六年下冊奧數(shù)試題-質(zhì)數(shù)與合數(shù)全國通用(含答案)

1、第3講質(zhì)數(shù)與合數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)1. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)(1) 一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，再不能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素數(shù))。(2) 一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它本身，還能被其他自然數(shù)整除，那么它就叫做合數(shù)。例如：4、6、8、10、12、14,都是合數(shù)。在100以內(nèi)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97共25個質(zhì)數(shù)。2. 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)(1) 如果一個質(zhì)數(shù)是某個數(shù)的約數(shù)，那么就是說這個質(zhì)數(shù)是這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。(2) 把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例

2、如，把42分解質(zhì)因數(shù)，即是42=2X3X7。其中2、3、7叫做42的質(zhì)因數(shù)。又如，50=2X5X5,2、5都叫做50的質(zhì)因數(shù)。重點難點要注意以下幾條：(1) 1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。(2) 關(guān)于質(zhì)數(shù)1) 質(zhì)數(shù)有無限多個。2) 最小的質(zhì)數(shù)是2。3) 在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，其余的質(zhì)數(shù)全是奇數(shù)。4) 每個質(zhì)數(shù)只有兩個約數(shù)：1和它本身。(3) 關(guān)于合數(shù)1) 合數(shù)有無限多個。2) 最小的合數(shù)是4。3) 每個合數(shù)至少有三個約數(shù)：1、它本身、其他約數(shù)。例如，8的約數(shù)除1和8外，還有2、4,所以8是合數(shù)。學(xué)法指導(dǎo)(1) 對比一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例1方法的優(yōu)越性。判別269,用2至268中所

3、有的數(shù)試除，要除267個數(shù)；用2至268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個數(shù)；而用本題的方法，只要除6個數(shù)。(2) 將質(zhì)數(shù)按照從小到大的順序逐一去除一個數(shù)，來判斷這個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法，有弊病。如果一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，在我們試除的過程式中就永遠(yuǎn)找不到另一個質(zhì)數(shù)是它的約數(shù)。那么，試除的數(shù)有什么范圍呢？能不能使試除的數(shù)少一點呢？請同學(xué)們學(xué)習(xí)例1。(3) 用例1的方法判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，有著它的優(yōu)越性，它可以明確試除的質(zhì)數(shù)范圍，使試除的數(shù)的量進(jìn)一步減少。例1判斷269、437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。思路剖析對于一個不太大的數(shù)N,要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數(shù)再寫出k以內(nèi)的所有

4、質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N，那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個能器N,那么N是合數(shù)。解答因為勇9。17以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個位數(shù)是9,所以269不能被2、5整除；2+6+9=17,所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個質(zhì)數(shù)都不能整除269,所以269是質(zhì)數(shù)。因為437<21七441。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19。容易判斷437不能被2、3、5、7、11整除，用13、17、19試除437,得到437+19=23,所以437是合數(shù)。例2判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？思路剖析按照例1的

5、方法判別這個13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，當(dāng)然是很麻煩的事，能不能想出別的辦法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€大于1的整數(shù)的乘積，那么這個數(shù)是合數(shù)。解答根據(jù)整數(shù)的意義，這個13位數(shù)可以寫成：1111112111111=1111111000000+1111111=1111111X(1000000+1)=1111111X1000001由上式可知111111和1000001都能整除1111112111111所以1111112111111是合數(shù)。例3數(shù)a是質(zhì)數(shù)，且a+10、a+14也都是質(zhì)數(shù)，數(shù)a是多少？思路剖析任何自然數(shù)除以3的余數(shù)只有3種情況：余1、余2、余0(即能被3整除)。因為10除以3余

6、1,14除以3余2。所以a不能是被3除余1的數(shù)，否則a+14能被3整除，就不是質(zhì)數(shù)了。a也不能是被3除余2的數(shù)，否則a+10能被3整除，也不是質(zhì)數(shù)。因此a只能是能被3整除的數(shù)，a本身又是質(zhì)數(shù)，因此a只能是3。解答由上述分析可知數(shù)a只能是3。點津本題分析中有這樣一條規(guī)律：如果兩個數(shù)除以3的余數(shù)相加的和能被3整除，那么這兩個數(shù)的和也能被3整除。例4三個質(zhì)數(shù)的和是80,這三個質(zhì)數(shù)的積最大是多少？思路剖析由于三個數(shù)的和是偶數(shù)，所以這三個數(shù)中必有一個是偶數(shù)，在質(zhì)數(shù)中只有2是偶數(shù)，所以三個數(shù)中一定有2。另兩個質(zhì)數(shù)的和是78,要使乘積盡可能大，那么這兩個質(zhì)數(shù)的差值應(yīng)盡可能小。顯然，和是78的兩個質(zhì)數(shù)中，以4

