定積分元素法

1、1第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法 第二節(jié)第二節(jié) 平面圖形的面積平面圖形的面積 內(nèi)容提要：重點(diǎn)：難點(diǎn)：定積分的元素法定積分的元素法, , 平面圖形的面積的求法平面圖形的面積的求法. .定積分的元素法定積分的元素法, , 平面圖形的面積的求法平面圖形的面積的求法. .定積分的元素法定積分的元素法, ,第六章第六章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用2xoyab)(xfy 和和我們知道求由我們知道求由0, ybxax)(xfy 所圍成的曲邊梯形所圍成的曲邊梯形的面積的面積 A 須經(jīng)過以下四個步驟：須經(jīng)過以下四個步驟： （2）近似計(jì)算：）近似計(jì)算：iiixfA )( );(1iiixx ;)()(1

2、0lim baniiidxxfxfA （4）取極限：）取極限： （3）求和：）求和： niiixfA1)( iA niiAA1,ba分成分成n個小區(qū)間，個小區(qū)間，（1）分割）分割: 把把設(shè)第設(shè)第 i 個小曲邊梯形的面積為個小曲邊梯形的面積為則：則：第一節(jié)第一節(jié) 定積分的元素法定積分的元素法ix1ix3（2）A對于區(qū)間對于區(qū)間a,b具有可加性，即整個曲邊梯形的面積等于具有可加性，即整個曲邊梯形的面積等于 所有小曲邊梯形面積的和。所有小曲邊梯形面積的和。在上面的問題中，所求的量面積在上面的問題中，所求的量面積A有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：（1）A是一個與變量是一個與變量x的區(qū)間的區(qū)間a,b有關(guān)的量；有

3、關(guān)的量；;)( badxxfA即：即：A的精確值，的精確值，iixf )( 近似代替部分量近似代替部分量iA 時(shí)，它們只相差一比時(shí)，它們只相差一比ix高階的無窮小，因此和式高階的無窮小，因此和式 niiixf1)( 的極限就是的極限就是（3）以）以4A （3）寫出）寫出A的積分表達(dá)式，即：的積分表達(dá)式，即：dxxfAba)( 求求A的積分表達(dá)式的步驟可簡化如下：的積分表達(dá)式的步驟可簡化如下：（1）確定積分變量）確定積分變量x及積分區(qū)間及積分區(qū)間a，b；A以以dxxf)(作為作為的近似值。的近似值。,dxxx （2）在）在a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間即：即：dxxfdA)(dxxf)(叫做面積

4、元素叫做面積元素,記為記為dxxfA)(xyo)(xfy badxx xdxdA5具體步驟是具體步驟是： 那么這個量就可以用積分來表示。那么這個量就可以用積分來表示。叫做叫做積分元素積分元素 badxxfU)(（3）寫出）寫出 U 的積分表達(dá)式，即：的積分表達(dá)式，即： （1）根據(jù)具體問題，選取一個變量例如）根據(jù)具體問題，選取一個變量例如 x 為積分變量，并確定為積分變量，并確定 它的變化區(qū)間它的變化區(qū)間a,b；dxxfdUU)(（2）在）在a,b上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間 x, x+ dx，求出，求出 U 在這個小區(qū)間上在這個小區(qū)間上的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式這種方法叫做這種方法叫做 定積分的元素

5、法。定積分的元素法。一般地，如果某一實(shí)際問題中的所求量一般地，如果某一實(shí)際問題中的所求量 U符合下列條件：符合下列條件：（1）U是與一個變量是與一個變量x的變化區(qū)間的變化區(qū)間a，b有關(guān)的量；有關(guān)的量；（2）U對于區(qū)間對于區(qū)間a，b具有可加性；具有可加性；iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( （3）部分量）部分量6一、直角坐標(biāo)情形一、直角坐標(biāo)情形例例計(jì)算由計(jì)算由22,xyxy所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。 這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示這兩條拋物線所圍成的圖形如圖所示 22xyxy和和得拋物線的兩個交點(diǎn)得拋物線的兩個交點(diǎn))0 , 0() 1 , 1 (取取x為積分變量

