立體幾何中的最值問題答案

1、.資料.立體幾何中的景值問題一、媾段長吱景短或就面用長景小問題例1.正三枚蕓ABCABG中，各枚長灼為2,M為AA中點，N為BC的中點，則在枚柱的表面上成點M列點N的景殖距再是多少?并求七(1)從刨而f!|N,如圖1,沿枚柱的刨枕AA】勇開，并展開,則MN=JAM2+AN2=J+（2+I）2=面(2)從底而利N點，滔枚枝的AC,BC勇開，展開，如圖2.則MN=AMz+AN2-2AM-ANcos2(r=+(+2xlxVJx：=74+V3*.J4+V5、而.MNmn=4+后例2.如圖，正方形ABCD、ABEF的遮長那是1,而且平面ABCD、ABEF互相基直。點M在AC上移動，點N在BF上移動，若C

2、MBN。(0。龍).()求MN的長；(2)布。為何依射，MN的長景??；(3)擊MN長景小時，求而解析:資料.MNA與面MNB所成的二面角。的大小。解析：flj作MP/AB支BC于皮P,NQ/AB支BE于皮Q,逾接PQ,依題念可得MP0NQ,且MP-NQ,即MNQP是平行四迪形。. MN=PQ,由巳知，CM-BN-a,CB-AB-BE-l,AC=BF2,%余罕=*,障CP=BQ=專, MN=PQ=J(1CP)2+BQ2=J(I_*2+(*)2=,_亨)2+扣“l(fā)a2+b2-ab./.t0=45即CD*ZACB的平分端時，AB有呆小值，景小值為yja2+b2-ab.例6.正三枚錐A-BCD,底而也

3、長務(wù)a,何枚為2a,過點B作與倒枚AC、AD犒支的奧面，在這樣的羯面三角形中，求（1）用長的景小值；（2）周長為景小射*而叔的值，（3）用這周長景小時的牝面功得的4、三枚傲的體積與三枚像體瓶之比.B-矯析：沿倒枚AB把正三枚錐的創(chuàng)面苴開展成平.AABE絲ABAF,AAE=AF,AC=AD,LBBCD,.Z1=Z2=Z3,/-BE=BC=a,同理BF=BD=a.vAFDB,SAADB,二四，=C=L,. DF=ia,AF=-a.KVAAEFsAACD,.BBABa2a222=a+：a+a=旦.找j面三角形的周長的呆小值為旦a.444(2)如圖2,. ABEF等糜，取EF中點G,連BG,ftlBG

4、1EF./.BG=JBE2-EG2=Ju2-(-a)2=a.，.SABEF=EF BG=而圖.如圖1,當(dāng)用長景小時，EF在立嫻BB上,.資料.3、岳3序2-a-a=a.4864VA-BCD=VB-ACD，而三核錐BAEF,三枚稚BACD的西小離相國，所以它們體貌之出于它們的兩底面瓶之比，即4-”=A_EF_9SMCI)CD16評析把曲面上的景短珞線問題刑用展開圖轉(zhuǎn)化為平面上兩點聞花育的問題，從而使問題得剁解決，這是求曲面上景短路端的一種常用方法.本題中的四面體，其中任何一個面卻可以做為底面，因而它可有四個痛面和與之對應(yīng)的四條嵩，在解決有關(guān)三枚稚體女題射，置要靈活運用這個柱質(zhì).二、面瓶景值問題例

5、7.如圖1所示，地長AC=3,BC=4,AB=5的三角形簡易逢陽栩，其A、B是地面上南北方向兩個定點，正曲方向出的大線與地而成30角，次何：述陽栩ABC與地面成多大角度時，才能保證所延影面ABD面部景火？矯析：易知，AABC為直角三角形，由C點引AB的垂錢p垂足為Q,則應(yīng)有DQ為CQ在他面上的辨封影，且AB率直于平面CQD,.資料.如圖2所示.因太與地面成30角，所以ZCDQ=30,又知在ACQD中，CQ=,由正孩定理，tw/為夜面ABD的面新景火，需QD呆大，這只有務(wù)ZQCD=90對才可達(dá)列，從而ZCQD=60故當(dāng)延陽栩ABC與地面成60角射，才能保證所通影面ABD面蘇景大.例8.在三枚雄A

6、BCD中，AABC和ABCD都是也長為a的正三角形，二面角ABCD=,問。為何值時，三板錐的會面耘呆太。解析：SABAC=SABCD=七&2為*雖，所以三枚錐會而敘的大小取決于SAABD與SAACD的大小，由于AABD=AACD,所以只求SACD何時而積取景大值即可。v$AACD=|a$inZACD,所以ZACD=90射面積景大，問題得矯。解如圖，取BC中點M,4LAM.DM,.AABC和ABCD卻是正CQSS3。即QDginZQCD.資料.三角形，.ZAMD是二面角A BGD的平面角.ZAMD=。，又 LAABD絲AACD,且當(dāng)ZACD=90射，AACD和AABD血瓶景火,L.1此AD=2a,在AAMD中，由余弦定建cosZAMD=-，/.f=Tt-arccos|Jti,三枚錐A-BCD的全面積景火。點評本題將求枚錐金面積的景大值，舞化為求AACD面積的景大值，河接求得 8 角。例9、一個回錐拍奧面的頂角為120,母線為1,過頂點、作固碓的截,而中，景大現(xiàn)面面女為o分析：本題是離面問題中的若見題，*錐的物就而頂角旻a,17*/C4、一/-sincrae(0,)母線長為I,附奧而而此Smax：2，本題輸肉而頂角事次，罰122為