復(fù)化梯形法復(fù)化矩形法變步長梯形變步長辛普森

1、陜西科技大學(xué) 機械教改班用C+的積分 其實積分的思想就是,微分求和取極限，如果是用純手工法那就是先對一個函數(shù)微分，再求出它的面積，在取極限，因為我們的計算速度和計算量有限，現(xiàn)在有了計算機這個速度很快的機器，我們可以把微分后的每個小的面積加起來，為了滿足精度，我們可以加大分區(qū)，即使實現(xiàn)不了微分出無限小的極限情況，我們也至少可以用有限次去接近他，下面我分析了四種不同的積分方法，和一個綜合通用程序。一積分的基本思想1、思路：微分求和取極限。2、NewtonLeibniz公式其中，被積函數(shù)的原函數(shù)。3、用計算機積分的思路在積分區(qū)間內(nèi)“微分求和控制精度”。因為計算機求和不可以取極限，也就是不可以無限次的

2、加下去，所以要控制精度。二現(xiàn)有的理論1、一階求積公式-梯形公式他只能精確計算被積函數(shù)為0、1次多項式時的積分。2、二階求積分公式牛頓、科特斯公式他只能精確計算被積函數(shù)為0、1、2、3次多項式時的積分。3 四種實現(xiàn)方法1. 復(fù)化矩形法 將積分區(qū)間a,b等分成n個子區(qū)間:則h=(b-a)/n,區(qū)間端點值=a+kh.源程序：#include #includedouble f(double x) /計算被積函數(shù)double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;double Tn(double a,double b,int n) /求Tndouble t=0.0;do

3、uble xk; /區(qū)間端點值double t1,t2; /用來判斷精度dodouble h=(b-a)/n;for(int k=1;k=n-1;k+) /每一小段的矩形疊加 t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;n+; /如果精度不夠就對區(qū)間再次細分，直到達到精度要求while(fabs(t1-t2)=1e-7); /判斷計算精度return t;void main()double a=0.0; /積分下線double b=2.0; /積分上限int n=1024; /把區(qū)間分為1024段coutTn(a,b,n)endl; /輸出積分結(jié)果執(zhí)行結(jié)果：2. 復(fù)化梯形法 方

4、法和復(fù)化矩形法類似，只是把原來的矩形小面積變成了梯形小面積，但是精確度明顯提高了，也就是說達到同樣的精度需要的時間少了。變形一下：源程序：#include #includedouble f(double x) /計算被積函數(shù)double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;double Tn(double a,double b,int n) /求Tndouble t=0.0;double xk; /區(qū)間端點值double t1,t2,h=(b-a)/n; /用來判斷精度doh=(b-a)/n;for(int k=1;k=n-1;k+) /余項疊加，相當于每一

5、個小梯形相加 t1=t;xk=a+k*h;t+=f(xk);t2=t;n+; /如果精度不夠就對區(qū)間再次細分，直到達到精度要求while(fabs(t1-t2)=1e-7); /判斷計算精度 t=h*(f(a)+f(b)/2+t*h; /加上初項就是積分結(jié)果了 return t;void main()double a=0.0; /積分下線double b=2.0; /積分上線int n=1024; /把區(qū)間分為1024段coutTn(a,b,n)endl; /輸出積分結(jié)果執(zhí)行結(jié)果：3. 變步長梯形法上面我們在應(yīng)用復(fù)化積分法的時候會對區(qū)間進行分割，但是在要求精度是我們也不知道事先應(yīng)該分割成多少段

6、，分的少了精度達不到，分的多了計算量太大，為了解決這個問題我在上面加了一個循環(huán)，來不斷地對區(qū)間進行再次劃分，直到達到精度要求，變步長積分法與我用的方法類似，只不過變步長積分法的區(qū)間劃分時成倍增加的。實現(xiàn)方法；由復(fù)化梯形法知道；步長h=(b-a)/n現(xiàn)在將步長分半，即在相鄰兩節(jié)點的中點處增加一個求積節(jié)點，那么變形一下：源程序：#include #include double f(double x) /計算被積函數(shù)的值double y;y=log(1+x)/(1+x*x); return y;double t2ntn(double a,double b)int n=1;double hn=b-a;

7、 /原步長double tn=0.0;double t2n=(f(a)+f(b)*hn/2.0;while(fabs(t2n-tn)1e-7) /判斷精度tn=t2n;t2n=0.0;for(int k=0;k=n-1;k+) /循環(huán)疊加t2n+=f(a+hn/2.0+k*hn);t2n=tn/2.0+t2n*hn/2.0;n=n*2; hn=hn/2.0; /步長分半return t2n;void main()double a=0.0;double b=2.0;coutt2ntn(a,b)endl;執(zhí)行結(jié)果：4. 變步長辛普森法之前的積分斜邊都是直線，如果用拋物線接近就會更準確復(fù)化辛普森求積

