第二章 三類典型的偏微分方程

1、第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程三類典型的偏三類典型的偏微分方程微分方程第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 一根緊拉著的一根緊拉著的均勻均勻柔軟柔軟弦，長為弦，長為l，兩端固定在，兩端固定在X軸上軸上O、L兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于OL方向的方向的微小微小橫向橫向振動(dòng)時(shí)，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。振動(dòng)時(shí)，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。OLxy2.1 波動(dòng)方程波動(dòng)方程 一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程 最典型的一維波動(dòng)問題是均勻弦的橫向振動(dòng)問題。最典型的一維波動(dòng)問題是均勻弦的橫向振動(dòng)問題。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典

2、型的偏微分方程 討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：要確定弦的運(yùn)動(dòng)方程，需要明確：確定確定弦的弦的運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛頓第二定律牛頓第二定律. （3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立理方程（即建立泛定方程泛定方程） (1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ( , )u x t條件條件：均勻均勻柔軟柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小振幅極小

3、的的 橫振動(dòng)。橫振動(dòng)。不受外力不受外力影響。影響。研究對(duì)象研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在線上某點(diǎn)在 t 時(shí)刻沿垂直方向的位移。時(shí)刻沿垂直方向的位移。( , )u x t第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程簡化假設(shè)：簡化假設(shè)： 由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向張力沿弦的切線方向。21 ( )xxuxxsdx 在弦上任取一小段在弦上任取一小段 它的弧長為：它的弧長為：( ,)x xx由于假定弦在平衡位置附近做由于假定弦在平衡位置附近做微小振動(dòng)微小振動(dòng)， 很小，從而很小，從而ux1xxxsdxx 可以認(rèn)為這段弦在振動(dòng)中沒有伸長，由胡克定律可可

4、以認(rèn)為這段弦在振動(dòng)中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動(dòng)過程中知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動(dòng)過程中保持不變保持不變，與時(shí)，與時(shí)間無關(guān)。即間無關(guān)。即 點(diǎn)處的張力記為點(diǎn)處的張力記為 。x( )T x 由于振幅極小，由于振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小張力與水平方向的夾角很小。 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程cos1cos1 g s M M s x T y xx x T 橫向：橫向：( )cos()cosT xT xx其中：其中： 作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)

5、牛頓牛頓運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)定律，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。( )()0T xT xx 也就是說，張力也就是說，張力 是一個(gè)常數(shù)。是一個(gè)常數(shù)。T橫向：橫向：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22(, )( , )( , )0u xx tu x tu x tTxgxxxt 22(, )( , )(, ) 01u xx tu x tu xx txxxx 由由中值定理中值定理：0 xxxx 令，此時(shí)2222( , )( , )0u x tu x tTxxgxxt ( )sin()sin T xT xxsgsa 縱向：縱向：( , )(, )sintan,

6、sintanu x tu xx txx a 為小弦段在縱向的加速度 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22222uuagtx一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程2Ta 令：令：-非齊次方程非齊次方程自由項(xiàng)自由項(xiàng)22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：2222( , )( , )u x tTux tgtxa 就是弦的振動(dòng)傳播速度就是弦的振動(dòng)傳播速度第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程假設(shè)外力在假設(shè)外力在 處外力密度為：處外力密度為： 方向垂直于方向垂直于 軸。軸。x( , )F x tx22(, )

7、( , )( , )( , )xxxu xx tu x tu x tTxgxFt dxxxt 等號(hào)兩邊用中值定理：并令等號(hào)兩邊用中值定理：并令0 x 2222( , )( , )( , )u x tu x tTgF x txt 22222( , )uuagf x ttx( , )( , )F x tf x t為單位質(zhì)量在為單位質(zhì)量在 點(diǎn)處所受外力。點(diǎn)處所受外力。x當(dāng)存在外力作用時(shí)：當(dāng)存在外力作用時(shí)：等號(hào)兩邊除以等號(hào)兩邊除以第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量：弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量： 。由于它描寫的是。由于它描寫的是弦的振動(dòng)，因而它又稱為弦

