計量經(jīng)濟學-第四章--經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：放寬基本假定的模型

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上For personal use only in study and research; not for commercial use第四章 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學模型：放寬基本假定的模型一、內容提要本章主要介紹計量經(jīng)濟模型的二級檢檢驗問題，即計量經(jīng)濟檢驗。主要討論對回歸模型的若干基本經(jīng)典假定是否成立進行檢驗、當檢驗發(fā)現(xiàn)不成立時繼續(xù)采用OLS估計模型所帶來的不良后果以及如何修正等問題。具體包括異方差性問題、序列相關性問題、多重共線性問題以及隨機解釋變量這四大類問題。異方差是模型隨機擾動項的方差不同時產生的一類現(xiàn)象。在異方差存在的情況下，OLS估計盡管是無偏、一致的，但通

2、常的假設檢驗卻不再可靠，這時仍采用通常的t檢驗和F檢驗，則有可能導致出現(xiàn)錯誤的結論。同樣地，由于隨機項異方差的存在而導致的參數(shù)估計值的標準差的偏誤，也會使采用模型的預測變得無效。對模型的異方差性有若干種檢測方法，如圖示法、Park與Gleiser檢驗法、Goldfeld-Quandt檢驗法以及White檢驗法等。而當檢測出模型確實存在異方差性時，通過采用加權最小二乘法進行修正的估計。序列相關性也是模型隨機擾動項出現(xiàn)序列相關時產生的一類現(xiàn)象。與異方差的情形相類似，在序列相關存在的情況下，OLS估計量仍具無偏性與一致性，但通常的假設檢驗不再可靠，預測也變得無效。序列相關性的檢測方法也有若干種，如圖

3、示法、回歸檢驗法、Durbin-Watson檢驗法以及Lagrange 乘子檢驗法等。存在序列相關性時，修正的估計方法有廣義最小二乘法（GLS）以及廣義差分法。多重共線性是多元回歸模型可能存在的一類現(xiàn)象，分為完全共線與近似共線兩類。模型的多個解釋變量間出現(xiàn)完全共線性時，模型的參數(shù)無法估計。更多的情況則是近似共線性，這時，由于并不違背所有的基本假定，模型參數(shù)的估計仍是無偏、一致且有效的，但估計的參數(shù)的標準差往往較大，從而使得t-統(tǒng)計值減小，參數(shù)的顯著性下降，導致某些本應存在于模型中的變量被排除，甚至出現(xiàn)參數(shù)正負號方面的一些混亂。顯然，近似多重共線性使得模型偏回歸系數(shù)的特征不再明顯，從而很難對單個

4、系數(shù)的經(jīng)濟含義進行解釋。多重共線性的檢驗包括檢驗多重共線性是否存在以及估計多重共線性的范圍兩層遞進的檢驗。而解決多重共線性的辦法通常有逐步回歸法、差分法以及使用額外信息、增大樣本容量等方法。當模型中的解釋變量是隨機解釋變量時，需要區(qū)分三種類型：隨機解釋變量與隨機擾動項獨立，隨機解釋變量與隨機擾動項同期無關、但異期相關，隨機解釋變量與隨機擾動項同期相關。第一種類型不會對OLS估計帶來任何問題。第二種類型則往往導致模型估計的有偏性，但隨著樣本容量的增大，偏誤會逐漸減小，因而具有一致性。所以，擴大樣本容量是克服偏誤的有效途徑。第三種類型的OLS估計則既是有偏、也是非一致的，需要采用工具變量法來加以克

