高中考試數(shù)學(xué)玩轉(zhuǎn)壓軸題專題3_3圖形面積求最值,函數(shù)值域正當(dāng)時(shí)1

1、專題3.3圖形面積求最值,函數(shù)值域正當(dāng)時(shí)1、面積問題的解決策略：(1)求三角形的面積需要尋底找高,需要兩條線段的長度,為了簡化運(yùn)算,通常優(yōu)先選擇能用坐標(biāo)直接進(jìn)行表示的底(或高)(2)面積的拆分：不規(guī)那么的多邊形的面積通常考慮拆分為多個(gè)三角形的面積和,對于三角形如果底和高不便于計(jì)算,那么也可以考慮拆分成假設(shè)干個(gè)易于計(jì)算的三角形2、多個(gè)圖形面積的關(guān)系的轉(zhuǎn)化：關(guān)鍵詞“求同存異,尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底或“等高的特點(diǎn),從而可將面積的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段的關(guān)系,使得計(jì)算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉(zhuǎn)化為某個(gè)變量的函數(shù),再求解函數(shù)的最值,在尋底找高的過程中,優(yōu)先選擇長度為定值的線段

2、參與運(yùn)算.這樣可以使函數(shù)解析式較為簡單,便于分析2X例1橢圓C：-2a2yb2【典例指引】1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為0,1,離心率為,直線3l:ykxm(k0)與橢圓C交于,兩點(diǎn),假設(shè)存在關(guān)于過點(diǎn)的直線,使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于該直線對稱.(I)求橢圓C的方程；(II)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(III)用m表示的面積S,并.判斷S是否存在最大值.假設(shè)存在,求出最大值；假設(shè)不存在,說明理由.簡析:易得t橢圓C二5+N=ID法一韋達(dá)定理整體代入：漫A4月?B吃,當(dāng),由,一得：y=jtx¥m3必+L/+6*+3ma-3=0,所A=622V12m2mX1X2y1y21k23k21-43必+13加,一M0,+

3、176jtm332m西+巧二一訪'再恐"訪11*+內(nèi)=訪.x2x1x2X1因A：B關(guān)于過點(diǎn)M0L的直線對稱,故|NIA|=MB|,那么有君士丁1+1=假設(shè)+巧可得:y2y12y2y10X2Xky2y120,可得:6km2m_2_23k13k10,那么有：2m3k21112m2m0法二?樣化為弦中點(diǎn)設(shè)A百4,R巧百,且線用AE的中點(diǎn)C為為,不十孫=3n飛+孫=仇又中點(diǎn)C在直線AB上,那么吊十3為二3為=4+5=/=,因使得點(diǎn)A與點(diǎn)已關(guān)于過點(diǎn)M的直線對稱,那么過點(diǎn)M的直線為：y=.工1,那么點(diǎn)C|km3m3Jta+l工爐+1L=2曬=3/+1>1,直線與橢圓c交于a

4、7;兩點(diǎn)©中點(diǎn)q-髭島在橢圓內(nèi),那么有G岳+1十口公叫<L=>?i<2?-<m<22an法一面積轉(zhuǎn)化為弦長：kxm的距離m1k21m1J12m2m2mS2所以在2,2上是減函數(shù),所以面積S無最大值.法二面積坐標(biāo)化公式:易得向量Xi,yiX2,y21二xy2x1x2y12X212%kx2mx2kx1x1x2m1x1x22m2mS24m21m在一2上均為減函數(shù),2,S2所以面積S無最大值.可得的面積S的取值范圍為八810,一161-,22上均為減函數(shù),斜率k與截距m之間的點(diǎn)評：1第二小問分為兩個(gè)操作程序：據(jù)對稱性得到直線關(guān)系；據(jù)位置關(guān)系構(gòu)建直線斜率k與截距m