8、的振動(dòng)，因而它又稱為一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程。類似可以導(dǎo)出二維波。類似可以導(dǎo)出二維波動(dòng)方程（如膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程，它們的形式分別為：動(dòng)方程（如膜振動(dòng)）和三維波動(dòng)方程，它們的形式分別為：, x t2222222( , , )uuuaf x y ttxy222222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz二維波動(dòng)方程：二維波動(dòng)方程：三維波動(dòng)方程：三維波動(dòng)方程：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 建立數(shù)學(xué)物理方程是一個(gè)辯證分析的過程。建立數(shù)學(xué)物理方程是一個(gè)辯證分析的過程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對(duì)所研究的對(duì)象由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對(duì)所研究的對(duì)象能夠抓

9、住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化。使問題得到適度的簡化。 總結(jié)：總結(jié)：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 均勻桿的縱振動(dòng)均勻桿的縱振動(dòng) 考慮一考慮一均勻細(xì)桿均勻細(xì)桿，沿桿長方向作，沿桿長方向作微小微小振動(dòng)。假設(shè)在垂直振動(dòng)。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動(dòng)情況(即偏移平衡位置位即偏移平衡位置位移移)完全相同。試寫出桿的振動(dòng)方程。完全相同。試寫出桿的振動(dòng)方程。在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻t，此截面相對(duì)于平衡位置的位移為，此截面相對(duì)于平衡位置的位移為u(x, t)。在桿中隔離出一小

10、段在桿中隔離出一小段(x, x + dx)，分析受力：，分析受力：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程通過截面通過截面x，受到彈性力，受到彈性力P(x,t)S的作用的作用通過截面通過截面x + dx受到彈性力受到彈性力P(x + dx, t)S的作用的作用P(x, t)為單位面積所受的彈性力為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力應(yīng)力)，沿，沿x方向?yàn)檎较驗(yàn)檎鶕?jù)根據(jù)Newton第二定律，就得到：第二定律，就得到：22(, )( , )uP x dx tP x t SSdxtuPEx根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律22uPtx22220uEutxEa令：222220uuatx第二章第二章 三類

11、典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 靜止空氣中一維微小壓力波的傳播靜止空氣中一維微小壓力波的傳播2 01 uutxxuuputxxpa 設(shè)設(shè)為空氣的密度，為空氣的密度，u u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程物態(tài)方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，考慮到微小壓力波，u u 是一階小量，是一階小量， 是二階小量是二階小量uuuxx和1 uuptxtx ，第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程utx 21pptptat1uptx 代入代入21upxat 得得對(duì)對(duì)t t求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得22221upx tat 利用

12、利用22222ppatx得得一維聲波方程。一維聲波方程。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程222222222ppppatxyz 靜止空氣中三維聲波方程靜止空氣中三維聲波方程 微幅水波動(dòng)方程微幅水波動(dòng)方程22222),(),(xtxattx式中：式中： gHa 水面水面波高波高為為 pa為聲波速度為聲波速度 水波水波速度速度為為第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2.2 擴(kuò)散方程擴(kuò)散方程 問題問題：一根長為：一根長為l 的的均勻?qū)峋鶆驅(qū)峒?xì)桿，截面為一個(gè)單位細(xì)桿，截面為一個(gè)單位面積。面積。側(cè)面絕熱側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為。其熱傳導(dǎo)系數(shù)

13、為k，比熱，比熱為為c，線密度為，線密度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。 1x2xAB一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱量從高溫處流向低溫處。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程所要研究的所要研究的物理量物理量：( , )T x t1x2x( , )T x t分析分析：設(shè)桿長方向?yàn)椋涸O(shè)桿長方向?yàn)?x 軸，考慮桿上從軸，考慮桿上從到到的一段的一段(代表代表)，設(shè)桿中溫度分布為設(shè)桿中溫度分布為2112t tt ttt t 熱量 熱量通過