5、服。二、典型例題分析1、下列哪種情況是異方差性造成的結果？ （1）OLS估計量是有偏的 （2）通常的t檢驗不再服從t分布。 （3）OLS估計量不再具有最佳線性無偏性。解答： 第（2）與（3）種情況可能由于異方差性造成。異方差性并不會引起OLS估計量出現(xiàn)偏誤。2、已知模型式中，Y、X1、X2和Z的數(shù)據(jù)已知。假設給定權數(shù)，加權最小二乘法就是求下式中的各，以使的該式最?。?）求RSS對b1、b2和b2的偏微分并寫出正規(guī)方程。（2）用Z去除原模型，寫出所得新模型的正規(guī)方程組。（3）把帶入（1）中的正規(guī)方程，并證明它們和在（2）中推導的結果一樣。解答： （1）由對各求偏導得如下正規(guī)方程組：（2）用Z去除

6、原模型，得如下新模型對應的正規(guī)方程組如下所示：（3）如果用代替（1）中的，則容易看到與（2）中的正規(guī)方程組是一樣的。3、已知模型 式中，為某公司在第i個地區(qū)的銷售額；為該地區(qū)的總收入；為該公司在該地區(qū)投入的廣告費用（i=0,1,2,50）。（1）由于不同地區(qū)人口規(guī)?？赡苡绊懼摴驹谠摰貐^(qū)的銷售，因此有理由懷疑隨機誤差項ui是異方差的。假設依賴于總體的容量，請逐步描述你如何對此進行檢驗。需說明：1）零假設和備擇假設；2）要進行的回歸；3）要計算的檢驗統(tǒng)計值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒絕零假設的標準。 （2）假設。逐步描述如何求得BLUE并給出理論依據(jù)。解答：（1）如果依賴于總體的容量

7、，則隨機擾動項的方差依賴于。因此，要進行的回歸的一種形式為。于是，要檢驗的零假設H0：，備擇假設H1：。檢驗步驟如下：第一步：使用OLS方法估計模型，并保存殘差平方項；第二步：做對常數(shù)項C和的回歸第三步：考察估計的參數(shù)的t統(tǒng)計量，它在零假設下服從自由度為2的t分布。第四步：給定顯著性水平面0.05（或其他），查相應的自由度為2的t分布的臨界值，如果估計的參數(shù)的t統(tǒng)計值大于該臨界值，則拒絕同方差的零假設。（2）假設時，模型除以有：由于，所以在該變換模型中可以使用OLS方法，得出BLUE估計值。方法是對關于、做回歸，不包括常數(shù)項。 4、以某地區(qū)22年的年度數(shù)據(jù)估計了如下工業(yè)就業(yè)回歸方程（-0.56

8、）(2.3) (-1.7) (5.8)式中，Y為總就業(yè)量；X1為總收入；X2為平均月工資率；X3為地方政府的總支出。（1）試證明：一階自相關的DW檢驗是無定論的。（2）逐步描述如何使用LM檢驗解答：（1）由于樣本容量n=22，解釋變量個數(shù)為k=3，在5%在顯著性水平下，相應的上下臨界值為、。由于DW=1.147位于這兩個值之間，所以DW檢驗是無定論的。（2）進行LM檢驗：第一步，做Y關于常數(shù)項、lnX1、lnX2和lnX3的回歸并保存殘差； 第二步，做關于常數(shù)項、lnX1、lnX2和lnX3和的回歸并計算；第三步，計算檢驗統(tǒng)計值(n-1)=21´0.996=20.916；第四步，由于

9、在不存在一階序列相關的零假設下(n-1)呈自由度為1的分布。在5%的顯著性水平下，該分布的相應臨界值為3.841。由于20.916>3.841，因此拒絕零假設，意味著原模型隨機擾動項存在一階序列相關。 5、某地區(qū)供水部門利用最近15年的用水年度數(shù)據(jù)得出如下估計模型：（-1.7） (0.9) (1.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)F=38.9式中，water用水總量（百萬立方米）,house住戶總數(shù)（千戶）,pop總人口（千人）,pcy人均收入（元）,price價格（元/100立方米）,rain降雨量（毫米）。（1）根據(jù)經(jīng)濟理論和直覺,請計回歸系數(shù)的符號是什么(不包括常量)，

