在祖沖之以前

1、.在祖沖之以前下面一大一小兩個圓，光憑肉眼看，你能說出哪一個的周長/直徑之比更大嗎？許多年前，小學(xué)數(shù)學(xué)老師說所有的圓周長和直徑的比值是一樣的。我信了，可是很長時間都不明白為什么。而且，即使明白了，又該如何去計算這個值是多少呢？在我想出一個方法之前，很不幸地被歷史老師提早告知了正確答案：咱老祖宗早就研究過這個了。怎么樣，這個老頭很眼熟吧，教室的墻上經(jīng)?？梢砸姷剿?。這是世界上第一個把圓周率準(zhǔn)確到小數(shù)點后第6位的祖沖之，這紀(jì)錄保持了上千年，才被歐洲人打破。哇，那他是怎么算的呢？歷史老師好似對這個不太感興趣。后來才知道，祖沖之的算法仍然是個未決的懸案。古書的記載只有?隋書·律歷志?中一段文字

2、：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。也就是說，人們只知道祖沖之給出了圓周率介于3.1415926和3.1415927之間這個答案，以及兩個的近似數(shù)355/113和22/7。其他就沒有線索了。咦，這個祖先生是南北朝年間的人物，在他之前的人類文明史已有三千多年，在他之后又有一千幾百年了。可為什么一提到圓周率人們想起的就是他呢？只是憑著這么簡單的一小段，既沒說“為什么又沒說“怎么算的記載？合書四顧心茫然，看來得動手動腳

3、找東西。從哪里入手呢？嗯，一個人用什么方法解決問題可以從他的知識背景看出些端倪。他讀過哪些書，在朝廷里當(dāng)什么官，或者做過什么工作，都能給我們一些提示。祖沖之家學(xué)淵源深沉，祖父是南朝主管皇家土木營建的大匠卿，而沖之本人精通歷法和音律。這些技術(shù)全都需要算學(xué)的功底，可如今已經(jīng)很難考證當(dāng)時的學(xué)界推崇哪些算學(xué)書籍。不過，晚些時候的唐代國子監(jiān)里把一套?算經(jīng)十書?作為標(biāo)準(zhǔn)教材，包括?九章算術(shù)?、?周髀算經(jīng)?、?海島算經(jīng)?、?孫子算經(jīng)?、?夏侯陽算經(jīng)?、?張丘建算經(jīng)?、?綴術(shù)?、?五經(jīng)算術(shù)?、?五曹算經(jīng)?、和?緝古算經(jīng)?，用于教習(xí)和考試。其中?綴術(shù)?是祖沖之所撰，前面六部的成書要早于他的時代。既然被后來的朝廷

4、選為官方教材，說明這些著作的權(quán)威性是比較大的，祖沖之很可能熟習(xí)了前幾部古書中的計算技巧。那么其中有沒有人提到過計算圓周率呢？有。而且看這個人留下的文字，閃爍的智慧絲毫不遜于后人。很可能就是這些思想，把祖沖之引向了輝煌的6位小數(shù)。這個人叫劉徽，生于三國時期，為?九章算術(shù)?作了很詳細(xì)的注解。?九章算術(shù)?在現(xiàn)代的名聲遠(yuǎn)遠(yuǎn)蓋過算經(jīng)十書里其他幾部，大部分功績得歸于劉先生。其余枝節(jié)且按下不表，單看他如何拆解圓周的玄機(jī)。在劉徽之前的古代文字記載中，圓周率是“徑一而周三，也就是整3倍。從中國人的文化傳統(tǒng)看，這個值很可能是匠人們尤其是木匠在勞動中的經(jīng)歷總結(jié)。想象一下，許許多多的匠人砍下大樹為房屋搭柱子，他們要比

5、較長度、面積、體積這些最根本的幾何關(guān)系。在無數(shù)次測量中，柱子橫截面的周長和直徑之比總是在3左右，有時多點有時少些。搭房子不需要計較差的那一點零頭，于是業(yè)界就把這值取為三，用起來也非常順當(dāng)。?九章算術(shù)?里有許多關(guān)于圓的問題，原作者給出的答案都是基于這個比值3算的。好，我們在這里停一停?？瓤龋闶且粋€生活在21世紀(jì)的新好青年，你知道圓周率至少是3.14。假如有一天尋秦記不幸在你身上上演，被派到趙國去說服他們的木匠，說柱子周長比直徑的三倍還要略大，該怎么完成任務(wù)呢？備上一條量衣皮尺去量給他們看么？你有比這更好的建議嗎？劉徽敏銳地覺察到了這個“3的錯誤，批注在?九章?相應(yīng)的題目下方田術(shù)·三十

6、二。他的理由聰明又簡潔：在圓內(nèi)畫一個內(nèi)接正六邊形，假如圓直徑是1的話，這個六邊形的周長就是3。而六邊形的周長顯然比圓小，那么圓周和直徑之比肯定大于三了。更進(jìn)一步地，從比較正六邊形和圓的思路出發(fā)，劉徽找到了一個計算圓周長的方法割圓術(shù)，即不斷增加圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)。他說，“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以致于不可割，那么與圓周合體而無所失矣。邊數(shù)越多，周長和圓周越接近；無限地割下去，就可以無限趨近于圓周。這樣，算出多邊形的周長作為圓周長的近似值，除以直徑，就得到圓周率的近似值了。邊數(shù)越多，就越準(zhǔn)確。這個思路并不復(fù)雜，落實起來卻有個問題需要解決：怎么實現(xiàn)“割之彌細(xì)這個過程呢？在地上畫一個大大的圓，然

