B第4章隨機變量的數字特征浙江農林

1、概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征1隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望2隨機變量的方差隨機變量的方差3協方差與相關系數協方差與相關系數第四章習題課第四章習題課概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計第四章第四章 隨機變量的數字特征隨機變量的數字特征概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望引例引例 設某射擊手在同樣的條設某射擊手在同樣的條件下件下,瞄準靶子相繼射擊瞄準靶子相繼射擊90次次,(命中的環(huán)數是一個隨機變量命中的環(huán)數是一個隨機變量).射中次數記錄如下射中次數記錄如下試問試問:該射手每次射擊平均命中靶多

2、少環(huán)該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)?5432101513220103090159013902902090109030命中環(huán)數命中環(huán)數 k命中次數命中次數頻率頻率knnnk概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解平均射中環(huán)數平均射中環(huán)數射射擊擊次次數數射射中中靶靶的的總總環(huán)環(huán)數數 9030520410315213120 90305902049010390152901319020 .37. 3 50kknnk 設射手命中的環(huán)數為隨機變量設射手命中的環(huán)數為隨機變量 Y .概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 50kknnk 平均射中環(huán)數平均射中環(huán)數頻率隨機波動頻率隨機波動隨機波動隨機波動 50kknnk n

3、 50kkpk隨機波動隨機波動 穩(wěn)定值穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數平均射中環(huán)數”的穩(wěn)定的穩(wěn)定值值? “平均射中環(huán)數平均射中環(huán)數”等于等于射中環(huán)數的可能值與其概率之積的累加射中環(huán)數的可能值與其概率之積的累加概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.1離散型隨機變量的數學期望離散型隨機變量的數學期望()iiiXxEp()E X不存在不存在 |iiixp 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計所以所以A的射擊技術較的射擊技術較B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098擊中環(huán)數XBA射手名稱()8 0.39 0.1 10 0.69.3AE X ()8 0.29 0.5 10 0.39.1BE

4、X 例例 有有A，B兩射手，他們的射擊技術如表所示，試兩射手，他們的射擊技術如表所示，試問哪一個射手本領較好？問哪一個射手本領較好？解解 A射擊平均擊中環(huán)數為射擊平均擊中環(huán)數為B射擊平均擊中環(huán)數為射擊平均擊中環(huán)數為概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 解解 分布律為：分布律為： 平均廢品數為：平均廢品數為： ()1.1 0.40 021(3 0./30.21E X個 天）概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計例例 設隨機變量設隨機變量X具有如下的分布，求具有如下的分布，求E(X).解解 雖然有雖然有但是但是因此因此E(X)不存在不存在.2ln1) 1(1kkk,1,2,.(221)1kkkkP Xk1k

5、kkPxXx111kkkkkx p12( 1)12kkkkk=?=?概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.2連續(xù)型隨機變量的數學期望連續(xù)型隨機變量的數學期望離散型隨機變量離散型隨機變量X的數學期望為的數學期望為()kkkE Xx p自然要問連續(xù)型隨機變量自然要問連續(xù)型隨機變量X的數學期望是什么的數學期望是什么?()?E X概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計設設p(x) 是連續(xù)型隨機變量是連續(xù)型隨機變量X的密度函數的密度函數,取分點取分點x0 x1xn+1則隨機變量則隨機變量X落在落在xi=(xi, xi+1)中的概率為中的概率為與與X近似的隨機變量近似的隨機變量Y的數學期望為的數學期望為niiii

6、xxpx0)(由微積分知識自然想到由微積分知識自然想到X的數學期望為的數學期望為dxxxp)(1( )( )iiixxiiiixP Xxp x dP Yxxp xx相當小時概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計()p xEdxXx( )x p x dx ()E X不存在不存在 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計其他, 010,2)(xxxp例例 設隨機變量設隨機變量X的概率密度函數為的概率密度函數為試求試求X的數學期望的數學期望.dxxxpXE)()(解解32322103102xdxx102xdxx0101( )( )( )pxdxxp xdxxdxp xx0101020 xdxxdxxxdx概率論與

