1教案：函數(shù)概念的引入

1、姓名學(xué)生姓名填寫時間學(xué)科數(shù)學(xué)年級冋教材版本人教版課題名稱函數(shù)及其表示課時方案第1, 2課時 共2課時上課時間教學(xué)目標(biāo)同步教學(xué)知識內(nèi)容明確知識點，了解知識結(jié)構(gòu)和內(nèi)容個性化學(xué)習(xí)問題解決1將這章的知識，綜合的應(yīng)用起來；2.及時發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。教學(xué)重點明確知識點教學(xué)難點將知識靈活應(yīng)用教學(xué)過程教師活動寫在課前：開始上課:函數(shù)的概念(I) 弓I入問題問題1初中我們學(xué)過哪些函數(shù)?(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù))問題2初中所學(xué)函數(shù)的定義是什么?(設(shè)在某變化過程中有兩個變量 x和y,如果給定了一個 x的值，相應(yīng)地確定唯一的一個y值,那么就稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量)。(H)函數(shù)

2、感性認(rèn)識教材例子(1):炮彈飛行時間的變化范圍是數(shù)集 A x|0 x 26，炮彈距地面的高度 h的變化 范圍是數(shù)集B h|0 h 845，對應(yīng)關(guān)系h 130t 5t2 (*)。從問題的實際意義可知，對于數(shù)集 A 中的任意一個時間t，按照對應(yīng)關(guān)系(*)，在數(shù)集B中都有唯一確定的高度 h和它對應(yīng)。例子(2)中數(shù)集A t|1979 t 200 , B S|0 S 26，并且對于數(shù)集 A中的任意一個 時間t，按圖中曲線，在數(shù)集 B中都有唯一確定的臭氧層空洞面積S和它對應(yīng)。例子(3)中數(shù)集 A 1991,1992丄,2001, B 53.8,52.9, L ,37.9(%),且對于數(shù)集 A 中的每 一個

3、時間(年份)，按表格，在數(shù)集 B中都有唯一確定的恩格爾系數(shù)和它對應(yīng)。(III )歸納總結(jié)給函數(shù)“定性歸納以上三例，三個實數(shù)中變量之間的關(guān)系都可以描述為兩個數(shù)集A、B間的一種對應(yīng)關(guān)系：對數(shù)集 A中的每一個X,按照某個對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集 B中都 有唯一確定的y和它對應(yīng)，記作f : A B。(IV)理性認(rèn)識函數(shù)的定義設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f :A B為從集合 A至傑合B的一個函數(shù)(function ),記作 y f (x), x A。其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的 定義域(dom

4、ain )，與x的值相隊對應(yīng)的y的值叫 做函數(shù)值，函數(shù)值的集合 f (x) x A叫做函數(shù)的 值域(range)。(2)定義域是自變量x的取值范圍；注意：定義域不冋，而對應(yīng)法那么相冋的函數(shù)，應(yīng)看作兩個不冋函數(shù)；2f ,2,0女口： y=x (x R )與 y=x (x0) ; y=1 與 y=x假設(shè)未加以特別說明，函數(shù)的定義域就是指使這個式子有意義的所有實數(shù)x的集合；在實際中，還必須考慮x所代表的具體量的允許值范圍；女口：一個矩形的寬為xm長是寬的2倍，其面積為y=2x2,此函數(shù)的定義域為 x0,而不是x R。定義域除了自身定義外，我們只需要注意四點：3值域是全體函數(shù)值所組成的集合，在大多數(shù)情

5、況下，一旦定義域和對應(yīng)法那么確定，函數(shù)的值域也 隨之確定。V區(qū)間的概念(1)滿足不等式axb的實數(shù)的(2)滿足不等式axb的實數(shù)的(3)滿足不等式axb的實數(shù)的(4)滿足不等式axb的實數(shù)的設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且ab,規(guī)定：投影1x集合叫做閉區(qū)間，表示為a,b ；x集合叫做開區(qū)間，表示為a,b ；x集合叫做半開半閉區(qū)間，表示為a, b ；x集合叫做也叫半開半閉區(qū)間，表示為a,b ；說明： 對于a, b ， a, b ， a， b ， a,b都稱數(shù)a和數(shù)b為區(qū)間的端點，其中a為左端點，b為右端點，稱b-a為區(qū)間長度； 引入?yún)^(qū)間概念后，以實數(shù)為元素的集合就有三種表示方法:不等式表示法：3xa, x

6、 b, x0 時，求 f (a), f (a 1)的值。分析：函數(shù)的定義域通常由問題的實際背景確定，如前述的三個實例。如果只給出解析式 y f x，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域就是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合。解略例2 .求以下函數(shù)的定義域。 1(1) f(x) 1； (2) f(x) Jx 4 Jx 2 ; (3) f(x) vX 12 x(1 2x)( x 1)分析：給定函數(shù)時，要指明函數(shù)的定義域，對于用解析式表示的函數(shù)，如果沒有給出定義域，那 么就認(rèn)為函數(shù)的定義域是指使函數(shù)有意義的自變量取值的集合。從上例可以看出，當(dāng)確定用解析式y(tǒng)-f(x)表示的函數(shù)的定義域時，常有以下幾種