5、之間的不等關(guān)系.點(diǎn)關(guān)于直線對稱的轉(zhuǎn)化為對稱軸為垂直平分線,法一進(jìn)轉(zhuǎn)化為等腰三角形,從而線段相等,利用兩點(diǎn)距離公式進(jìn)行坐標(biāo)化,化簡后得到交點(diǎn)坐標(biāo)縱橫坐標(biāo)之和及弦的斜率,故可以使用韋達(dá)定理整條件體代入.實(shí)際上所有使用韋達(dá)定理整體代入這個(gè)處理方式的標(biāo)準(zhǔn)是題意韋達(dá)定理化:與目標(biāo)均能化為交點(diǎn)坐標(biāo)和與積的形式；橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)；法二那么點(diǎn)差法處理弦中點(diǎn)問題.均可得到直線的斜率k與截距m之間的關(guān)系.構(gòu)建不等式的方式：法一根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,利用判別式構(gòu)建參數(shù)m的不等式；法二根據(jù)點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系,利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)構(gòu)建參數(shù)m的的不等式；故直線與橢圓相交可與點(diǎn)在橢圓內(nèi)等價(jià)轉(zhuǎn)化；2第三小問分成兩個(gè)操作程序：構(gòu)建

6、.面積的函數(shù)關(guān)系；求函數(shù)的值域.法一利用底與高表示三角形面積,三角形的底那么為弦長,三角形高那么為點(diǎn)線距離.法二利用三角形面積1的坐標(biāo)公式S-|xiy2X2yi,不管哪種面積公式,均會(huì)出現(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)之差,故從整道題全局來說,第二問使用韋達(dá)定理顯得更流暢,時(shí)分比更高,所以要注意方法的選擇與整合.關(guān)于分式型函數(shù)求最值,常見思路為：以分母為整體,分子常數(shù)化,往往化簡為反比例函數(shù)、對勾函數(shù)及二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù),此題這個(gè)函數(shù)形式并不常見.特別要注意根本函數(shù)的和與差這種結(jié)構(gòu)的函數(shù),特殊情況可以直接判斷單調(diào)性,這樣可以防止導(dǎo)數(shù)過程.變式與引申：假設(shè)過點(diǎn)的直線交橢圓于D,求四邊形D的面積的取值范圍.簡解:直線M

7、D的方程為:y=lx1代入橢圓可得=與二腔-貝"rL十J國那么=,4出1nB=又因2耀=3出+L代入可得:K十Jn十rL國播3一加血+4,令i=27加：個(gè)了/胞+4£nl、Bm4+30m1+32m+32八曰"、1/(2-«i)./1那么fm=q<0,Ri/加)二一i-在二12上為威的數(shù)j機(jī)(附+4)wi(m+4)?另小卜蜂鏟7Rj/(m)=27g:1)(：；網(wǎng)e猾9,四邊形MADB的面枳的取值范圍為(0.3)/+4)Bwi+192*8w+L95十y-1定丁=j(m+4)+4)J(m+4)Oy=77/<Qj那么;不？1#在5*2均為展的數(shù)在不,

8、2上為(wi44)(bi+4)2J2/y2人八»+2?1ab0的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi,F2,離心率e,b2被函數(shù).2X例2、橢圓2a短軸長為2.(1)求橢圓的方程；2點(diǎn)A為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)非長軸端點(diǎn),AF2的延長線與橢圓交于B點(diǎn),AO的延長線與橢圓交于C點(diǎn),求ABC面積的最大值.【思路引導(dǎo)】1由題意得b1,再由e-,a2b2c2aJ2,c1標(biāo)準(zhǔn)方程為a21;(2)當(dāng)AB的斜率不存在時(shí),不妨取A1,B1,C221,22SABC1_LU.一一._.-2eJ2；當(dāng)AB的斜率存在時(shí),設(shè)AB的方程為yk2y212,2.2_2_4k22k1x4kx2k20x1x22,x12k12k22X222