8、公式然后就只要每次讓他的積分區(qū)間加倍就行直到達到要求的精度#include #include #include double a=0.0,b=2.0,e=1e-7; /積分上下線，和精度要求int n=1024;double f(double x) Double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;float simpson() int i;double s,sn,s2n,p,x,h;h=(b-a)/n; /步長 s=f(a)+f(b); p=0;x=a+h; /積分端點for(i=1;i=n-1;i+)if(i%2)!=0) p=p+4*f(x); /在區(qū)

9、間中間時乘4x=x+h;elses=s+2*f(x); /積分端點時乘2x=x+h;s=s+p; /第一次求和s2n=s*h/3; /積分值dosn=s2n;x=a+h/2; /變步長s=s-p/2; p=0;for(i=1;ie); /控制精度return s2n;void main()coutsimpson()endl;執(zhí)行結(jié)果：4 用C+寫的綜合程序#include #include #include class Bjhs /抽象類public: virtual double f(double x)=0; /虛計算被積函數(shù) virtual void print()=0; /輸出函數(shù) vi

10、rtual double Tn()=0; /虛函數(shù);class Fhjx:public Bjhs /復(fù)化矩形法類public:Fhjx()a=0;b=2;e=1e-7;n=1024; /構(gòu)造函數(shù)付初值double f(double x); /計算被積函數(shù)double Tn() /求Tndouble t=0.0;double xk; /區(qū)間端點值double t1,t2; /用來判斷精度dodouble h=(b-a)/n;for(int k=1;k=n-1;k+) /每一小段的矩形疊加 t1=t;xk=a+k*h;t+=h*f(xk);t2=t;n+; /如果精度不夠就對區(qū)間再次細分，直到達到

11、精度要求while(fabs(t1-t2)=e); /判斷計算精度return t;void print() /輸出cout用復(fù)化矩形法計算的結(jié)果Tn()endl;private:double a,b,e;int n;double Fhjx:f(double x) /外聯(lián)函數(shù)double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;class Fhtx:public Bjhs /復(fù)化梯形法public:Fhtx()a=0;b=2;e=1e-7;n=1024; double f(double x); /計算被積函數(shù) double Tn() /求Tndouble t=0

12、.0;double xk; /區(qū)間端點值double t1,t2,h=(b-a)/n; /用來判斷精度 doh=(b-a)/n;for(int k=1;k=n-1;k+) /余項疊加，相當于每一個小梯形相加 t1=t;xk=a+k*h;t+=f(xk);t2=t;n+; /如果精度不夠就對區(qū)間再次細分，直到達到精度要求while(fabs(t1-t2)=1e-7); /判斷計算精度t=h*(f(a)+f(b)/2+t*h; /加上初項就是積分結(jié)果了 return t;void print()cout用復(fù)化梯形法計算的結(jié)果Tn()e) /判斷精度tn=t2n;t2n=0.0;for(int k=

13、0;k=n-1;k+) /循環(huán)疊加t2n+=f(a+hn/2.0+k*hn);t2n=tn/2.0+t2n*hn/2.0;n=n*2; hn=hn/2.0; /步長分半return t2n;void print()cout用變步長梯形法計算的結(jié)果Tn()endl;private:double a,b,e;double tn;int n;double Bbctx:f(double x)double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;class Bbcxps:public Bjhs /變步長辛普森法public:Bbcxps()n=1024;a=0;b=2;e

14、=1e-7; /積分上下線，和精度要求double f(double x); double Tn() int i;double s,sn,s2n,p,x,h;h=(b-a)/n; /步長 s=f(a)+f(b);p=0;x=a+h; /積分端點for(i=1;i=n-1;i+)if(i%2)!=0) /判奇偶，也就是看哪點乘幾p=p+4*f(x); /在區(qū)間中間時乘4x=x+h;elses=s+2*f(x); /積分端點時乘2x=x+h;s=s+p; /第一次求和s2n=s*h/3; /積分值dosn=s2n;x=a+h/2; /變步長s=s-p/2; p=0;for(i=1;i=n;i+)

15、/變步長只需要加就行了p=p+4*f(x); x=x+h;s=s+p;n=n*2;h=h/2;s2n=s*h/3;while(fabs(s2n-sn)=e); /控制精度return s2n;void print()cout用變步長辛普森法計算的結(jié)果Tn()endl;private:double a,b,e,p;int n;double Bbcxps:f(double x)double y;y=log(1+x)/(1+x*x); /被積函數(shù)return y;void display(Bjhs&q) /輸出函數(shù)q.Tn();q.print();void main() /選擇你想要的方法，用switch語句char a; Fhjx b;Fhtx c;Bbctx d;Bbcxps e;cout