7、情況：(1) 如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R;(2) 如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合；(3) 如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子不小于零的實數(shù)的集合；(4) 如果f(x)是由幾個局部的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各局部式子都有意義的實數(shù)的集合(即使每個局部有意義的頭數(shù)的集合的交集)；(5) 如果f(x)是由實際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實際意義的實數(shù) 的集合。由以上分析可知：函數(shù)的定義域由數(shù)學(xué)式子本身的意義和問題的實際意義決定。例3. 下F列函數(shù)中，哪個與函數(shù)y=x是同一函數(shù)？(書P21

8、 例 2 )(1) y=(x)2; y=x2;y=x3x3;(4)y=.x2 .分析:判斷兩個函數(shù)是否相同，要看定義域和對應(yīng)法那么是否完全相同。只有完全致時，這兩個函數(shù)才算相同。(解略)122 函數(shù)的表示方法(I)弓I入問題1設(shè)函數(shù)f (x)2X 2(x2)，那么 f ( 4)2x(x 2)，假設(shè) f (xo)8，貝y Xo =(II )講授新知識 函數(shù)的三種表示方法(1) 解析法(將兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式表示)：2 2 2如 y 3x 2x 1,S r ,C 2 r,S 6t 等。川上簡明，全面地概括了變 量間的關(guān)系；優(yōu)點：可以通過解析式求出任 意一個自變量所對應(yīng)的 函數(shù)值;(2)

9、列表法(列出表格表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系)：女口：平方表，三角函數(shù)表，禾U息表，列車時刻表，國民生產(chǎn)總值表等。優(yōu)點：不需要計算，就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值。(3) 圖象法(用圖象來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系)如：訂優(yōu)點：直觀形象地表示自變量的變化。(III )例題分析：例1 (書 巴).某種筆記本的單價是5元，買x ( x 1,2,3,4,5個筆記本需要y元，試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù) y f (x)。解：這個函數(shù)的定義域是數(shù)集1,2,3,4,5，用解析法可以將函數(shù)y f (x)表示為y 5x, x 1,2,3,4,5用列表法可以將函數(shù)y f (x)表示為筆記本數(shù)x12345錢數(shù)y5

10、10152025圖象法略。說明：函數(shù)的圖象通常是一段或幾段光滑的曲線，但有時也可以由一些孤立點或幾段線段組成。例2 下表是某校高一(1)班三名同學(xué)在高一年度六次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表。第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班級平均分88.278.385.480.375.782.6請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析。分析：畫出“成績與“測試時間的函數(shù)圖象，可以直觀地看出：王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績始 終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況比擬穩(wěn)定而且成績優(yōu)秀。張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不穩(wěn)定，總是在班級平 均水平

11、上下波動，而且波動幅度較大。趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績低于班級平均水平，但他的成績曲線 呈上升趨勢，說明他的數(shù)學(xué)成績在穩(wěn)步提高。例3作出函數(shù)y |x|的圖象和y |x 1的圖象，并分別求出函數(shù)的值域。 注：分段函數(shù)的定義域和值域分別是各段函數(shù)的定義域和值域的并集。例4 國內(nèi)投寄信函(外埠)，假設(shè)每封信函不超過 20g時付郵資80分；超過20g不超過40g時付郵資 160分；依次類推，每封 xg( 0 x 100)的信函付郵資為：80(x0,20 )160(x20,40 )y 240(x60,80 ),畫出這個函數(shù)的圖象。320(x60,80 )400(x80,100)說明：表示函數(shù)的式子也可以不止

12、一個(如例 1與例2),對于這類分幾個式子表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。注意它是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是“幾個函數(shù)。例5 .作出以下各函數(shù)的圖象:(1)f(x)1-(0 x 1) xx(x 1)(2) f (x)x2 2x(x 0)x2 2x(x 0)對第(2)小題的函數(shù)，試根據(jù) a的取值討論方程 f(x) a的根的個數(shù)問題。同步練習(xí)：x 2(x1)1 .在函數(shù)f (x)x2( 1 x 2)中，假設(shè)f (x) 3，那么x的值為2x(x 2)x 1(x0)2 f (x)(x 0)，那么 f ff ( 1)=。0(x0)映射的概念(I) 復(fù)習(xí)回憶1在初中學(xué)過一些對應(yīng)的例子前面(1) 對于任何一個實數(shù)，

13、數(shù)軸上都有唯一的點和它對應(yīng)；(2) 對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一個點，都有唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y)和它對應(yīng);(3) 對于任意一個三角形，都有唯一確定的面積和它對應(yīng)；(4) 對于任意一個二次函數(shù)，相應(yīng)坐標(biāo)平面內(nèi)都有唯一的拋物線和它對應(yīng)。學(xué)習(xí)的元素與集II )講授新課合的映射的概念關(guān)系觀察以下對應(yīng)(投影2):(為簡明起見，這里的 A、B都是有限集合)21對每個對應(yīng)都要強調(diào)對應(yīng)法那么，集合順序問題1 :這四個對應(yīng)的共同特點是什么?對于集合A中的任何一個元素，按照某種對應(yīng)法那么?，在集合B中都有確定的元素和它對應(yīng)。問題2 :觀察圖2、 3、 4，想一想這三個對應(yīng)有什么共同特點?這三個對應(yīng)的共同特點是：對于左