10、為什么？觀察符號與你的直覺相符嗎？（2）在10%的顯著性水平下，請進行變量的t-檢驗與方程的F-檢驗。T檢驗與F檢驗結果有相矛盾的現(xiàn)象嗎？（3）你認為估計值是（1）有偏的；（2）無效的或（3）不一致的嗎？詳細闡述理由。解答：（1）在其他變量不變的情況下，一城市的人口越多或房屋數(shù)量越多，則對用水的需求越高。所以可期望house和pop的符號為正；收入較高的個人可能用水較多，因此pcy的預期符號為正，但它可能是不顯著的。如果水價上漲，則用戶會節(jié)約用水，所以可預期price的系數(shù)為負。顯然如果降雨量較大，則草地和其他花園或耕地的用水需求就會下降，所以可以期望rain的系數(shù)符號為負。從估計的模型看，除

11、了pcy之外，所有符號都與預期相符。（2）t-統(tǒng)計量檢驗單個變量的顯著性，F(xiàn)-統(tǒng)計值檢驗變量是否是聯(lián)合顯著的。這里t-檢驗的自由度為15-5-1=9，在10%的顯著性水平下的臨界值為1.833?？梢?，所有參數(shù)估計值的t值的絕對值都小于該值，所以即使在10%的水平下這些變量也不是顯著的。這里，F(xiàn)-統(tǒng)計值的分子自由度為5，分母自由度為9。10%顯著性水平下F分布的臨界值為2.61。可見計算的F值大于該臨界值，表明回歸系數(shù)是聯(lián)合顯著的。T檢驗與F檢驗結果的矛盾可能是由于多重共線性造成的。house、pop、pcy都是高度相關的，這將使它們的t-值降低且表現(xiàn)為不顯著。price和rain不顯著另有原因

12、。根據(jù)經(jīng)驗，如果一個變量的值在樣本期間沒有很大的變化，則它對被解釋變量的影響就不能夠很好地被度量。可以預期水價與年降雨量在各年中一般沒有太大的變化，所以它們的影響很難度量。（3）多重共線性往往表現(xiàn)的是解釋變量間的樣本觀察現(xiàn)象，在不存在完全共線性的情況下，近似共線并不意味著基本假定的任何改變，所以OLS估計量的無偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是BLUE估計量。但共線性往往導致參數(shù)估計值的方差大于不存在多重共線性的情況。6、一個對某地區(qū)大學生就業(yè)增長影響的簡單模型可描述如下式中，為新就業(yè)的大學生人數(shù)，MIN1為該地區(qū)最低限度工資，POP為新畢業(yè)的大學生人數(shù)，GDP1為該地區(qū)國內生產總值，GDP

13、為該國國內生產總值；g表示年增長率。（1）如果該地區(qū)政府以多多少少不易觀測的卻對新畢業(yè)大學生就業(yè)有影響的因素作為基礎來選擇最低限度工資，則OLS估計將會存在什么問題？（2）令MIN為該國的最低限度工資，它與隨機擾動項相關嗎？（3）按照法律，各地區(qū)最低限度工資不得低于國家最低工資，哪么gMIN能成為gMIN1的工具變量嗎？解答：（1）由于地方政府往往是根據(jù)過去的經(jīng)驗、當前的經(jīng)濟狀況以及期望的經(jīng)濟發(fā)展前景來定制地區(qū)最低限度工資水平的，而這些因素沒有反映在上述模型中，而是被歸結到了模型的隨機擾動項中，因此 gMIN1 與m不僅異期相關，而且往往是同期相關的，這將引起OLS估計量的偏誤，甚至當樣本容量

