時(shí)　等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

1、2.2等差數(shù)列2.2.1等差數(shù)列的概念2.2.2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式第1課時(shí)等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解等差數(shù)列的概念，能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系(重點(diǎn))2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能應(yīng)用該公式解決簡單的等差數(shù)列問題(重點(diǎn))3.等差數(shù)列的證明及其應(yīng)用(難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1等差數(shù)列的概念如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用d表示思考1：等差數(shù)列定義中，為什么要注明“從第二項(xiàng)起”？提示第1項(xiàng)前面沒有項(xiàng)，無法與前一項(xiàng)作差思考2：等差數(shù)列定義中的“同一

2、個(gè)”三個(gè)字可以去掉嗎？提示不可以如果差是常數(shù)，而這些常數(shù)不相等，則不是等差數(shù)列2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對于等差數(shù)列an的第n項(xiàng)an，有ana1(n1)dam(nm)d.思考3已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1和公差d能表示出通項(xiàng)公式ana1(n1)d，如果已知第m項(xiàng)am和公差d，又如何表示通項(xiàng)公式an?提示設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，則ama1(m1)d，變形得a1am(m1)d，則ana1(n1)dam(m1)d(n1)dam(nm)d.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列()(2)一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列()

3、(3)一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列()(4)一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列()答案(1)×(2)×(3)×(4)2若an是等差數(shù)列，且a11，公差d3，則an_.解析a11，d3，an1(n1)×33n2.答案3n23若an是等差數(shù)列，且a12，d1，若an7，則n_.解析a12，d1，an2(n1)×1n1.由an7，即n17，得n6.答案6合 作 探 究·攻 重 難等差數(shù)列的判定與證明判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列(1)在數(shù)列an中，an3

4、n2；(2)在數(shù)列an中，ann2n.思路探究解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列規(guī)律方法1定義法是判定(或證明)數(shù)列an是等差數(shù)列的基本方法，其步驟為：(1)作差an1an；(2)對差式進(jìn)行變形；(3)當(dāng)an1an是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)時(shí)，數(shù)列an是等差數(shù)列；當(dāng)an1an不是常數(shù)，是與n有關(guān)的代數(shù)式時(shí)，數(shù)列an不是等差數(shù)列2應(yīng)注意等差數(shù)列的公差d是一個(gè)定值，它不隨n的改變而改變提醒：當(dāng)n2時(shí)，an1and(d為常數(shù))，無法說明數(shù)列an是等差數(shù)列，因?yàn)閍2a1不

5、一定等于d.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)，數(shù)列xn的通項(xiàng)由xnf(xn1)(n2且xN*)確定(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)當(dāng)x1時(shí)，求x2 017.解(1)因?yàn)閒(x)，數(shù)列xn的通項(xiàng)xnf(xn1)，所以xn，所以，所以，所以是等差數(shù)列(2)x1時(shí)，2，所以2(n1)，所以xn，所以x2 017.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a510，a1231. 【導(dǎo)學(xué)號：57452034】(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若an13，求n的值思路探究建立首項(xiàng)a1和d的方程組求an；由an13解方程得n.解(1)設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由題意可知解得an2(n1)×33n5

6、.(2)由an13，得3n513，解得n6.規(guī)律方法1從方程的觀點(diǎn)看等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，ana1(n1)d中包含了四個(gè)量，已知其中的三個(gè)量，可以求得另一個(gè)量，即“知三求一”2已知數(shù)列的其中兩項(xiàng)，求公差d，或已知一項(xiàng)、公差和其中一項(xiàng)的序號，求序號的對應(yīng)項(xiàng)時(shí)，通常應(yīng)用變形anam(nm)d.跟蹤訓(xùn)練2已知遞減等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為18，前三項(xiàng)的積為66.求該數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷34是該數(shù)列的項(xiàng)嗎？解依題意得解得或數(shù)列an是遞減等差數(shù)列，d<0.故取a111，d5.an11(n1)·(5)5n16，即等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an5n16.令an34，即5n1634，得n10.34

7、是數(shù)列an的第10項(xiàng).等差數(shù)列的應(yīng)用探究問題1若數(shù)列an滿足1且a11，則a5如何求解？提示由1可知1.是首項(xiàng)1，公差d1的等差數(shù)列1(n1)×1n，ann2，a55225.2某劇場有20排座位，第一排有20個(gè)座位，從第2排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位，則第15排有多少個(gè)座位？提示設(shè)第n排有an個(gè)座位，由題意可知anan12(n2)又a120，an20(n1)×22n18.a152×151848.即第15排有48個(gè)座位某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年可獲利200萬元從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新

8、產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？思路探究分析題意，明確題中每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，利用等差數(shù)列的知識解決即可解由題設(shè)可知第1年獲利200萬元，第2年獲利180萬元，第3年獲利160萬元，每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列an，且當(dāng)an<0時(shí)，該公司會出現(xiàn)虧損設(shè)從第1年起，第n年的利潤為an，則anan120，n2，nN*.所以每年的利潤可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列an，且首項(xiàng)a1200，公差d20.所以ana1(n1)d22020n.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損，所以由an22020n<0，得n>11，即從第12年起，該公司經(jīng)

9、銷此產(chǎn)品將虧損規(guī)律方法1在實(shí)際問題中，若涉及到一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題，可考慮利用數(shù)列方法解決，若這組數(shù)依次成直線上升或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決2在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時(shí)，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵問題跟蹤訓(xùn)練3甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：時(shí)間t(s)123？60距離s(cm)9.819.629.449？(1)你能建立一個(gè)等差數(shù)列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時(shí)間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計(jì)算，甲蟲1 min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49 cm需要多長時(shí)間？解(1)由題目表中數(shù)據(jù)可知，該數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都是常數(shù)9.8，所以是一個(gè)等差

10、數(shù)列模型因?yàn)閍19.8，d9.8，所以甲蟲的爬行距離s與時(shí)間t的關(guān)系是s9.8t.(2)當(dāng)t1 min60 s時(shí)，s9.8t9.8×60588 cm.當(dāng)s49 cm時(shí)，t5 s當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1下列數(shù)列中是等差數(shù)列的為_(填序號)6,6,6,6,6；2，1,0,1,2；5,8,11,14；0,1,3,6,10.解析是等差數(shù)列，不是等差數(shù)列答案2若數(shù)列1，a,9是等差數(shù)列，則a的值為_解析由1，a,9成等差數(shù)列可知，a19a，2a19，a5.答案53若數(shù)列an滿足a11，an1an2，則an_.解析由an1an2，得an1an2，an是首項(xiàng)a11，d2的等差數(shù)列，an1(n1)×22n1.答案2n14設(shè)數(shù)列an的公差為d，則數(shù)列a3，a6，a9，a3n是_數(shù)列，其公差為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57452035】解析a3na3(n1)3d.答案