2021年高考數(shù)學(xué)(文)一輪復(fù)習(xí)講義第2章21第1課時(shí)函數(shù)及其表示

1、§2.1函數(shù)及其表示最新考綱考情考向分析1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過(guò)三段).以根本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的表示法、定義域；分段函數(shù)以及函數(shù)建模是高考熱點(diǎn)，題型以選擇、填空題為主，中等難度.1函數(shù)函數(shù)兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f (x)和它對(duì)應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)函數(shù)記法函數(shù)yf&#

2、160;(x)，xA2.函數(shù)的三要素(1)定義域在函數(shù)yf (x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域(2)值域與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f (x)|xA叫做函數(shù)的值域(3)對(duì)應(yīng)關(guān)系f：AB.3函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法4分段函數(shù)假設(shè)函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)概念方法微思考1分段函數(shù)f (x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系用兩個(gè)式子表示，那么f (x)是兩個(gè)函數(shù)嗎提示分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)2請(qǐng)你概括一下求函數(shù)定義域的類型提示(1)分式型；(2)根式型

3、；(3)指數(shù)式型、對(duì)數(shù)式型；(4)三角函數(shù)型3請(qǐng)思考以下常見(jiàn)函數(shù)的值域：(1)ykxb(k0)的值域是R.(2)yax2bxc(a0)的值域：當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)?；?dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?(3)y(k0)的值域是y|y0(4)yax(a>0且a1)的值域是(0，)(5)ylogax(a>0且a1)的值域是R.題組一思考辨析1判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“或“×)(1)假設(shè)AR，Bx|x>0，f：xy|x|，其對(duì)應(yīng)是從A到B的函數(shù)(×)(2)假設(shè)兩個(gè)函數(shù)的定義域與值域相同，那么這兩個(gè)函數(shù)相等(×)(3)f (x)5(xR)，那

4、么f (x2)25.(×)(4)函數(shù)f (x)的圖象與直線x1最多有一個(gè)交點(diǎn)()題組二教材改編2以下屬于函數(shù)的有_(填序號(hào))y±；y2x1；y；yx22(xN)答案3函數(shù)yf (x)的圖象如下列圖，那么，f (x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是_答案3,02,31,51,2)(4,5題組三易錯(cuò)自糾4以下列圖形中可以表示以Mx|0x1為定義域，Ny|0y1為值域的函數(shù)的圖象是()答案C解析A選項(xiàng)中的值域不滿足，B選項(xiàng)中的定義域不滿足，D選項(xiàng)不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)的定義可知選項(xiàng)C正確5函數(shù)y·的

5、定義域是_答案2，)6f ()x1，那么f (x)_.答案x21(x0)解析令t，那么t0，xt2，所以f (t)t21(t0)，即f (x)x21(x0)7(2022·湖北黃石一中模擬)函數(shù)f (x)那么f (f (0)的值為_(kāi)；方程f (x)1的解是_答案10或1解析f (0)1，f (f (0)f (1)1.當(dāng)x0時(shí)，f (x)x11，解得x0；當(dāng)x>0時(shí)，f (x)2x11，解得x1.第1課時(shí)函數(shù)的概念及表示法函數(shù)的概念1以下各曲線

6、表示的y與x之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是()答案C2以下五組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是_(填序號(hào))f (x)x1與g(x)；f (x)lgx2與g(x)2lgx；f (x)x2，xR與g(x)x2，xZ；f (u)與f (v)；yf (x)與yf (x1)答案3Ax|xn2，nN，給出以下關(guān)系式：f (x)x；f (x)x2；f (x)x3；f (x)x4；f (x)x21，其中能夠表示函數(shù)f：AA的是_答案解析對(duì)于，當(dāng)x1時(shí)，x21A，故錯(cuò)誤，由函數(shù)定義可知均正確思維升華