14、增大時也不具有一致性。（2）全國最低限度的制定主要根據(jù)全國國整體的情況而定，因此gMIN基本與上述模型的隨機擾動項無關。 （3）由于地方政府在制定本地區(qū)最低工資水平時往往考慮全國的最低工資水平的要求，因此gMIN1與gMIN具有較強的相關性。結合（2）知gMIN可以作為gMIN1的工具變量使用。三、習題（一）基本知識類題型4-1解釋下列概念：專心-專注-專業(yè)（1）異方差性（2）序列相關性（3）多重共線性（4）偏回歸系數(shù)（5）完全多重共線性（6）不完全多重共線性（7）隨機解釋變量（8）差分法（9）廣義最小二乘法（10）D.W.檢驗4-2判斷下列各題對錯，并簡單說明理由：1) 在存在異方差情況下，

15、普通最小二乘法（OLS）估計量是有偏的和無效的；2) 如果存在異方差，通常使用的t檢驗和F檢驗是無效的；3) 在存在異方差情況下，常用的OLS法總是高估了估計量的標準差；4) 如果從OLS回歸中估計的殘差呈現(xiàn)系統(tǒng)模式，則意味著數(shù)據(jù)中存在著異方差；5) 當存在序列相關時，OLS估計量是有偏的并且也是無效的；6) 消除序列相關的一階差分變換假定自相關系數(shù)必須等于1；7) 兩個模型，一個是一階差分形式，一個是水平形式，這兩個模型的R2值是不可以直接比較的。8) 回歸模型中誤差項存在異方差時，OLS估計不再是有效的；9) 回歸模型中誤差項存在序列相關時，OLS估計不再是無偏的；4-3簡述異方差對下列各

16、項有何影響：（1）OLS估計量及其方差；（2）置信區(qū)間；（3）顯著性t檢驗和F檢驗的使用。4-4在存在AR（1）自相關的情形下，什么估計方法能夠產生BLUE估計量？簡述這個方法的具體步驟。（二）基本證明與問答類題型4-5在存在AR（1）的情形下，估計自相關參數(shù)有哪些不同的方法？4-6在如下回歸中，你是否預期存在著異方差？YX樣本a) 公司利潤凈財富財富500強b) 公司利潤的對數(shù)凈財富的對數(shù)財富500強c) 道瓊斯工業(yè)平均指數(shù)時間19601990年（年平均）d) 嬰兒死亡率人均收入100個發(fā)達國家和發(fā)展中國家e) 通貨膨脹率貨幣增長率美國、加拿大和15個拉美國家4-7已知消費模型：其中：消費支

17、出個人可支配收入消費者的流動資產要求：（1）進行適當變換消除異方差，并證明之；（2）寫出消除異方差后，模型的參數(shù)估計量的表達式。4-8什么是異方差性？舉例說明經(jīng)濟現(xiàn)象中的異方差性。檢驗異方差性的方法思路是什么？4-9什么是序列相關性？舉例說明經(jīng)濟現(xiàn)象中序列相關性的存在。檢驗序列相關性的方法思路是什么？熟悉D.W.統(tǒng)計量的計算方法和查表判斷。4-10什么是多重共線性？產生多重共線性的經(jīng)濟背景是什么？多重共線性的危害是什么？為什么會造成這些危害？檢驗多重共線性的方法思路是什么？有哪些克服方法？4-11隨機解釋變量的來源有哪些？隨機解釋變量可以造成哪些結果？4-12當模型中出現(xiàn)隨機解釋變量時，最小二

18、乘估計量具有什么特征？4-13試比較說明普通最小二乘法與加權最小二乘法的區(qū)別與聯(lián)系。4-14估計量的漸近統(tǒng)計性質的含義是什么？什么是漸近無偏性？ 4-15什么是估計的一致性？證明對于工具變量法的估計量是的一致估計。4-16為什么回歸殘差序列可以作為檢驗線性回歸模型誤差項的各種問題的基礎？4-17對于線性回歸模型： ，已知為一階自回歸形式：，要求：證明的估計值為：4-18證明下面方程中的誤差項是同方差的。， 其中：（三）基本計算類題型4-19某上市公司的子公司的年銷售額Yt與其總公司年銷售額Xt的觀測數(shù)據(jù)如下表：序號XY序號XY1127.320.9611148.324.542130.021.40