7、1與37的差最小，即這兩個數(shù)的積最大。解答三個質(zhì)數(shù)的積是2X37X41=3034例5找出1100這100個自然數(shù)中所有的質(zhì)數(shù)。思路剖析要找出1100這100個自然數(shù)中所有的質(zhì)數(shù)，可以依次把這100個自然數(shù)的每一個數(shù)的約數(shù)求出來，找出其中只有兩個約數(shù)的數(shù)。不過這種方法顯得笨拙，可以用淘汰法，也就是首先把比2大的所有2的倍數(shù)全部劃去，然后在余下的數(shù)當(dāng)中劃去所有比3大且是3的倍數(shù)的自然數(shù)，接下來再把余下的數(shù)當(dāng)中比5大且是5的倍數(shù)的自然數(shù)全部劃去，如此進(jìn)行下去，即可得到100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。解答100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)為：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、47、53、5

8、9、61、67、71、73、79、83、89、97。點津想一想，在上面篩去100以內(nèi)的合數(shù)的過程中，為什么最后篩去的是大于7的倍數(shù)，而不再篩去大于11的倍數(shù)，篩去大于13的倍數(shù)呢？事實上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中，由于100=10X10,所以100以內(nèi)所有合數(shù)只有大于10的因數(shù)，必然就有一個小于10的因數(shù)。也就是說，100以內(nèi)的任何一個合數(shù)一定能被10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)整除，而10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)只有2、3、5、7這4個，所以最后篩去大于7的倍數(shù)就可以了。例6判斷391、123456789是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)。思路剖析在自然數(shù)中，除了1以外的數(shù)，若不是質(zhì)數(shù)，則必是合數(shù)，二者必居其一。要判斷一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合

9、數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義，只要找到一個既不是1又不是這個數(shù)的本身的約數(shù)即可。一般方法只要把2、3、5、7、這些質(zhì)數(shù)按由小到大的次序，逐一去除所要判斷的那個數(shù)；如果有某個質(zhì)數(shù)恰好是它的約數(shù)，則所給的自然數(shù)為合數(shù)；如果這樣的質(zhì)數(shù)不存在，則所給的自然數(shù)為質(zhì)數(shù)。解答將質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、這些質(zhì)數(shù)逐一去除391，發(fā)現(xiàn)391能被17整除，所以391是合數(shù)。將質(zhì)數(shù)2、3、5、7、11、這些質(zhì)數(shù)逐一去除123456789,發(fā)現(xiàn)123456789是3的倍數(shù)，所以123456789是合數(shù)。另外，根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，也可以證明123456789是3的倍數(shù)，故123456789是合數(shù)。例7判斷439、943這兩

10、個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。解答因為2尸=如亦439,翌=441439所以找到了大于439且接近439的平方數(shù)2好。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、15、17、19。根據(jù)整除的特征，很容易判斷出439不能被2、3、5、7、11整除；用13、17、19試除439，均不能整除。所以439是質(zhì)數(shù)。因為3護(hù)=900<943,31961>943所以找到了大于943且接近943的平方數(shù)31'。31以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、共十個。很容易推斷出2、3、5、7、11均不能整除943;再用13、17、19、23、29試除943,發(fā)現(xiàn)943能被23整除

11、。所以943是合數(shù)。例8m為一個質(zhì)數(shù)，且m+16、m+20也均是質(zhì)數(shù)，求m是多少？思路剖析我們知道，任何自然數(shù)被3除只有三種情況：即被3整除，被3除后余1和被3除后余2,故，我們作如下討論：(1) m不能是被3除余1的數(shù)，因為若m被3除1,則m+20就能被3整除，就不是質(zhì)數(shù)了。(2) m也不能是被3整除余2的數(shù)，因為若m被3整除余2,則m+16就能被3整除，則不是質(zhì)數(shù)，所以m只可能是被3整除的數(shù)，且又要求為質(zhì)數(shù)，因此m=3。解答設(shè)q為m被3除的商，若m=3q+1,則3整除(m+20)若m=3q+2，貝U3整除m+16所以m=3q,且m為質(zhì)數(shù)，所以m取3。答：m為3。例9有人說：“任何7個連續(xù)自

12、然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”，請你舉一個例子，說明這句話是錯的。解答解法一：題目要求我們具體找出7個連續(xù)的合數(shù)。中間夾著7個連續(xù)合數(shù)的兩個質(zhì)數(shù)，其差一定大于7,所以只要找到差大于7的兩個相鄰質(zhì)數(shù)即可。質(zhì)數(shù)89與97相鄰，它們的差97-89=8乙所以89與97之間的七個連續(xù)自然數(shù)90、91、92、93、94、95、96全是合數(shù)，沒有質(zhì)數(shù)?？梢姟叭魏?個連續(xù)自然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”這句話是錯誤的。解法二：任取7個連續(xù)的自然數(shù)，找出它們的一個公倍數(shù)，給它們各自加上這個公倍數(shù)，所得7個新數(shù)仍是連續(xù)的，并且原來的7個數(shù)分別是這7個數(shù)的約數(shù)，所以7個新數(shù)全是合數(shù)。任取7個連續(xù)的自然數(shù)，比如2、3、4、5、6、7、8,8