7、(1)函數(shù)的定義要求第一個(gè)數(shù)集A中的任何一個(gè)元素在第二個(gè)數(shù)集B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，即可以“多對(duì)一，不能“一對(duì)多，而B(niǎo)中有可能存在與A中元素不對(duì)應(yīng)的元素(2)構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，那么值域一定相同求函數(shù)的解析式例1求以下函數(shù)的解析式：(1)f (1sinx)cos2x，求f (x)的解析式；(2)fx4，求f (x)的解析式；(3)f (x)是一次函數(shù)且3f (x1)2f (x1)2x17，求f (x)的解析式；(4)定義在(1,1)內(nèi)的函數(shù)f (x)滿足2f (x)f 

8、;(x)lg(x1)，求f (x)的解析式解(1)(換元法)設(shè)1sinxt，t0,2，那么sinx1t，f (1sinx)cos2x1sin2x，f (t)1(1t)22tt2，t0,2即f (x)2xx2，x0,2(2)(配湊法)f22，f (x)x22，x2，)(3)(待定系數(shù)法)f (x)是一次函數(shù)，可設(shè)f (x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17.即ax(5ab)2x17，解得f (x)的解析式是f (x)2x7.(4)(消去法)當(dāng)x(1,1)時(shí)，有2f (x)f

9、60;(x)lg(x1)以x代替x得，2f (x)f (x)lg(x1)由消去f (x)得，f (x)lg(x1)lg(1x)，x(1,1)思維升華函數(shù)解析式的求法(1)待定系數(shù)法：假設(shè)函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法(2)換元法：復(fù)合函數(shù)f (g(x)的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍(3)配湊法：由條件f (g(x)F (x)，可將F (x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x)，便得f (x)的解析式(4)消去法：f (x)與f或f (x)之間的關(guān)系式，可根據(jù)條件

10、再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出f (x)跟蹤訓(xùn)練1(1)假設(shè)f，那么當(dāng)x0，且x1時(shí)，f (x)等于()A.B.C.D.1答案B解析f (x)(x0且x1)(2)f (x)是二次函數(shù)且f (0)2，f (x1)f (x)x1，那么f (x)_.答案x2x2解析設(shè)f (x)ax2bxc(a0)，由f (0)2，得c2，f (x1)f (x)a(x1)2b(x1)2ax2bx2x1，即2axabx1，即f (x)x2x2.(3)f (x)滿足

11、2f (x)f3x1，求f (x)解2f (x)f3x1，以代替中的x(x0)，得2ff (x)1，×2，得3f (x)6x1，故f (x)2x(x0)分段函數(shù)命題點(diǎn)1求分段函數(shù)的函數(shù)值例2(1)函數(shù)f (x)假設(shè)f6，那么實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)，f (2)_.答案56解析由題意得，f3·13，所以ff (3)93a6，所以a5，f (2)45×26.(2)f (x)那么f (2)_.答案3解析f (2)f (1)1f (0

12、)2cos2123.命題點(diǎn)2分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題例3設(shè)函數(shù)f (x)那么使f (x)的x的集合為_(kāi)答案解析由題意知，假設(shè)x0，那么2x，解得x1；假設(shè)x>0，那么|log2x|，解得x或x.故所求x的集合為.本例中，那么使f (x)>的x的集合為_(kāi)答案解析當(dāng)x0時(shí)，由2x>得1<x0；當(dāng)x>0時(shí)，由|log2x|>得0<x<或x>.綜上，所求x的集合是.思維升華(1)分段函數(shù)的求值問(wèn)題的解題思路求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f (f (a)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分

13、段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)(2)分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題的求解思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來(lái)跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)函數(shù)f (x)那么f (f (1)_.答案3解析f (1)2，f (f (1)f (2)3.(2)(2022·成都診斷)函數(shù)f (x)那么不等式x·f (x1)<10的解集是_答案(5,5)解析當(dāng)x12，即x3時(shí)，f (x1)(x1)2x3，代入得x(x3)<10，得2<x<5，

