壽險(xiǎn)精算(第一章).

1、第一部分 生存模型和多元衰減模型l第一章 單生命生存模型l第二章 多生命生存模型l第三章 多元衰減模型l大意梗概：人壽保險(xiǎn)是以人的壽命、身體或健康為保險(xiǎn)標(biāo)的（指具體的保險(xiǎn)目標(biāo)）的保險(xiǎn)， 因此， 研究人的壽命的延續(xù)規(guī)律是制定保險(xiǎn)保費(fèi)的重要基礎(chǔ)。人的壽命往往是不確定的，可以看作隨機(jī)變量，因此，用概率統(tǒng)計(jì)方法研究壽命是普遍方法。l本部分分上述三章來(lái)介紹：?jiǎn)紊嬉?guī)律和多個(gè)單生命組成的群體的生存規(guī)律；這些規(guī)律決定保險(xiǎn)產(chǎn)品的定價(jià)、準(zhǔn)備金的提取、 養(yǎng)老金方案設(shè)計(jì)、退保、各項(xiàng)費(fèi)率厘定等壽險(xiǎn)環(huán)節(jié)。l本教材的特點(diǎn)：先基礎(chǔ)后實(shí)踐、先分類(lèi)介紹基本的一般模型， 使初學(xué)者容易把握壽險(xiǎn)總體規(guī)律， 避免一開(kāi)始就陷入具體復(fù)

2、雜的保險(xiǎn)細(xì)節(jié)和精算公式的推導(dǎo)等計(jì)算問(wèn)題，迷失方向。后在一般模型基礎(chǔ)上介紹幾類(lèi)常見(jiàn)精算問(wèn)題及其精算公式。第一章 單生命生存模型l1.2. 生存分布(或生存函數(shù)): 用X表示一個(gè)剛降生的生命體(個(gè)體)的壽命, 它是隨機(jī)變量,有其特定的連續(xù)分布函數(shù)和密度函數(shù), 分別記為 F 和 f. K(0)-該個(gè)體生存的整年數(shù), 即X; S(0)-X的小數(shù)部分, 則 X=K(0)+S(0)稱(chēng)函數(shù) s(t)=P(Xt), t=0 為壽命 X 的生存函數(shù)或生存分布. 它表示個(gè)體活過(guò) t 歲的概率。l生存函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系： l（生命體的）死亡力：一個(gè)活到某歲的個(gè)體恰在此年齡死亡的概率(瞬時(shí)死亡概率).l結(jié)論與例子：

3、結(jié)論1.2.1 生存函數(shù)s(t)和密度函數(shù)f(t)可用死亡力來(lái) 表示: ()1() , 0 ,)( 0 )1 ,( 0 )0 .XXstFttsF( )( ),(0,)1( )XXftttFt( ) t00( )( )( ),( )( ).tts dss dsXs teftt e證明：由于 故存在常數(shù)C,滿(mǎn)足 ( )( ) (1( ) ( )1( )( )( )( ),(ln( ( ) ( ),( )XXXXftFtFttFts ts tsts tts t 000( )(ln ( )ln( ( )( ).0(0)10,( ).ttts dss xdxs ts dsCtsCs te 由死亡力的定

4、義可得 將上式代入此等式，即得結(jié)論中的第二個(gè)等式。( )( ) ( )Xftt s t例1.2.1 設(shè)密度函數(shù) 計(jì)算生存函數(shù) 和死亡力 。解： 1( ),0.Xftt( )s t( ) t( )1( )1.Xtts tFt( )11( )/.1( )XXftttFtt死亡力與生存分布之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。例1.2.2 設(shè)生存分布為 其中 為參數(shù)。求死亡力定義：前者是新生兒壽命的期望，后者是新生兒的生存整年數(shù)的期望。( ),0 ,ts tet0( ).t00(),(0).eEXeE Kl結(jié)論1.2.2 上述兩個(gè)期望與生存函數(shù)有如下關(guān)系：例1.2.3 在例1.2.1的假設(shè)下計(jì)算新生兒壽命 的期望和

5、壽命變量的二階原點(diǎn)矩。解：0001( ),( ).nes t dt es n2000200.5 , ()2 ( )2/3.tedtE Xts t dtttdtl 常見(jiàn)死亡力函數(shù) : （1）de Moivre（1729）死亡力；（2）Gompertz (1825)死亡力；（3）Makeham(1860)死亡力；（4）Weibull (1939)死亡力。詳見(jiàn)教材（楊靜平 編著）表1.1.說(shuō)明, 可以借助計(jì)算機(jī)技術(shù)處理表達(dá)式更為復(fù)雜的死亡力; 上述死亡力在實(shí)務(wù)中已較少使用,但由于其表達(dá)簡(jiǎn)便, 易于得到具有實(shí)際指導(dǎo)意義的理論結(jié)果. l1.3. X 歲個(gè)體的生存分布: (x) 表示x歲的個(gè)體, 這里x為