9、k1II|AB|2衣k212k21AB,又直線kxyk0的距離d|k2ddVk21SABC21ABl2d12五22衣112&ABC442k21面積的最大值為2.解析：(1)由題意得12b2,解得|b1,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+ya=1當(dāng)直線期的斜率不存在時(shí),不妨取【閽小用q*卦故孔皿=1工2式點(diǎn)=設(shè)；當(dāng)直線&的斜率存在時(shí),設(shè)直線dB的方程為y=4(x-L),y二上(x-L)聯(lián)立方程組I£,Hy=12化簡得2k2224k22k221k2422k12k12V2S2k21點(diǎn)O到直線kxyk0的距離|k|k.k21、.k21由于O是線段AC的中點(diǎn),所以點(diǎn)C到直線AB的距離為2d1

10、x24k2x2k220設(shè)AXi,yi,BX2,y2,xi4k2X22,X12k1X22k222k212kk21AB|,11k2x1x224x1x21SABC-|AB|2d22五"冷7k2k212k212Ki42k11一綜上,|ABC面積的最大值為J2.【點(diǎn)評】此題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、弦長公式和三角形面積公式等知識,涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想,并考查運(yùn)算求解水平和邏輯推理水平,屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求2得標(biāo)準(zhǔn)方程為y21;(2)利用分類與整合思想分當(dāng)AB的斜率不存在與存在兩種情24k況求解,在斜率存

11、在時(shí),由舍而不求法求得X1X22,X1x22k1一k21AB2222k21SAABC,再求得點(diǎn)C到直線AB的距離為2dV2AABC11一2AB2d222面積的最大值為.2.2kk21例3、點(diǎn)A(-4,4)、B(4,4),直線AM與BM相交于.點(diǎn)M且直線AM的斜率與直線BM的斜率之差為-2,點(diǎn)M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的軌跡方程；(2)Q為直線y=-1上的動(dòng)點(diǎn),過Q做曲線C的切線,切點(diǎn)分別為DE,求QDE的面積S的最小值.【思路引導(dǎo)】(I)設(shè)Mx,y,由題意得4-y42,化簡可得曲線C的方程為x24yx4x4x4；(n)設(shè)Qm.1,切線方程為y1kxm,與拋物線方程聯(lián)立互為2_x4kx4k

12、m10,由于直線與拋物線相切可得2k,k20,解得x2k,可切點(diǎn),由,一觸一1二0,利用韋達(dá)定理,得到QDQE,得到QDE為直角三角形,得出三角形面積的表達(dá)式,即可求解三角形的最小值.試題解析：(I)設(shè)MG,丫"由題意可得：匕:二二-2,x+4x4化為x2My.,曲線C的軌跡方程為第印y且(對上+).聯(lián)立'+1襁),化為4kx44(km+1)旬,Y=4y由于直線與拋物線相切可得即妙-E1-1R.,蛉-41CC44第=0,解得兌=2k.可得切點(diǎn)2kp好b由E-km-1=0.尸m,1.,破QDJ_QE.QDE為直角三角形,5=：|QD網(wǎng)QE|.令切點(diǎn)2k,到Q的距離為%貝ip.2

13、k-mJ評*1.=4Etn+m2+kmti.=4tJ-km-mp+t3cP+4-km+4=k4；.,.|QD|=J4+«?U+L,|QE|=#+疝片中,S=4+m,拖十行2(4+一用2當(dāng)m=0時(shí),即-1)凡XQDE的面積3取得最小值4.考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題；軌跡方程的求解.【點(diǎn)評】此題主要考查了直線與拋物線相切的性質(zhì)、切線方程、相互垂直的斜率之間的關(guān)系、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形的面積公式.、二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點(diǎn)的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的水平、推理與運(yùn)算水平,試題有一定的難度,屬于難題,此題的解答中把切線的方程代入拋物線的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,表示出三角