7、數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計xxxp,111)(2dxxxdxxxdxxpx02212111|)(|011)(2dxxxdxxxp例例 若隨機變量若隨機變量X的概率密度函數為的概率密度函數為問隨機變量問隨機變量X的數學期望的數學期望E(X)是否存在是否存在.解解所以所以E(X)不存在不存在.但但02202| )1ln(1)1 (111xxdx概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.3隨機變量函數的數學期望隨機變量函數的數學期望 1()()()iiig Xg xEp 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計()( )()( )dEp xxg Xg x 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 解解 ( )(32)E Y

8、EX( 2) 0.331 (0)20.32 33(1) 0.4(2) 0.23.822 6 . 12 . 024 . 013 . 001 . 0)2()()(22222XEZE概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計(,)(, )ijijijg X Yg xyEp 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計(,)( ,( , )dd)Ep x yxyg X Yg x y 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計Xp1234 . 02 . 04 . 0解解的分布律為的分布律為XXY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.)(, )(),(),(:2YXEXYEYEXE 求求例例 設設 ( X , Y

9、) 的分布律為的分布律為概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計. 03 . 014 . 003 . 01)( YE得得1 0121 21031Yp1 013 . 04 . 03 . 0的分布律為的分布律為Y. 24 . 032 . 024 . 01)( XE得得p),(YXXY)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0)1 , 1(1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 0由于由于概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計p),(YX)1, 1( 2 . 0)0 , 1(1 . 0) 1 , 1 (1 . 0) 1, 2( 1 . 0)1

10、 , 2(1 . 0)0 , 3(3 . 0)1 , 3(1 . 02)(YX 41091944 . 091 . 002 . 013 . 04)(2 YXE得得. 5 1 . 0313 . 001 . 0211 . 0211 . 011 . 002 . 01 XYE于于是是.151 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1.4數學期望的性質數學期望的性質1. 設設 C 是常數是常數, 則有則有.)(CCE 2. 設設 X 是一個隨機變量，是一個隨機變量，C 是常數，則有是常數，則有).()(XCECXE 3. 設設 X, Y 是兩個隨機變量，則有是兩個隨機變量，則有).()()(YEXEYXE 4.

11、 設設 X, Y 是相互獨立的隨機變量，則有是相互獨立的隨機變量，則有).()()(YEXEXYE 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計121()(126)66iE X從而由期望的性質可得從而由期望的性質可得 6611()()iiiiE XEXE X1216(126)62166概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計2隨機變量的方差隨機變量的方差引例引例 A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下兩種手表的日走時誤差分別具有如下的分布律：的分布律：易知易知E(XA)=E(XB)=0.由數學期望無法判別兩種手由數學期望無法判別兩種手表的優(yōu)劣表的優(yōu)劣.但直覺告訴我們但直覺告訴

12、我們A優(yōu)于優(yōu)于B,怎么樣用數學怎么樣用數學的方法把這種直覺表達出來呢的方法把這種直覺表達出來呢?概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計2.1方差的概念方差的概念標準差（標準差（Standard variance）: ()()XD X2()Var()D XXEXE X 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計方差的意義方差的意義 方差是一個常用來體現隨機變量方差是一個常用來體現隨機變量 X 取值分散程度的量取值分散程度的量. 如果如果 D(X) 值大值大, 表示表示 X 取取值分散程度大值分散程度大, E(X) 的代表性差的代表性差; 而如果而如果 D(X) 值小值小, 則表示則表示X 的取值比較集中的取值比

13、較集中, 以以 E(X) 作為隨作為隨機變量的代表性好機變量的代表性好.概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計22()()()D XE XE X 證明證明2()()XEXXDE 222() () XXE XE XE 222()()(XX EEXEEX 22)()(XEXE 22()()E XEX定理定理概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計例例 A，B兩種手表的日走時誤差分別具有如下的兩種手表的日走時誤差分別具有如下的分布律，問哪種手表質量好些分布律，問哪種手表質量好些?2222222222()() ( 1) 0.1 0 0.8 1 0.1 0.2()() ( 2) 0.1 ( 1) 0.20 0.4 1