6、整數(shù). 個(gè)體(x) 的未來(lái)生存時(shí)間(即x歲后存活的時(shí)間-余壽) 是一隨機(jī)變量, 記為T(mén)(x). lT(x)=X-x, 其中X表示該個(gè)體的壽命, 即最大生存時(shí)間.lT(x) = K(x) + S(x), 或 T = K + S, T 的分布函數(shù)、密度、生存函數(shù)。l基本計(jì)算公式: 1) 2) T(x)的死亡力( )()( )1( )T xs xtFts x ( )( )( )( )1( )T xxT xfttFtX與T(x)的分布、密度、生存、死亡函數(shù)的關(guān)系l結(jié)論1.3.10( )()( )()( ),0;( )( );( )().tXT xx s dsT xXfxtftts xstetxt證明：

7、( )( )()( )( )(1)( )()( )().( )T xT xXs xtftFts xs xts xfxts x根據(jù)死亡力的定義，( )( )( )()/ ( )( )1( )1 (1()/ ( )()/ ( )()()/ ( )()().T xXXT xXXftfxts xtFts xts xfxts xfxts xts xs xtxt還可證明：由于 0( )( )( )( )( )( )00(),( )( )( )()(ln( ),( )(ln( )(),ln( )(ln( )(),( ).tT xXT xT xT xttT xT xx s dsT xsttxtstststxt

8、stssdsxs dsste 例1.3.1設(shè)新生兒壽命X的密度函數(shù)為 求1( ), 0.Xftt()()( ),( ),0.TxTxFtftt X歲的個(gè)體又生存了t年時(shí),年齡為x+t歲,該個(gè)體與其他年齡為x+t的個(gè)體的生存分布之間的關(guān)系:l定理1.3.2. 假設(shè)個(gè)體的年齡及是否死亡為已知,個(gè)體的其他信息均未告知. x歲的個(gè)體生存了 t 年后, 其再繼續(xù)生存時(shí)間的分布和x+t歲的個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間的分布相同, 即( ( )|( )( (),0,)P T xst T xtP T xts s國(guó)際精算協(xié)會(huì)采用的表示概率的符號(hào)-精算表示法:l :(x) 活過(guò)年齡 x+t 歲的概率, 即(x)至少再活 t

9、年的概率：l :(x)未來(lái)t 年內(nèi)死亡的概率： l :(x)在年齡段( x+u, x+u+t 死亡的概率, 即(x)活過(guò) x+u 歲, 并在接下來(lái)的 t年內(nèi)死亡的概率：:txp( )P T xttxq|u txq( )P uT xut( ( )P T xtt=1時(shí),簡(jiǎn)化表示:11,|1,xxxx uxuxppqqqq結(jié)論1.3.3 (1) (2) 對(duì)t0,u0,(3) 對(duì)0hu) ( ( )| ( )(T(x)u) ()|()0)(T(x)u) ( ()| ()0)(T(x)u) ( ().u txux tx uqP T xu T xtuPP T xtu T xuPP Xxut XxuPP T

10、 xut T xuPP T xutp q (3)( ( )( ( ) ( ( )|( )( ( ) ( ()|()0)( ( ) ( ().txhx t hx hpP T xtP T xh P T xt T xhP T xh P T xhth T xhP T xh P T xhthpp l例1.3.3 已知生存函數(shù)計(jì)算 1/ 2( )(1),0100.100 xs xx1719 15 36 15|13 36,.pqq解: 17191536153615|13361536 13511536(36)8,(19)9(51)111/8,(36)(64)(1)(1) 1/8.(51)spssqpssqpq

11、qs (x)的未來(lái)生存時(shí)間的期望; (x)的未來(lái)生存整年數(shù)的期望.l結(jié)論1.3.4. (1)(2)( ( )( ( )xxeET xeE K x01,;xtxxnxnep dt ep2201( ( ) )2, ( ( ) )(21).txnxnE T xt p dt E K xnp(3)1;()( ( )().xx xxtxtxep epdppxx tdx1.4 隨機(jī)生存群和確定生存群l封閉的生存群體: 無(wú)遷出和遷入,無(wú)生育l1.4.1隨機(jī)生存群: 個(gè)個(gè)體, 壽命為0l012,lXXX服從共同的生存分布 ( )s txl,:該群體活到 x歲的期望人數(shù), 實(shí)際活到x歲的人數(shù).01( )ilXxi

12、L xI( )L x00101( ( )()()( ).ilxXxilE L xE Il P Xxl s x000111:,0,:,()().iiitxxx tltxx Xx tilltxtxx Xx t XiidlltDIdEIIE D l 為群體在年齡段 x,x+t) 死亡人數(shù)的期望.txd結(jié)論1.4.1 存在下列關(guān)系:()(1 ) .,;( 2 ) .() ,().xtxxttxtxtxxxxxsd sxtxxnnxyxldpqlld llxd xll edlyd y l (2)的第一式說(shuō)明 在 x 歲死亡的“人數(shù)”等于在此年齡活著的人數(shù) 乘以在此時(shí)的死亡力.l(2)的第三式表明在年齡段