6、，積分區(qū)間為為積分變量，積分區(qū)間為1 , 0在在上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx 面積元素為面積元素為.)(2dxxxdA 故所求面積為故所求面積為 .01)(31332210323 xxdxxxAyox) 1 , 1 (11dxx x第二節(jié)平面圖形的面積第二節(jié)平面圖形的面積解解解方程組解方程組1 , 0，7注：注：當(dāng)然所求的面積可以看作是兩個曲邊梯形面積的差，即當(dāng)然所求的面積可以看作是兩個曲邊梯形面積的差，即3110210 dxxdxxAyox) 1 , 1 (11xyodxxx)(x )(x ba所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積一一般般地地，由由)(),(,xyxybxax dxxx

7、Aba )()( 8xyo例計(jì)算拋物線例計(jì)算拋物線xy22 與直線與直線4 xy所圍成的圖形的面積。所圍成的圖形的面積。注注：當(dāng)然這個題也可以用元素法來解。：當(dāng)然這個題也可以用元素法來解。這個圖形如右圖所示，這個圖形如右圖所示，以以y為積分變量，所求的面積為為積分變量，所求的面積為 1824244 )4(62422214232 yyydyydyyA 解解得交點(diǎn)得交點(diǎn) 422xyxy)2, 2( )4 , 8(解方程組解方程組)2, 2( )4 , 8(9例例3 求橢圓求橢圓12222 byax所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos 應(yīng)

8、用定積分換元法，令應(yīng)用定積分換元法，令taxcos則：則：tdtadxtbysin,sin 當(dāng)當(dāng) x 由由 0 變到變到 a 時(shí)，時(shí)，t 由由2變到變到0，所以：，所以：1A設(shè)橢圓在第一象限部分的面積為設(shè)橢圓在第一象限部分的面積為 aydxAA0144ababtdtabtdtabdttatbA 221020204sin4sin4)sin(sin42221A解解則橢圓的面積為則橢圓的面積為。橢橢圓圓變變?yōu)闉閳A圓，時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2aAba 10一般地，當(dāng)曲邊梯形的曲邊一般地，當(dāng)曲邊梯形的曲邊:), 0)( ,baxxf )(xfy 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 )()(tytx 給出時(shí)，給出時(shí)， 則由曲邊梯形

9、的面積公式及定積分的換元公式可知，則由曲邊梯形的面積公式及定積分的換元公式可知， 曲邊梯形的面積為曲邊梯形的面積為 dtttdxxfAba)( )()(在在, （或（或）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(tx 適合：適合：)(,)(,)(tba 如果如果)(ty 連續(xù)連續(xù)11二、極坐標(biāo)情形二、極坐標(biāo)情形 下面我們求下面我們求這個曲邊扇形的面積。這個曲邊扇形的面積。所以曲邊扇形的面積為：所以曲邊扇形的面積為： dA221)( 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 ,圍成一圖形（稱為圍成一圖形（稱為曲邊扇形）。曲邊扇形）。 ddA221)( 面積元素為：面積元素為： 為為,d取極角取極角積分變

10、量，積分區(qū)間為積分變量，積分區(qū)間為任取小區(qū)間任取小區(qū)間，。)(在在,上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)(假設(shè)假設(shè)。 221RA圓扇形面積公式為圓扇形面積公式為 ddxo)( r12例例4 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線 ar )0( a上相應(yīng)于上相應(yīng)于 從從0 變到變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積。的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積。在此區(qū)間上任取小區(qū)在此區(qū)間上任取小區(qū)間間 ，, d dadA221)(于是所求面積為于是所求面積為 322032202234322aadaA d xoa 2面積元素為面積元素為 解解積分變量為積分變量為2 , 0積分區(qū)間為積分區(qū)間為13 例例5 計(jì)算心形線計(jì)算心形線)cos1 ( ar)0(a所圍成的圖形面積。所圍成的圖形面積。因此所求圖形的面積因此所求圖形的面積 A 是極軸以上部分圖形面積是極軸以上部分圖形面積 的兩倍，的