14、形的面積是解答問題的關(guān)鍵.221例4、橢圓C:x2y2r1(ab0)的焦距為2,離心率e為1.ab2(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；1 .一i11()過點(diǎn)p_,1作圓x2y一的切線,切點(diǎn)分別為M、N,直線MN與x軸交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作直線l交橢圓C于A、2 2B兩點(diǎn),點(diǎn)E關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為G,求AGAB面積的最大值.【思路引導(dǎo)】(n)1(I)由橢圓的焦點(diǎn)為2,離心率e為一,求出a,b,由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)萬程;2由題意,得O、M、P、n四點(diǎn)共圓,該圓的方程為5,得O16的方程為1、,一,直線MN的方程為x2y2X1,y1,BX2,y2,那么SGAB7lGEl|y1y2y2,從而SGAB最大,YiY2I

15、就最大,可設(shè)直線l的方程x2x4my2y3,得3m24y26my90,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式,能求出GAB的面積的最大值.試題解析：(I)由題意,2c2,解得cc1.一一1,由e一一,解得a2;a2所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為22xy1.435由題意,得aP、N四點(diǎn)共圓,該圓的方程為X+J5L6又圓.的方程為7+/=,.故直線曲的方程為2y-L=Of令y=仇得工=L即點(diǎn)E的坐標(biāo)為LD,那么點(diǎn)況關(guān)于尸軸的對稱點(diǎn)為皿-1.也】一比卜何一可,因此第最大,由題意直線1的斜率不為零,可設(shè)直線/的方程為工二四十I.X二陽+1y2得3曜上+4丁+6麗9-9=0,卜,-L3所以為十為=又直線l與橢圓C

16、交于不同的兩點(diǎn),那么_220,即6m363m240,mR,1SGAB2GFy1y2令tJm21,那么yy2t1,SGAB12m23m2,那么函數(shù)ft在2yy24y1y212t3t2112.m213m2441t3t上單調(diào)遞增,即當(dāng)t1時(shí),ft在1,上單調(diào)遞增,因此有ft所以6GAB3,當(dāng)m0時(shí)取等故GAB面積的最大值為3.【點(diǎn)評】此題主要考查待定系數(shù)法求橢圓的方程、韋達(dá)定理和三角形面積公式及單調(diào)性求最是幾何意義,特別是用圓錐值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函GAB面積的最大值的.數(shù)問題,然后根據(jù)函

17、數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、以及均值不等式法,此題2就是用的這種思路,利用函數(shù)單調(diào)法【擴(kuò)展鏈接】橢圓與雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積公式:2橢圓：設(shè)P為橢圓2ab20上一點(diǎn),且F1PF2S.'pFiF2b2tan-2(2)雙曲線：設(shè)P為雙曲線-S.'PFFF2b2tan21.橢圓C:2x2ab2b21a,b【同步訓(xùn)I練】1ab0的短軸長為0上一點(diǎn),且F1PF22,離心率為2與橢圓C交于A,舊兩點(diǎn),且線段AB的垂直平分線通過點(diǎn)1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;當(dāng),直線l：ykxm10,2AOBO為坐標(biāo)原點(diǎn)面積取最大值時(shí),求直線l的方程.【答案】11(2)y且x1或y且x1或

18、22【思路弓I導(dǎo)】由可得2b22,解出即可2設(shè)Ax1,y1,BX2,y2,聯(lián)立方程2,22abcyx2kxm,出韋達(dá)定S'AOB1,理,由Si'iAOB121ABid,ABx1x22i.4k22m2212k21k2求出表達(dá)式然后根據(jù)函數(shù)0m2.求得面積最大值從而確定直線方程二/亍試題解析：(D由可得2&=2f解得口Z=2；*=1=Aa+ca地橢圓已的標(biāo)準(zhǔn)方程為£十一二1y=lsx+M£2設(shè)君當(dāng),冷儲聯(lián)立行程Id2+y=LjL消去T得0+*/+皿皿+2jw正當(dāng)m-2=0.當(dāng)4網(wǎng)卻一病+1):>口,即2爐>蘇1時(shí)-4hn2m-2三十診=7再巧