14、 0.2 2 0.1 1.2AABBD XE XD XE X 解解 易知易知E(XA)=E(XB)=0.所以所以由于由于D(XA) 0從而有從而有D(X)E(X-C)2概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計3協方差與相關系數協方差與相關系數概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計3.1協方差協方差(, )() ( )Cov X YE XE XYE Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 (, )() ( )Cov X YE XE XYE Y( )()() ( )E XYXE YYE XE X E Y)()()(YEXEXYE概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 Cov

15、(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y) =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z)+EY-E(Y)Z-E(Z) =Cov(X,Z)+Co

16、v(Y,Z)概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 2()()()D XYE XYE XY2()( )E XE XYE Y22()( )E XE XYE Y()( )2Cov(, )D XD YX Y2()( )XE XYE Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 ()()( )2(, )D tXYD tXD YCov tX Y2()2(, )( )0t D XtCov X YD Y2(, )()( )Cov X YD X D Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計2()()2(, )( )0D tXYt D XtCov X YD Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計3.2相關系數相關系數 協

17、方差的數值在一定程度上反映了協方差的數值在一定程度上反映了X與與Y相互相互間的聯系間的聯系,但它受但它受X與與Y本身數值大小的影響本身數值大小的影響. 如令如令X*=kX，Y*=kY，這時，這時X*與與Y*間的相互聯系和間的相互聯系和X與與Y的相互聯系應該是一樣的，但是的相互聯系應該是一樣的，但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)引進相關系數的概念引進相關系數的概念克服這一缺點克服這一缺點.概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計Cov(, )()( )XYX YD XD Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計*()()XE XXD X()( ),()( )XYXE XYE YCovD XD Y概

18、率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計2( , )() e a bE YabX2222()()2( )2()2()E Yb E XaaE YbE XYabE X222()2 ( )02()2 ()2()0eabE XE YaebE XE XYaE Xb概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解方程組得：解方程組得： )(),(0XDYXCovb )(),()()()()(00XDYXCovXEYEXEbYEa)()(min2002,XbaYEbXaYEba)()1 (2YDXY2,min () a bE YabX概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計相關系數的性質：相關系數的性質： 100XbaYP0),(CovY

19、X)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 2,min () a bE YabX)()1 (2YDXY200() 0E Yab X( )0D Y 012XY11XY概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計證明證明 ()() ( )E XYE X E Y(, )()() ( )0Cov X YE XYE X E Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計100XbaYP證明證明 200() E Yab X2(1)( )0XYD Y20000200)()()(0XbaYEXbaYDXbaYE0)(00XbaYD0

20、)(00XbaYE10)(00XbaYP100XbaYP概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計1*XbaYP10)(*XbaYP10)(2*XbaYP0)(2*XbaYE*22,0() min () a bE Yab XE YabX2200() (1)( )XYE Yab XD Y1XY概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相關情況示意圖相關情況示意圖概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD證明證明 Cov(, )0()( )XYX YD XD Y0=Cov(, )

21、()() ( )X YE XYE X E Y)()()(YEXEXYE),(Cov2)()()(YXYDXDYXD)()()(YDXDYXD概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解 ()0E XY 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計()0E X 1( )3E Y (, )()()( )0Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y12(1,1)(1)(1)69P XYP XP Y 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計 解解 1(, )()( )4 923XYCov X YD XD Y()(2)(2)( )2(2, )D UDXYDXD YCovX Y4 ()( )

22、2 2(, )33D XD YCov X Y ( )(2)(2)( )2(2, )D VDXYDXD YCovX Y4()( )22(, )17D XD YCov X Y 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計( ,)(2,2)Cov U VCovXYXY(2,2)(2, )( ,2)( , )CovXXCovX YCov YXCov Y Y4()( )7D XD Y( , )7( )( )551UVCov U VD UD V所以所以因此因此概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計第四章習題課第四章習題課數學期望數學期望方方 差差離散型離散型連續(xù)型連續(xù)型性性 質質協方差與相關系數協方差與相關系數二維隨機變量