7、后在圓里畫一個很多很多邊的多邊形，然后計算多邊形的周長？你能告訴我96邊形的周長有多少嗎？有點難。直接算很多邊的形狀有點無從下手。劉徽迂回了一下，使用遞推的方法，從邊數(shù)少的形狀開場往上增加。觀察以下圖：對于一個圓內(nèi)接正多邊形，把每條邊對應(yīng)的圓弧平分，就能得到一個邊數(shù)是原來兩倍的正多邊形。假如我們從原來的邊長AB能推出新多邊形的邊長AC，問題就解決了。因為C是個平分點，整個圖形是對稱的，那么OC就垂直平分AB，也就是說ADC是一個直角三角形。其中AD的長度是AB的一半，很好算；只要求出CD就能用勾股定理得到AC。而CD又恰好在半徑OC上，那么CD等于半徑減去OD。OD是多少？哈，ODA也是個直角

8、三角形呀，而且OA就是半徑，AD又，OD不就用勾股定理算出來了嗎？跨過這道坎，通往圓周率的路上就只剩下計算了。劉徽選擇了正六邊形作為遞推的起點，因為它的邊長很容易算，就等于半徑的長度，在圖中就是OA=AB。把半徑設(shè)為1尺，他一直算到了96邊形的周長。他由96邊形求出來的圓周率是3.14。哦，原來祖沖之還沒生下來的時候，算圓周率的方法就已經(jīng)出來了！而且只要努力地“割之又割，總能算到更準(zhǔn)確的值。雖然祖沖之的結(jié)果比3.14多了四位小數(shù)，可創(chuàng)始性的工作是來自劉徽嘛！即使祖先生有更好的算法，也已經(jīng)遺失無記載，而劉先生的評注清清楚楚地寫在?九章算術(shù)?里面。為什么前者的知名度比后者高那么多呢？掛在墻上的應(yīng)該

9、是劉先生的畫像才對啊！冷靜，冷靜。假如數(shù)一下從六邊形到96邊形，不過是6、12、24、48、96，迭代了四次而已，可是計算量已經(jīng)非常驚人了。那時連算盤都還沒創(chuàng)造我們引以為豪的算盤是宋朝以后才出現(xiàn)的，人們的工具是“算籌。計算規(guī)那么和我們今天用阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)展筆算的方法大同小異，只不過每個數(shù)字都用一樣數(shù)目的小棍兒來代替。想象一下這會產(chǎn)生什么費事吧：你寫在紙上的3決不會自己變成了12，可是假如擺在個位的三根小棍，有一根不小心被碰到了十位上，接下來的計算就差得十萬八千里了。最費事的是，在使用勾股定理求邊長的時候得開平方。想一想，用一堆小棍子手動開平方?。牧呅蔚?6邊形，這平方一開起來可是昏天暗地，假

10、如邊長還帶著小數(shù)點。所以，雖然祖沖之很可能直接采納了劉徽的思路，他可不是吃干飯撿廉價的閑人。你可以作個弊，用計算器來試試，看祖先生準(zhǔn)確到第六位需要一個幾邊形，算出它的邊長需要給哪些數(shù)開幾次平方。當(dāng)然，還不過癮的話可以自己手動開一個看。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時期小學(xué)老師被稱為“老師有案可稽。清代稱主考官也為“老師，而一般學(xué)堂里的先生那么稱為“老師或“教習(xí)?？梢?，“老師一說是比較晚的事了。如今體會，“老師的含義比之“老師一說，具有資歷和學(xué)識程度上較低一些的差異。辛亥革命

11、后，老師與其他官員一樣依法令任命，故又稱“老師為“教員。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實就是先秦而后歷代對老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實的“老師，因為“老師必需要有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責(zé)。更有趣的，祖沖之不僅算得準(zhǔn)確無誤，他給出的還是上限盈和下限朒，“正數(shù)在盈朒二限之間。這顯然是一個考慮更周詳?shù)奶岱?。不禁讓人猜測，祖先生是不是用外切多邊形和內(nèi)接多邊形分別

12、逼近，來求出一大一小兩個邊界的呢？還有那兩個作為近似圓周率的355/113和22/7，是怎么來的呢？尤其這個22/7，和地球另一邊一個遙遠(yuǎn)希臘國度里的數(shù)學(xué)家，阿基米德，在公元前2世紀(jì)得到的結(jié)果一模一樣。他們的思想會不會有巧合？不得而知，不得而知。課本、報刊雜志中的成語、名言警句等俯首皆是,但學(xué)生寫作文運用到文章中的甚少,即使運用也很難做到恰如其分。為什么?還是沒有徹底“記死的緣故。要解決這個問題,方法很簡單,每天花3-5分鐘左右的時間記一條成語、一那么名言警句即可?？梢詫懺诤蠛诎宓摹胺e累專欄上每日一換,可以在每天課前的3分鐘讓學(xué)生輪流講解,也可讓學(xué)生個人搜集,每天往筆記本上抄寫,老師定期檢查等等。這樣,一年就可記300多條成語、300多那么名言警句,日積月累,終究會成為一筆不小的財富。這些成語典故“貯藏在學(xué)生腦中,自然會出口成章,寫作時便會隨心所欲地“提取出來,使文章增色添輝。我很慶幸讀過了劉徽對?九章算術(shù)?的注解，很慶幸知道了祖沖之并