19、二L+2A;2l+2k2所以空二,守;盤當(dāng)無=0時(shí)尸線段AB的垂直平分線顯然過點(diǎn)0-三由于酬,(-uo)5<u),所以*曰(o,i)1,一,一一時(shí),取到等2所以yiy2i22XiX2021,-,化簡整理得2kk2m22k212m,222k21m2,又原點(diǎn)|O到直線AB的距離為d.k2I期=Jl+K|萬-旬二誓+2所以閹心一而2M+L=2m且.vfh<2/那么2版r0<m<2,2所以當(dāng)股=L,即/時(shí),S.再取得最大值今.JujL綜上的最大值為率,止忸寸直線J二了=紅#+1或尸=一*忑+1或尸=士也222【點(diǎn)評】先根據(jù)定義列出相關(guān)等式,求解方程即可,對于直線與橢圓的綜合,要

20、熟悉弦長公式,|AB|71k2|x1X21,然后聯(lián)立方程寫出表達(dá)式,根據(jù)函數(shù)特征求出最值從而確定參數(shù)的值得出結(jié)果.在做此類題型時(shí)計(jì)算一定要認(rèn)真仔細(xì).222.拋物線E:y8x,圓M:X2y24,點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn),.為坐標(biāo)原點(diǎn),線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.(1)求拋物線C的方程；點(diǎn)Qx0,y0X05是曲線C上的點(diǎn),過點(diǎn)Q作圓M的兩條切線,分別與x軸交于A,B兩點(diǎn).求QAB面積的最小值【答案】Iy24x;n.2【思路引導(dǎo)】I由題意可得,設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)Px,y,表示出點(diǎn)N2x,2y,將其代入到拋物線方程中,即可得到拋物線C的方程；n由題意可設(shè)切線方程為：yy0kxx0,進(jìn)而得到切線與x軸的交點(diǎn)為

21、x0工,0,由圓心到切線方程的距離為半徑,得到kx24x0k24y02x0yoky240,由韋達(dá)定理,可得到Spab的函數(shù)關(guān)系式,利用函數(shù)的單調(diào)性可求出面積最小值.試題解析：I設(shè)Px,y,那么點(diǎn)N2x,2y在拋物線y28x上,所以4/=L6jc,即尺=4.所以曲線C的方程為；/=4x.口設(shè)切名昉程為：%=比戈一飛,令尸3解得了=%-學(xué),1k所以切線與上軸的交點(diǎn)為仆一學(xué)圖心0到切線的距更為d二窗:,一色k7k+L二丸+即-ay=4+i,整理得；考-4不*+4典-2/為用+4-4=6設(shè)兩條切線的斜率分別為即占,S；QABx02xOy04y02x0x04x0y.kix01x01x0122V.42x0

22、x01t2,記tx014,那么ft1I2ft在4,上單增,ft412-2544.、QAB面積的最小值為252考查了直線【點(diǎn)評】此題主要考查以拋物線與圓的方程為載體,考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,與圓相切問題,切線的性質(zhì),同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的最值問題,綜合性較強(qiáng),正確利用條件轉(zhuǎn)化成一元二次方程,再利用韋達(dá)定理即可求出面積的函數(shù)表達(dá)式,再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出最值.3.橢圓22-xyG:a2b21(ab0)的長軸左焦點(diǎn)F1,0,假設(shè)過點(diǎn)B2b,0的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn).求證:(2)(3)MFBNFB求FMN面積S的最大值.【答案】112見解析3)【思路弓I導(dǎo)】1由橢圓幾何意義得2a2&a