14、所以3x<5；當(dāng)x1<2，即x<3時(shí)，f (x1)2，代入得2x<10，得x>5，所以5<x<3.綜上不等式的解集為(5,5)1以下集合A到集合B的對(duì)應(yīng)f是函數(shù)的是()AA1,0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)的平方BA0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)求平方根CAZ，BQ，f：A中的數(shù)取倒數(shù)DAR，B正實(shí)數(shù)，f：A中的數(shù)取絕對(duì)值答案A解析選項(xiàng)B中A中元素出現(xiàn)一對(duì)多的情況；選項(xiàng)C，D中均出現(xiàn)元素0無(wú)對(duì)應(yīng)元素的情況2以下列圖象中不能作為函數(shù)圖象的是()答案B解析B項(xiàng)中的圖象與垂直于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn)，顯然不滿足函數(shù)的定義，應(yīng)選B.3以下函

15、數(shù)中，與函數(shù)yx相同的是()Ay()2ByCyDy答案B解析A中，y()2x(x0)與函數(shù)yx(xR)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，故A錯(cuò)；C中，函數(shù)y|x|(xR)與函數(shù)yx(xR)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故C錯(cuò)；D中，函數(shù)yx(x0)與函數(shù)yx(xR)的定義域不同，故D錯(cuò)；B中，函數(shù)yx(xR)與函數(shù)yx(xR)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域也相同，故B正確4f (x5)lgx，那么f (2)等于()Alg2Blg32ClgD.lg2答案D解析令x5t，那么x(t>0)，f (t)lgtf (2)lg2.5f2x5，且f (a)6，那么a等于()AB.C

16、.D答案B解析令tx1，那么x2t2，所以f (t)2(2t2)54t1，所以f (a)4a16，即a.6函數(shù)f (x)那么f (f (3)等于()A.B.CD3答案A解析因?yàn)閒 (3)1log23log2<0，所以f (f (3)f.7(2022·衡水調(diào)研)函數(shù)f (x)且f (x0)3，那么實(shí)數(shù)x0的值為()A1B1C1或1D1或答案C解析由條件可知，當(dāng)x00時(shí)，f (x0)2x013，所以x01；當(dāng)x0<0時(shí)，f (x0)3x3，所以x01.所以實(shí)

17、數(shù)x0的值為1或1.8.如圖，AOD是一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，平面圖形OBD是四分之一圓的扇形，點(diǎn)P在線段AB上，PQAB，且PQ交AD或交弧DB于點(diǎn)Q，設(shè)APx(0<x<2)，圖中陰影局部表示的平面圖形APQ(或APQD)的面積為y，那么函數(shù)yf (x)的大致圖象是()答案A解析觀察可知陰影局部的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0<x1時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來(lái)越快(2)當(dāng)1<x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的速度越來(lái)越慢分析四個(gè)答案中的圖象，只有選項(xiàng)A符合條件9函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?0，)，且f (x

18、)3·f1，那么f (x)_.答案(x>0)解析在f (x)3·f1中，將x換成，那么換成x，得f3·f (x)1，將該方程代入方程消去f，得f (x)(x>0)10(2022·江蘇)函數(shù)f (x)滿足f (x4)f (x)(xR)，且在區(qū)間(2,2上，f (x)那么f (f (15)的值為_(kāi)答案解析由函數(shù)f (x)滿足f (x4)f (x)(xR)，可知函數(shù)f (x)的周期是4，所以f (15

19、)f (1)，所以f (f (15)fcos.11假設(shè)f (x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2f (x)f (x)3x1，那么f (1)_.答案2解析令x1，得2f (1)f (1)4，令x1，得2f (1)f (1)2，聯(lián)立得，f (1)2.12函數(shù)f (x)那么不等式f (x)5的解集為_(kāi)答案2,4解析由于f (x)當(dāng)x>0時(shí)，令3log2x5，即log2x2log24，解得0<x4；當(dāng)x0時(shí)，令x2x15，即(x3)(x2)0，解得2x3，2x0.不等式f (x)5的解集為2,413(2022·湖北宜昌一中模擬)設(shè)函數(shù)f (x)假設(shè)f4，那么b等于()A1B.C.D.答案D解析f3×b