14、邊界的流入量滿足滿足的物理規(guī)律：的物理規(guī)律：均勻物體均勻物體：物體的物體的密度密度為常數(shù)為常數(shù)各向同性各向同性： 物體的物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)均為常數(shù)假設(shè)假設(shè)條件：條件：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程利用利用 Fourier 熱力學(xué)定律熱力學(xué)定律和和能量守恒定律能量守恒定律來建立來建立熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程。 由由 Fourier 熱力學(xué)定律熱力學(xué)定律，單位時(shí)間內(nèi)通過，單位時(shí)間內(nèi)通過 A 端端面的熱量為：面的熱量為：22(, )xT x tQk Tkx 單位時(shí)間內(nèi)通過單位時(shí)間內(nèi)通過 B 端面的熱量為：端面的熱量為：11( , )xT x tQk

15、Tkx 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程在在 dt 時(shí)段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量時(shí)段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量 12211(, )( , )()()xxT x tT x tdQQQdtkdtxx2122( , )xxT x tkdxdtx12 , t t2211212( , )t xt xT x tQkdxdtx1( , )T x t在任意時(shí)段在任意時(shí)段內(nèi)，內(nèi)，同時(shí)在此時(shí)段內(nèi)同時(shí)在此時(shí)段內(nèi), 微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由流入微元的熱量流入微元的熱量 升高為升高為 2( , )T x t第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程21221 ( , )(

16、 , )xxQcT x tT x tdx2211( , )t xt xT x tcdxdtt12QQ12 , t t12 ,x x22TTcktx為此所需的熱量為為此所需的熱量為由由能量守恒定律能量守恒定律可得：可得： 由由和和的任意性可得的任意性可得第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程222TTatx2kac即：即：其中其中 內(nèi)部有熱源的情況：內(nèi)部有熱源的情況：22( , )TTckF x ttx( , ),F x tf x tc222,TTaf x ttx其中其中 分析分析：設(shè)熱源強(qiáng)度：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時(shí)間在單位長度中產(chǎn)生的熱量單位時(shí)間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為為F(x,

17、t)，代表段的吸熱為，代表段的吸熱為Fdxdt。 22113( , )t xt xQF x t dxdt第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程根據(jù)熱學(xué)中的根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律傅立葉定律在在dt時(shí)間內(nèi)從時(shí)間內(nèi)從dS流入流入V的熱量為：的熱量為：從時(shí)刻從時(shí)刻t1到到t2通過通過S流入流入V的熱量為的熱量為 211ddttSQk TSt高斯公式高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 2121d dttVQkT V t dd dTQkS tn d dkT nS td dk TS t 熱場熱場MSSVn 三維熱傳導(dǎo)方

18、程的推導(dǎo)三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2121d dttVQkT V t 1( , , , )T x y z t2( , , , )T x y z t221( , , , )( , , , ) dVQcT x y z tT x y z tV21QQ 流入的熱量導(dǎo)致流入的熱量導(dǎo)致V V 內(nèi)的溫度發(fā)生變化內(nèi)的溫度發(fā)生變化 22112d dd dttttVVTkT V tcV tt 2TkTct2TkTtc22TaTft流入的熱量：流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：21d dttVTct Vt21d dttVTcV tt 22

19、aT三維熱傳導(dǎo)方程三維熱傳導(dǎo)方程熱場熱場MSSVn有熱源三維熱傳導(dǎo)方程有熱源三維熱傳導(dǎo)方程213d dttVQF V t 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22,CCF x ttx 一維濃度擴(kuò)散方程一維濃度擴(kuò)散方程 動(dòng)量輸運(yùn)方程動(dòng)量輸運(yùn)方程22uufxtxC為物質(zhì)濃度，為物質(zhì)濃度，為擴(kuò)散系數(shù)。為擴(kuò)散系數(shù)。 u為速度，為速度，fx為流體體積力，為流體體積力， 為流體粘性系數(shù)。為流體粘性系數(shù)。 顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動(dòng)量輸運(yùn)這些過程屬于同顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動(dòng)量輸運(yùn)這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程同一類型方程來描述。來描述。 第二章第二章 三

20、類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2.3 穩(wěn)態(tài)方程穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程調(diào)和方程) 穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時(shí)表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時(shí)間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。 熱傳導(dǎo)問題，控制方程為：熱傳導(dǎo)問題，控制方程為： 2222222( , , , )TTTTaf x y z ttxyz設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為 f(x, y, z) 流場溫度不隨時(shí)間變化，即流場溫度不隨時(shí)間變化，即T=T( x, y, z )