19、12146.424.303132.721.9613150.225.004129.421.5214153.125.645135.022.3915157.326.366137.122.7616160.726.987141.223.4817164.227.528142.823.6618165.627.789145.524.1019168.728.2419145.324.0120171.728.78要求：(1)用最小二乘法估計關于的回歸方程；(2)用D.W.檢驗分析隨機項的一階自相關性；(3)用Durbin兩步法估計回歸模型的參數(shù)；(4)直接用差分法估計回歸模型的參數(shù).4-20下表是被解釋變量Y及解釋

20、變量X1、X2、X3、X4的時間序列觀測值：Y6.06.06.57.17.27.68.09.09.09.3X140.140.347.549.252.358.061.362.564.766.8X25.54.75.26.87.38.710.214.117.121.3X31089410810099991019793102X4637286100107111114116119121要求：（1）采用適當?shù)姆椒z驗多重共線性；（2）多重共線性對參數(shù)估計值有何影響？（3）用修正Frisch法確定一個較好的回歸模型。4-21下表是某種商品的需求量、價格以及消費者收入的統(tǒng)計資料：年份12345678910需求量Y

21、3.54.35.06.07.09.08.0101214價格X1161310775433.52收入X215203042505465728590要求：（1）檢驗X1和X2是否存在嚴重的多重共線性？（2）如何解決或減輕多重共線性的影響，并給出這一問題的回歸方程。4-22對于模型：要求：（1）如果用變量的一次差分估計該模型，采用何種自相關形式？（2）用差分估計時，并不刪除截距，其含義是什么？（3）假設模型存在一階自相關，如果用OLS法估計，試證明其估計式：仍然是無偏的，式中的，。（4）試證明不是有效的。4-23某國的政府稅收T（單位：百萬美元）、國內生產總值GDP（單位：10億美元）和汽車數(shù)量Z（單位

22、：百萬輛）的觀測數(shù)據(jù)如下表所示：序號TGDPZ13452212357646875455657677868911798107要求：試以汽車數(shù)量Z作為國內生產總值GDP的工具變量，估計稅收函數(shù)：4-24繼續(xù)習題3-21的討論。問題如下：（1）假定做GMAT分數(shù)對GPA的回歸分析，并且發(fā)現(xiàn)兩變量之間顯著正相關。那么，你對多重共線性問題有何看法？（2）對習題3-21的（1）建立方差（ANOVA）分析表并檢驗假設：所有偏回歸系數(shù)均為零。（3）用R2值，對本題（2）建立ANOVA表進行分析。4-25如果解釋變量之間的相關系數(shù)為0，則稱它們是正交的。對于模型：若X1與X2是正交的，證明下列結論：（1）多元線

23、性回歸的最小二乘估計量、分別等于Y對X1、Y對X2的一元線性回歸的最小二乘估計量；（2）多元回歸的回歸平方和為兩個一元回歸的回歸平方和的和。4-26假設Y為內生變量，X為外生變量，以下各組方程中哪些方程可以用DurbinWatson方法檢驗一階自相關：（1）（2）（3）4-27有5個解釋變量的多元線性回歸模型，用容量為93的樣本數(shù)據(jù)進行回歸分析。若根據(jù)回歸殘差序列計算的D.W.值為1.1，應得出什么結論？若D.W.值為2.35呢？4-28若已知線性回歸模型的誤差項的方差為，問處理該模型的方法是什么？4-29一個兩變量線性回歸模型的回歸殘差序列如下表所示：n殘差en殘差en殘差e10.0138-