23、mp;,2c2,解得2b2(2)即證:MXi,必,NX2,y2MN直線方程為ykx2,即證2X1XiX21立直線方程與橢圓方程,代入化簡即證3利用三角形面積公式得利用MN直線方程得S_|k|x1X2I,利用弦長式可得一元函數(shù)S812k2k22212k,利用換元可化為一元次函數(shù)：2c1312一一t48試題解析,門；桐園三十?二的長軸長為2.,焦距為2,即22二2收,以二2ab,魴二2,二楣圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為手+3?=1.(2)ZQAB+XPAB=ut即證：kj4ic0超山網(wǎng)直線方程為尸=雙工+2,代入橢圖方程得:1十證十8肥工+筋工2=0茸中白A.所以解V設(shè).氏方/3/3那么第十靛,空kMFkNFy

24、1X11y2X21XiX21Xi1X2x21-0(3)1.y22k812k2k2當(dāng)k2XiX212k2212k2AY21一(滿足k61一一一2上,所以S的最大值為【點(diǎn)評】解析幾何中的最值是高考的熱點(diǎn),在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn),求解此類問題的一般思路為在深刻熟悉運(yùn)動(dòng)變化的過程之中,抓住函數(shù)關(guān)系,將目標(biāo)量表示為一個(gè)或者多個(gè)變量的函數(shù),然后借助于函數(shù)最值的探求來使問題得以解決1ab0的離心率為3,F是橢圓的焦點(diǎn),2224.點(diǎn)a0,2,橢圓E:斗為ab直線AF的斜率為23,0為坐標(biāo)原點(diǎn).31求橢圓E的方程;2設(shè)過點(diǎn)A的直線l與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求直線l的方程.2【答案

25、】1E:47x2,y,、7x2.22【思路弓I導(dǎo)】(1)設(shè)出F,由直線AF的斜率為,求得c,結(jié)合離心'率求得a,再由隱含條件求得b,那么橢圓方程可求；(2)當(dāng)l,x軸時(shí),不合題意；當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l:y=kx-2,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,由判別式大于.求得k的范圍,再由弦長公式求得|PQ|,由點(diǎn)到直線的距離公式求得.到l的距離,代入三角形面積公式,化簡后換元,利用根本不等式求得最值,進(jìn)一步求出k值,那么直線方程可求.試也解析；(1)設(shè)產(chǎn)(q.),2=空,解得c=又上=史二口=2步=1,一橢圓不二回+/=L£3a24y二丘一2當(dāng)J_L兀軸時(shí)j不合題竟j當(dāng)直線1招率存在

26、時(shí),設(shè)直線/力=辰-2.F(孫(孫效),聯(lián)立,得(1十4戶)dl詆+12=0,由A=L6(4*3卜0,得/尸,即兀一手或；近16A12而當(dāng)十叫=時(shí),西西=宙從而|理上師斤斤*=甘膈暮=4看,又點(diǎn).到直線PC的距禽4=11二9/乜的面積£=5詞理|=11設(shè)版丐=和那么八口,4dL44斤-5=技1=3工;=1,當(dāng)且僅當(dāng).即無:上當(dāng)時(shí)等號成立,且AaO,此時(shí)產(chǎn)十4442入上一=一在一225.在平面直角坐標(biāo)系中,A2,0,B2,0,Px,y滿足PB216,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為Ci,從Ci上一點(diǎn)Q向圓C2:x2y2且MQN60：.2rr0作兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N,(1)求點(diǎn)P的軌跡方程和r；(2

27、)當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限時(shí),連接切點(diǎn)M,N,分別交x,y軸于點(diǎn)C,D,求OCD面積最小時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】1x2y24,r1；2&,g.【思路引導(dǎo)】1根據(jù)pA2PB216,由兩點(diǎn)坐標(biāo)運(yùn)算即可解得;2寫出切線QM,QN的方程,解得與x軸的交點(diǎn)|C,與y軸的交點(diǎn)|D的坐標(biāo),寫出面積公式進(jìn)而求解即可.試題解析：1由題知x22y2x22y216,整理得x2y24,點(diǎn)P的軌跡方程是x2y24,'在RtOMQ中,MQO30；：|OQ|2,|OM|2sin301,即圓C的半徑r1|.設(shè)點(diǎn)Qx0,y0,Mx1,y1,Nx2,y2x00,y00；QM,QN為圓C2：x2y21的切線,二QM'方