13、 x,x+n) 死亡個(gè)體的總數(shù)目.l例1.4.1l例1.4.21.4.2 確定生存群l依次假設(shè)第一年, 第二年, 第 x 年的死亡比例, 得出活過(guò) x 歲的人數(shù)計(jì)算公式.l特點(diǎn): 用死亡比例替代死亡概率, 計(jì)算簡(jiǎn)便, 易于掌握.l確定生存群與確定投資收益的現(xiàn)金流相似. (表1.2)l例1.4.3 (30年內(nèi)1000人群體的人數(shù)變化與基金額的變化)1.4.3 例子隨機(jī)生存群的合理性例 1.4.4 一隨機(jī)生存群, 由兩個(gè)子群體組成. 分別為:(1)1600個(gè)新生兒; (2)10 歲的 540 個(gè)個(gè)體.群體中的個(gè)體服從下列的生存分布:0, 10, 70:40, 39, 26xxl令Y1,Y2分別表示

14、兩個(gè)子群體活過(guò)70歲的個(gè)體總數(shù).試求 , 使得 12()0.05.P YYc解：本題實(shí)際上是求分布的分位點(diǎn)c的問(wèn)題。為此，應(yīng)首先考慮兩個(gè)子群中活過(guò)70歲的總?cè)藬?shù)變量服從什么分布？由于個(gè)體的數(shù)量較多，可以利用中心極限定理來(lái)近似其分布。令 表示1600個(gè)新生兒的未來(lái)生存時(shí)間， 表示540個(gè)10歲個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間，則121600(0),(0,),(0)TTT12540(10),(10),(10)TTT為了求出中心極限定理中的獨(dú)立隨機(jī)變量和的標(biāo)準(zhǔn)化變量，必須先計(jì)算上述和變量的期望和方差?？汕蟮茫?6005401(0)702(10)6011,iiTTiiYIYI1 6 0 01( 0 )7 0 7 0

15、015 4 02(1 0 )6 0 6 01 016 01 01 0()()1 6 0 02 61 6 0 01 0 4 0 ,4 0()()5 4 02 65 4 05 4 03 6 0 ,3 9iiTiTiEYEIpEYEIpll方差為111 (0) 707007002 (10) 60( )1600()26141600(1)16004040364,( )540()120.TTVar YVar IppVar YVar I由中心極限定理可得Y_1+Y_2近似服從正態(tài)分布，即1212121212121212()()( )()()()1()( )()( )()14001()0.05,22YYEYE

16、YP YYcPVar YVar YcEYEYcEYEYVar YVar YVar YVar Yc 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可知所以， 由期望生存人數(shù)還可以直接計(jì)算未來(lái)生存整年數(shù)的期望e_x,(1.645)0.95,1.6452214001436.2.c 111.xnxnnxnxnnxxllepll1.5 生命表l1.5.1 一些函數(shù) (生命表的構(gòu)造及人口理論中常使用的變量):l中心死亡率 :l定義 l令 10:,:nxnxxxntxqmmmp dt10( )( ) :txxxt pt dta xq1000,:.ttxx sxx sxx sxxLlds Tlds YTds LLl結(jié)論1.5.1 中心死亡

17、率和a(x)滿(mǎn)足( )( ( ) |( )1),.nxnxnxda xE T xT xmL結(jié)論1.5.2 ,(min( ),),.nxnxxxntxxxxxmLllLl ET xtTl el a(x)表示在年齡段x,x+t）死亡的個(gè)體在此年齡段內(nèi)生存時(shí)間的期望；l tLx 表示生存群中的所有個(gè)體在年齡段x,x+t）總生存時(shí)間的期望；l Tx表示活到 x歲的lx 個(gè)個(gè)體的未來(lái)生存時(shí)間的期望。l例1.5.1 證明:11( )(1( )( )1/ 2()/ 2xxxxxxLa x la x la xLll1.5.2 生命表簡(jiǎn)介l根據(jù)觀察到的死亡記錄構(gòu)造在每一年齡死亡和生存概率的列表， 它給出某一整數(shù)

18、年齡的一群個(gè)體在未來(lái)死亡和生存人數(shù)的變化情況。（這里死亡率只與年齡有關(guān)）l生命表的分類(lèi)：l我國(guó)編制的生命表（1990-1993）l例1.5.21.6 分?jǐn)?shù)年齡上的分布假設(shè)lT(x) = K(x) + S(x), K(x)分布由生命表, S(x)的分布無(wú)法由生命表.l1.6.1 Uniform Distribution of Death (UDD)假設(shè), 或線(xiàn)性插值假設(shè):l s(x+t)=(1-t)s(x)+ts(x+1).l結(jié)論1.6.1 x,x+1), UDD成立, 0t1, 則(1). (2).1(1),;x txxtxxlt ltldtd( ),( ),( )1xtxxT xxxxqqtqftqttq結(jié)論結(jié)論1.6.2 已知在每一年齡年UDD成立, 則K(x)與S(x)相互獨(dú)立, 且S(x)服從0,1上的均勻分布.l例1.6.1, 例1.6.2,例1.6.3l1.6.2 常數(shù)死亡力假設(shè)及Balducci假設(shè):l結(jié)論結(jié)論1.6.3 常數(shù)死亡力假設(shè)成立, 則 (1)期望生存人數(shù)滿(mǎn)足ln(1 )lnlnx t