23、的數學期望二維隨機變量的數學期望定定 義義計計 算算性性 質質隨機變量函數的隨機變量函數的數學期望數學期望定定 義義協方差協方差的性質的性質相關系數相關系數定理定理概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計隨機變量的數學期望隨機變量的數學期望()iiiXxEp()p xEdxXx1()()()iiig Xg xEp ()( )()( )dEp xxg Xg x 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計(,)(, )ijijijg X Yg xyEp (,)( ,( , )dd)Ep x yxyg X Yg x y 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計數學期望的性質數學期望的性質1. 設設 C 是常數是常數, 則有則

24、有.)(CCE 2. 設設 X 是一個隨機變量，是一個隨機變量，C 是常數，則有是常數，則有).()(XCECXE 3. 設設 X, Y 是兩個隨機變量，則有是兩個隨機變量，則有).()()(YEXEYXE 4. 設設 X, Y 是相互獨立的隨機變量，則有是相互獨立的隨機變量，則有).()()(YEXEXYE 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計隨機變量的方差隨機變量的方差2()Var()D XXEXE X 22()()()D XE XE X 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計方差的性質方差的性質2()()D CXC D X()()( )D XYD XD Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計協方差協方

25、差(, )() ( )Cov X YE XE XYE Y概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計相關系數相關系數Cov(, )()( )XYX YD XD Y100XbaYP0),(CovYX)()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXD概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計oXYoooXXXYYY01-10 =1 =-1相關情況示意圖相關情況示意圖概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計典型例題典型例題題型題型1 求隨機變量的數學期望和方差求隨機變量的數學期望和方差解解 ( )( )dE Xxp xx所以 112d)1(xxcx , 0 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計22)()()(XEXEXD )(2X

26、E 1122112d)1()1(21d)1()1(21xxcxxxc 1122d)1(xxcx 11121112d)1()1(2)1()1(2xxcxxc ( )d1f xx)(d)(2XDxxfx ),()1(21)1(21)( XDXD 于于是是.321)( XD故故概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計題型題型2 求隨機變量函數的數學期望求隨機變量函數的數學期望).1 ,min( ,)1(1)( 2XExxfX求求的概率密度的概率密度設隨機變量設隨機變量 解解)1 ,min( XE xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 1210

27、2d112d12xxxxx.212ln1 例例概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解 ov(, )()( )XYCX YD XD Y0.4 5 612 ()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y25362 1285 ()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y25362 1237 概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解 從數字從數字0, 1, 2, , n中任取兩個不同的數字中任取兩個不同的數字, 求這兩個數字之差的絕對值的數學期望求這兩個數字之差的絕對值的數學期望. , 的絕對值的絕對值為所選的兩個數字之差為所選的兩個數字之差設設 X , 3 , 2 , 1 nX的

28、的所所有有可可能能取取值值為為則則,2 11 nnXP, 21)1(2 nnXP一般的一般的., 2, 1,21)1(nknknkXP nkkXkPXE1)( nknknk121)1(.32 n例例概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計解解. ,)( ,! 0 的值的值與與求求已知已知為為的概率的概率取非負整數值取非負整數值設隨機變量設隨機變量BAaXEnABpnXnn , 的分布列的分布列是是因為因為Xpn 0nnXP 0!nnnBA, 1 BAe,BeA 得得 0!)(nnnBnAXE 1)!1(nnnBA, aABeB .,aBeAa 因此因此例例概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計.,max, 010,2)(,:1551521數學期望和方差數學期望和方差的密度函數的密度函數求求其他其他其共同的密度函數為其共同的密度函數為獨立同分布獨立同分布設隨機變量設隨機變量習習iiXYxxxpXXX 解解的分布函數為的分布函數為iX10,2)(20 xxtdtxFx的的分分布布函函數數為為Y10 ,)()(105 yyyFyFY概率論與數理統(tǒng)計概率論與數理統(tǒng)計的的密密度度函函數數為為Y10 ,10)()()(910 yyydyydFypYY111010)(