13、40是它們的一個公倍數(shù)，給2、3、4、5、6、7、8每一個都加上840得到842、843、844、845、846、847、848,這7個連續(xù)自然數(shù)分別有約數(shù)2、3、4、5、6、7、8,可見它們都是合數(shù)，沒有一個是質(zhì)數(shù)，因此“任何7個連續(xù)自然數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”這句話是錯誤的。發(fā)散思維訓(xùn)練1. 連續(xù)九個自然數(shù)中至多有幾個質(zhì)數(shù)？為什么？2. 975X935X972X(),要使這個連乘積的最末4個數(shù)字都是0,在括號內(nèi)最小應(yīng)填什么數(shù)？3. 把33拆成若干個不同質(zhì)數(shù)之和，如果要使這些質(zhì)數(shù)的積最大，問這幾個質(zhì)數(shù)分別是多少？4. 用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字組成質(zhì)數(shù)，如果每個數(shù)字都要用到，并且

14、只能用1次，那么這九個數(shù)字最多能組成幾個質(zhì)數(shù)。5. 有三張卡片，在它們上面各寫著一個數(shù)字7、8、9,從中抽出一張、二張、三張,接任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)，請將其中的質(zhì)數(shù)寫出來。6. 兩個質(zhì)數(shù)的和是50,求這兩個質(zhì)數(shù)乘積的最大值是多少。5的倍數(shù)的乘積。7.2000年的哪幾天，年數(shù)、月數(shù)和日數(shù)的乘積恰好等于三個連續(xù)的參考答案發(fā)散思維訓(xùn)練1. 解：如果這連續(xù)的九個自然數(shù)在1與20之間，那么顯然其中最多有4個質(zhì)數(shù)（如：1至9中有4個質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個自然數(shù)中最小的不小于3,那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個數(shù)最多有5個。這5個奇數(shù)中必只有一個數(shù)其

15、個位數(shù)是5,因而5是這個奇數(shù)的一個因數(shù)，即這個奇數(shù)是合數(shù)。這樣，至多另4個奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個自然數(shù)中至多有4個質(zhì)數(shù)。2. 解：要使連乘積最末4個數(shù)字都是0,連乘積應(yīng)是10000的倍數(shù)，即要連乘積的因數(shù)中含4個2,4個5,因為2X2X2X2X5X5X5X5=10000975=5X5X39,935=5X187,972=2X2X243;其中已有兩個2和三個5,因此，只需要再乘上兩個2和一個5,即2X2X5=20就可以了。故在括號內(nèi)最小應(yīng)填20。3. 解：首先假設(shè)可以拆成五個不同質(zhì)數(shù)之和（分成六個或六個以上質(zhì)數(shù)之和不可能）：33是奇數(shù)，因此五個質(zhì)數(shù)中不能有2（否則和是偶數(shù)），取最小連續(xù)五

16、個奇質(zhì)數(shù)3、5、7、11、13的和是39,超過33,所以分成五個是不可能的。假設(shè)33可以分成四個質(zhì)數(shù)之和，33是奇數(shù)，因此四個數(shù)中一定有一個偶數(shù)2,即其余三個的和是31,顯然可以找出其余三個分別是：3、5、23;3、11、17;7、11、13;5、7、19。在這些三個數(shù)的乘積中最大的是7X11X13=1001。假設(shè)33可分成三個質(zhì)數(shù)和，只可能是3、13、17;3、11、19;3、7、23;5、l、17。乘積均小于2X7X11X13,33若分成為兩個質(zhì)數(shù)之和，只可能是2和31,乘積僅為62,故應(yīng)將33寫成四個數(shù)2、7、11、13的和時，它們的積最大。答：這幾個質(zhì)數(shù)分別是2、7、11、13。4.

17、解：每個數(shù)字都要用到且只能用1次，同時又要組成的質(zhì)數(shù)最多。我們在組成質(zhì)數(shù)時，盡可能地將合數(shù)4、6、8、9和最小自然數(shù)1組成兩位數(shù)，同時數(shù)字8和9可以組成質(zhì)數(shù)89,另外，一位質(zhì)數(shù)不能是2、3、5、7四個，不然數(shù)字l、4、6、8、9無法組成兩位質(zhì)數(shù)，那么當(dāng)一位質(zhì)數(shù)為3個時，兩位質(zhì)數(shù)也為3個（例如：2、5、7、43、61、89或2、3、5、47、61、89）。答：這九個數(shù)字最多可組成6個質(zhì)數(shù)。5. 解：數(shù)字卡片9倒過來變成6,而7+8+9=24,6+7+8=21,可知抽三張卡片時，無論按什么順序排列的三位數(shù)都能被3整除，所以它們都不是質(zhì)數(shù)。從中任取=張卡片，按不同的順序排列的兩位數(shù)中有97、67、79、89是質(zhì)數(shù)；從中任意抽取一張卡片得到的一位數(shù)中只有7是質(zhì)數(shù)。所以，所求的質(zhì)數(shù)有7、97、79、89、67五個。6. 解：把50表示為兩個質(zhì)數(shù)的和，共有四種形式：50=47+3=43+7=37+13=31+19因為31X19=589>37X13=481>43X7=301>47X3=141所以所求的最大值是589。7. 解：因為20DQ=-必,它是有三個5的乘積的倍數(shù)，只需使另外三個數(shù)