28、程為再而+=LQV方程為研+*?尸=1j丁.息在QAf'ON上,二直線方程為百戶十了內(nèi)=1,此時(shí)MV與x軸的交點(diǎn)C坐標(biāo)為：內(nèi)與軸的交點(diǎn)口坐標(biāo)為伍:心二1LL當(dāng)=應(yīng)時(shí),必比D取最大值:,此時(shí)點(diǎn)Q坐標(biāo)為卜5,也.226.如圖,橢圓E:A、B為橢圓的左右-yy21(ab0)的離心率為ab頂點(diǎn),焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,P、Q為橢圓E上異于A、B的兩點(diǎn),且直線BQ的斜率等于直線AP斜率的2倍.(I)求證：直線BP與直線BQ的斜率乘積為定值;(n)求三角形APQ的面積S的最大值.【答案】(I)見解析；(n)_.【思路引導(dǎo)】(I)由橢圓的方程可得點(diǎn)P,A,B的坐標(biāo),利用兩點(diǎn)式求直線斜率的方法可求出

29、BP,BQ的斜16712率乘積為定值-1；(n)當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí),SAPQ一14-t-t2,9v22八2,3218832一0tt1,SAPQ,當(dāng)直線lPQ的斜率k不存在時(shí),SAPQ,故92339綜合Saapq的最大值為絲.9試題解析:口當(dāng)直線尸Q的斜率存在時(shí)設(shè);>=區(qū)+3與尤軸的交點(diǎn)為M代入橢圓方程得+相設(shè)+2fr'-4=0,、一4的2b£-+設(shè)p孫比,那么均m那么再+通=定石,環(huán)=正+l,BP-BQ=0f得打內(nèi)十可勺一工耳+2+4=U,得爐+L巧馬+腦一2巧+/+4+/=04無"+B肪+3/=0,得分=-2k或b=-±k,32y=fct2A:

30、或y=kxk,所以過定點(diǎn)2.或住q,點(diǎn)2,0為右端點(diǎn),舍去,SAPQSAPMSAQMOMyy28k128k22b24163,.2k2129k216k29222k11222k2S一°APQ16947t1t2220tt21,S32SAPQ八9當(dāng)直線Ipq的斜率k不存在時(shí),PXi,yi,Xi,所以SAPQ2y1y1x12x12.一,32的最大值為32,解得X1yiAPQ3297.橢圓C:t4lab0經(jīng)過點(diǎn)P1,離心率e吏.ab22(i)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)設(shè)過點(diǎn)E0,2的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn),求OPQ的面積的最大值.2【答案】(1)2y21；(2)1.4【思路引導(dǎo)】(I)運(yùn)

31、用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程,以及a,b,c的關(guān)系,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程；(n)當(dāng)直線l的斜率不存在,不合題意,可設(shè)直線l:y=kx-2,P(xi,yi),Q(X2,y2),聯(lián)立橢圓方程,消去y,得到x的方程,運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理,以及弦長公式,點(diǎn)到直線的距離公式,由三角形的面積公式,運(yùn)用換元法和根本不等式即可得到所求最大值.試題解析：(I由點(diǎn)PL在桶圖上得±+三又g=中的以£=型®£由得,=3.門*=4力*=1F故橢圖.的標(biāo)準(zhǔn)方程為+j2=14(II)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意,故設(shè)l:y=kx2,Pxi,yi,QX2,y24k21x