24、0.082150.19820.0549-0.053160.1033-0.014100.041170.0004-0.04211-0.15118-0.0635-0.07812-0.05419-0.0586-0.056130.04270.083140.117要求：請分析該模型的誤差項是否存在什么問題？若存在一些問題，說明有哪些處理方法可以考慮？4-30在研究生產中的勞動在增加值中所占的份額（即勞動份額）的變動時，有以下模型：模型A：模型B：其中，Y為勞動份額，t為勞動時間。根據(jù)該研究時期內的15年數(shù)據(jù)進行參數(shù)估計，得到模型結果為：模型A： 模型B： 其中：括號中的數(shù)字是t檢驗值。要求：（1）模型A中

25、有沒有自相關？模型B呢？（2）如何解釋自相關的存在？（3）你會怎樣區(qū)分“純粹”自相關和模型形式設定錯誤？四、習題解答 4-1答： 異方差性指對于不同的樣本值，隨機擾動項的方差不再是常數(shù)，而是互不相同的。 序列相關性指對于不同的樣本值，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立，而是存在某種相關性。 （3）多重共線性指兩個或多個解釋變量之間不再彼此獨立，而是出現(xiàn)了相關性。 偏回歸系數(shù)指：在三變量線性回歸模型中，當其中一個解釋變量為常量時，另一個解釋變量對被解釋變量均值的影響。 完全多重共線性指：在有多個解釋變量模型中，其中一個變量可以表示為其他多個變量的完全線性函數(shù)，即，其中至少有一個，與等式右邊線性組合

26、的相關系數(shù)為1，則這種情況被稱為完全多重共線性。在此情況下，不能估計解釋變量各自對被解釋變量的影響。 不完全多重共線性指：在實際經(jīng)濟活動中，多個解釋變量之間存在多重共線性問題，但與等式右邊線性組合的相關系數(shù)不為1。 隨機解釋變量指：在現(xiàn)實經(jīng)濟現(xiàn)象中，解釋變量是不可控的，即解釋變量的觀測值具有隨機性，并且與模型的隨機誤差項有相關關系，這樣的解釋變量稱為隨機解釋變量。 差分法是一類克服序列相關性的有效方法。它是將原計量經(jīng)濟模型變換為差分模型，分為一階差分法和廣義差分法。 廣義最小二乘法（GLS）即最具有普遍意義的最小二乘法。 D.W.檢驗：全稱杜賓瓦森檢驗，適用于一階自相關的檢驗。該法構造一個統(tǒng)計

27、量：，計算該統(tǒng)計量的值，根據(jù)樣本容量和解釋變量數(shù)目查D.W.分布表，得到臨界值和，然后按照判斷準則考察計算得到的D.W.值，以判斷模型的自相關狀態(tài)。 4-2答： 錯。當存在異方差情況下，OLS法估計量是無偏的但不具有有效性。 對。如果存在異方差，通常使用的t檢驗和F檢驗是無效的。 錯。實際情況可能是高估也可能是低估。 對。通過將殘差對其相應的觀察值描圖，了解變量與殘差之間是否存在可以觀察到的系統(tǒng)模式，就可以判斷數(shù)據(jù)中是否存在異方差。 錯。當存在序列相關時，OLS法估計量是無偏的但不具有有效性。 對。即假設誤差項之間是完全正序列相關的，這樣廣義差分方程就轉化為一階差分方程。 對。 對。 錯。仍是無偏的。 4-3答：由于異方差的存在，使得：OLS估計量仍是線性無偏但不再具有最小方差，即不再有效；相應的置信區(qū)間和t檢驗、F檢驗都是不可靠的。 4-4答：在存在AR自相關的情況下，使用廣義最小二乘法能夠產生BLUE估計量。具體步驟簡述如下： 4-5答：在存在AR的情況下，估計自相關參數(shù)有下述幾種方法： 4-6答：存在；不存在；不存在；存在；存在。 4-7答： 模型兩邊同時除以進行變換，得：其中：，可以證明誤差項是同方差的。證明如下：已知：，（根據(jù)已知條件