD,.AB是。O的直徑，. OA=OB ,X /CD=BD ,. OD /AC ,-DE _1AC ,DEC=90 ° , ODE=90 ° ,點D是OO上一點，. EF是。O的切線。(2) .BF必B, AB是。的直徑,. BF是。O的切線，. EF是。O的切線，BFO= ZDFO , FB=FD ,. OF JBD , FDB= ZCDE , .OFD= ZC, .£= QFB ,X /zCED= ZFBO=90 ° ,z

24、OBF sqEC。9、如圖，已知 AB是。O的直徑，C是。O上一點，OD JBC于點D,過點C作。O切線，交OD的延長線于點 E,連結(jié)BE .(1)求證：BE與。O相切；(2)連結(jié)AD并延長交BE于點F,若OB = 6,且sin ZABC =-,求BF的長.3解：(1)連結(jié) CO , .OD JBC, .,.d = Z2,再由 CO = OB , OE 公共，.zOCEJOBE (SAS ).OCE =/OBE ,又 CE 是切線，/OCE=90° , .QBE = 90° BE 與。O 相切(2)備用圖中，作 DH1OB于H, H為垂足，2.在Rt個DB 中，OB = 6

25、,且 sinZABC= ，.OD = 4,3同理 RtODH RtODB , - DH = -5 , OH = 833又.閃 AABF 閑會AHD , . FB : DH = AB ： AH ,4 5 s24,513 12. FB =36+8 3考點：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。點評：熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。10、如圖，AB是。O的直徑，AC是弦，/BAC的平分線 AD交。于點D,DE 1AC交AC的延長線于點 E, OE交AD于點 F。(1)求證：DE是OO的切線；AC 4.4F I(2)若$5 5 ,求

26、DF的值；在(2)的條件下，若。O直徑為10,求4EFD的面積.試題分析：(1)連接OD,根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得/CAD= QDA,推出OD /AC,根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；(2)先由(1)得OD AE,再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案;(3)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可(1)連接OD因為 OA =" OD"所以/OAD = QDA又已知/OAD = ZDAE可得/ODA = ZDAE ,所以O(shè)D AC ,又已知DE1AC可得DE JODE所以DE是。O的切線;(2)由(1)得 OD /AE, .AF_AE "D

27、F-0D* 又些二理色 八AB 20D 5(3)13528 AE 8 !4TAp 8,以AB為直徑作。O, BC交。O于點D, E是邊AC的中考點：圓的綜合題 點評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大11、已知：如圖，在 RtAABC中，/A=90點，ED、AB的延長線相交于點 F.求證：(1)DE為。O的切線.(2)AB RF=AC ?BF .證明：(1)如圖，連接OD、AD .QD=OA ,，2=/3,.AB是。O的直徑，BDA=90 ° ,CDA=90又.E是邊AC的中點,. DE=AE= 1AC, 21= Z4,.4+/3=/1+

28、Z2=90，即：又,AB是。O的直徑，. DE為。O的切線；(2)如圖， AB 1AC, AD1BC, ，3=/C (同角的余角相等).又,. zADB= ZCDA=90 ° ,zABDsWAD ,AB BDAC AD易證AFADs任DB ,BD BF一 = 一,AD DFAB BF=,AC DF. AB?DF=AC ?BF .解析：(1)連接 OD、AD,求出 CDA= ZBDA=90 °，點E 為 AC 中點，求出/ 1=4, /2=/3,推出/4+右=/+/ 2=90。，根據(jù)切線的判定即可；一AB BDBD BF - AB BF 一(2) ffiAABD s£

29、;AD ,推出 =，再證FADs/FDB ,推出 =，得 =，即可得AC ADAD DF AC DF出 AB ?DF=AC 右F .D12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的。O與邊BC交于點D,過點D作DE !AC ,垂足為 E,延長 AB、ED交于點F, AD平分/BAC .(1)求證：EF是。的切線；(2)若AE=3, AB=4 ,求圖中陰影部分的面積.解：(1)連接OD .OA=OD ,OAD= /ODA ,.AD 平分/BAC ,OAD= /CAD ,ODA= /CAD ,. OD /AC,E.DE _LAC,DEA=90ODF= ZDEA=90 ,.OD是半徑，. EF是。O的切線.(

30、2) ,AB 為。的直徑，DE1AC,BDA= ZDEA=90 ° , BAD= #AD ,zBADsRAE ,AB AD一 = 一，AD AE日口 4 ADAD 3. AD=2 的, . cos ZBAD=ABBAD=30 ° , BOD=2 ZBAD=60 . BD= 1AB=2 ,2. 'SZBOD= S/ABD = X X2V3 X2=V3 ,22 2_2一3c cc60 二 2 c 2- S 陰影=S 扇形 BOD -S ZBOD =J3 = Tt3603解析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出/OAD= ZODA= ZDAE ,推出 OD /AC

31、,推出 OD JEF ,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)證BADsAE,求出 AD 長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出/BAD=30 ° ,求出zBOD=60 °和求出BD=2=OB=OD ,求出扇形 BOD和4BOD的面積，相減即可.13、知AB是。O的直徑，直線l與OO相切于點C且AC=AD,弦CD交AB于E, BF H,垂足為F, BF 交。O于G。求證：CE2=FGFB;(2)若 tan ZCBF= 1, AE=3 ,求。O 的直徑。2解：(1)證明：連結(jié)AC ,.AB 為直徑，/ ACB=90 ° ,AC=AD且ab是直徑，. AB JCD 即 CE 是 RtMBC 的高，A= ZECB , ZACE= ZEBC , .CE是。O的切線, ，F(xiàn)CB= ZA, CF2=FG FB ,FCB= ZECB , BFC= /CEB=90 ° , CB=CB ,.zBCF zBCE ,. CE=CF , ZFBC= QBE ,.CE2=FG FB;(2) 1. zCBF= QBE , ZCBE= "CE ,ACE= JCBF ,，一 ，一 1 AE . tan ZCBF=tan ZACE=,2 CE.AE=3 ,31=-=CE=6 ,CE 2在RtMBC中