14、邊集合A中的任何一個元素，按照某種對應(yīng)法那么？，在右邊集合 B中都有唯一的元素和它對應(yīng)。b.映射的定義一般地，設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法那么？，對于集合 A中的任何一個元素， 在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)包括集合A、B及A到B的對應(yīng)法那么f 叫做集合A到集合B的映射。記作：f : at B由此定義：2, 3, 4三個對應(yīng)都是 A到B的映射，1的對應(yīng)不是 A到B的映射。22f: x sinx；3f: xx;4f: x2xc.象，原象的概念給定一個集合 A到集合B的映射，且a A, b B。如果在對應(yīng)法那么f的作用下，元素a 和元素b對應(yīng)，貝U元素b叫做元素a 在f

15、下的象，元素a叫做元素b 在f下的原象。注意：1 A, B可以是數(shù)集，也可以是點集或其它集合。這兩個集合具有先后順序：符號“f: At B表示A到B的映射，符號“ f: B t A表示B到A的映射，兩者是不同的；2集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的因此1不可以構(gòu)成映射，但兩個或兩個以上元素可以允許有相同的象如圖3;例：“ A=0,1,2,B=0,1,1/2,f:取倒數(shù)就不可以構(gòu)成映射，因為A中元素0在B中無象3集合B中的元素在A中可以沒有原象如圖4,即使有也可以不唯一如圖3;4A=原象，B 象。d.例題分析例：判斷下面的對應(yīng)是否為集合A到集合B的映射，并說明理由1 A=1，2，3，4，B=

16、3，4，5，6，7，8，9 o f: x2x 12設(shè) A=N*，B=0，1，f: x x除以 2得的余數(shù);1 113設(shè) A=1，2, 3，4，B=1，_,_，- ，f:x x取倒數(shù)；2 344 設(shè) A= x, y|x| 2,x y3,xZ, y N，B=0,1,2，f:x,y x y ;2.映射的概念問題3:觀察圖2、 3、4，想一想這三個對應(yīng)有什么不同特點? 分析：3是多對一即多個元素有同一個象；4是一對一但 B中有的元素在 A中沒有原象；2是一對一且B中所有元素在A中都有原象； 再觀察以下圖：投影4由此有：“一一映射的定義:一般地，一個映射f: AtB,假設(shè)滿足：a. 對于集合A的不同元素

17、，在集合 B中有不同的象;單射b. 集合B中每一個元素都有原象；滿射 那么這個映射叫做 A到B上的映射。例題分析:例題1設(shè)集合M二x|0 x 2, N=y|0 y 2，那么下面例題2 :以下各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是a. fx、；X , gx 、x20b. f(x) 1, g(x) xx x 0f xM , g t tx x 0C.D. f(x) x 1 , g(x)x21x 1同步練習(xí)：1 以下各組函數(shù)是同一函數(shù)的是Ay 兇與y 1 xx 1,x1B.y |x 1| 與y1 x, x 1Cy |x| |x 1|與y 2x 13Dy與y xx 12130t 5t和二次函數(shù)2. 判斷以下各組中的函

18、數(shù)是否相等，并說明理由:(1) 表示炮彈飛行咼度八與時間，關(guān)系的函數(shù)h2y 130x 5x ；(2) f(x) 1 和 g(x) x0.ln(x 1)例3:函數(shù)x2 3x 4的定義域 ()A. (-4,-1)B.(-4,1)C.(-1,1)D.(-1,1 x 10x 121 x 1解答：由x 3x 4 04 x 1.應(yīng)選C .解題提示：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍2例4:1函數(shù)yfx的定義域為0,1那么fx的定義域為2函數(shù)f3x 1的定義域為0,1貝S fx的定義域為解答：1由函數(shù)y fx的定義域為0,1,所以o x2 1,解得1 x 0或0 x 1,那么Hx?的定義域為1

19、x 0或0 x 12函數(shù)f3x 1的定義域為0,1所以1 3x 1 2那么fx的定 義域為X 1 X 2 .解題提示：1函數(shù)y fx的定義域，求復(fù)合函數(shù)fX的定義域，x取前面fx中x的 范圍,再解出x的范圍即為復(fù)合函數(shù)的定義域.2復(fù)合函數(shù)fX的定義域，求fx的定義域即x的范圍，就是求X的 范圍.同步練習(xí)：11.fx= ，貝y函數(shù)ffx的定義域是.X 1 A x|x 1 B x|x 2 C x|x 1 且 x 2 D x|x 1 或 x 22. 假設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為a, b，且b a 0，那么函數(shù)g(x) f(x) f( x)的定義域 是()A . a, b B . b, aC . b, bD . a, a13. 假設(shè)函數(shù) f(x)的定義域是0,1，貝y f(x + a) f(x a)(03 或 a 1D.a=