32、216kx120.2將ykx2代入y21得414*4k23SOPQ=2dPQ4k21設(shè)“k23t,那么t0,SOPQ4-,OPQt24t4t由于t44,當(dāng)且僅當(dāng)t2,即kYZ時(shí)等號成立,且滿足0.t2OPQ的面積最大值為18.如圖,拋物線,I："的焦點(diǎn)在拋物線C2:yx21上,點(diǎn)尸是拋物線G上的動(dòng)點(diǎn).i求拋物線q的方程及其準(zhǔn)線方程;n過點(diǎn)P作拋物線C；的兩條切線,A、|B分別為兩個(gè)切點(diǎn),求|PAB面積的最小值._2,【答案】ICi的方程為x4y其準(zhǔn)線方程為y1;n2.【思路弓I導(dǎo)】I由題意拋物線Ci的焦點(diǎn)為拋物線C2的頂點(diǎn)0,1,由此算出口p2,從而得到拋物線C1的方程,得到C1的準(zhǔn)

33、線方程;II設(shè)P2t,t2,Axi,yi,BX2,y2那么可得切線PA,PB的方程,進(jìn)而可得所以直線AB的方程為4txy2t20.2聯(lián)立y4tx2t2yx1由韋達(dá)定理得x1x24tKx2t21進(jìn)而求得點(diǎn)|P|到直線AB的距離d,可求得|AB|Vl16t2Vl2t24.6t2+2116t2那么|PAB的面積S取最小值為2.即1.222-S1|AB|d23t1J3t123t12所以當(dāng)t0PAB面積的最小值為2.試題解析：IG的萬程為了=9其準(zhǔn)線方程為y=-l.口設(shè)以24產(chǎn),/巧gjJ,那么切線網(wǎng)的方程：產(chǎn)一比二2/IX不,即=24+光乂m二才十11所以/=2巧工+2兇,同理切線網(wǎng)的方程為尸=2巧x

34、+2/小又融和咫都過P點(diǎn),所以tai一弘十二一/=04%一乃+2產(chǎn)=0所以直線A£的方程為4ZX-J+2-?=0.聯(lián)立/=4;2-產(chǎn)得人也+/_=/所以引力鉆y=jr+1=r-L所以|AJ|=J1+L83區(qū)一引=J1+,12產(chǎn)+4.8?-?+2-?點(diǎn)尸到直跳HE的距離d=71+16?6?+2J+1&2所以bPAB的面積S=-ASd=2(3?+1)73/+1=2(3?+甲2所以當(dāng)才=0時(shí),5取最小值為2.即51£面積的最小值為2.9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓G的中央為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為Fi(-1,0),離心率e一五e(cuò).2(1)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線li：

35、y=kx+mi與橢圓G交于A,B兩點(diǎn),直線2：y=kx+mb(mwm?)與橢圓G交于C,D兩點(diǎn),且|AB|=|CD|,如下圖.證實(shí)：m+m=0;求四邊形ABCD的面積S的最大值.2_【答案】(1)y21(2)見解析2后2【思路引導(dǎo)】(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率可求得a,b,c,即可求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)利用弦長公式及韋達(dá)定理,表示出由AB,CD,由ABCD得到m1m20；四邊形ABCD是平行四邊形,設(shè)AB,CD間的距離d盤,由m1m20得Jk22一22:2km11m1sABd2及/Tk也后21Jm14>/222272,12k24T712k即可.22r.yt912試題解析r1設(shè)橢圓g的方程為a匕<>b>o'左焦點(diǎn)為瓦1J0"離心率ba=aa-ca=iJ42二橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為；2Y-2設(shè)AX1,y.,BX2,y2,C尸人+叫證實(shí)：由#十2,=2消去丫得二8已爐一叫410?一2Tk叫2ml2X1+X2=l+2k,X1X2=l+2k；e=上.c=l,a=v1X3,y3,DX4,y41+2k2X2+4kmiX+2m2-2=0/J2k-m1d返|AB|=1：'J=2.同理|CD|=2d21十2k,j小kj+1j-p-V14k2廣口+k由|AB|=|CD|得2V2&