示范251 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用

1、2.5等比數(shù)列的前n項和2.5.1等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用從容說課師生將共同分析探究等比數(shù)列的前n項和公式.公式的推導(dǎo)以教材中的“錯位相減法”為最基本的方法，“錯位相減法”也是一種算法，其設(shè)計的思路是“消除差別”，從而達到化簡的目的.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)還有許多方法，可啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生進行探索.例如，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得,再由分式性質(zhì)，得,整理得.教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間.教學(xué)重點 1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo);2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.教學(xué)難點 等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).教具準(zhǔn)備 多媒體課件、投影膠片、投影儀等三維目標(biāo)一、知識與技能

2、1.了解現(xiàn)實生活中存在著大量的等比數(shù)列求和的計算問題；2.探索并掌握等比數(shù)列前n項和公式；3.用方程的思想認識等比數(shù)列前n項和公式，利用公式知三求一；4.體會公式推導(dǎo)過程中的分類討論和轉(zhuǎn)化化歸的思想.二、過程與方法1.采用觀察、思考、類比、歸納、探究得出結(jié)論的方法進行教學(xué)；2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用，作好探究性活動.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過生活中有趣的實例，鼓勵學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生對知識的探究精神和嚴肅認真的科學(xué)態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生的類比、歸納的能力；2.在探究活動中學(xué)會思考，學(xué)會解決問題的方法；3.通過對有關(guān)實際問題的解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與實際生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣. 教學(xué)過程導(dǎo)入新課師

3、國際象棋起源于古代印度.相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者.這個故事大家聽說過嗎？ 生 知道一些，踴躍發(fā)言.師 “請在第一個格子里放上1顆麥粒，第二個格子里放上2顆麥粒，第三個格子里放上4顆麥粒，以此類推.每一個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒的2倍.直到第64個格子.請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求.”這就是國際象棋發(fā)明者向國王提出的要求.師 假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，按目前世界小麥年度產(chǎn)量約60億噸計.你認為國王能不能滿足他的要求？生 各持己見.動筆，列式，計算.生 能列出式子：麥粒的總數(shù)為1+2+22+263=?師 這是一個什么樣的問題？你們計算出結(jié)果了嗎？讓我們一起來分析一下.課件

4、展示：1+2+22+2 63=?師 我們將各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，那么我們得到的就是一個等比數(shù)列.它的首項是1，公比是2，求第1個格子到第64個格子所放的麥粒數(shù)總和，就是求這個等比數(shù)列的前64項的和.現(xiàn)在我們來思考一下這個式子的計算方法：記S=1+2+22+23+2 63，式中有64項，后項與前項的比為公比2，當(dāng)每一項都乘以2后，中間有62項是對應(yīng)相等的，作差可以相互抵消.課件展示：S=1+2+22+23+2 63,2S=2+22+23+263+264,-得2S-S=2 64-1.264-1這個數(shù)很大，超過了1.8410 19，假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，那么麥粒的總質(zhì)量超過了7 0

5、00億噸.而目前世界年度小麥產(chǎn)量約60億噸，因此，國王不能實現(xiàn)他的諾言.師 國王不假思索地給國際象棋發(fā)明者一個承諾，導(dǎo)致了一個很不幸的后果的發(fā)生，這都是他不具備基本的數(shù)學(xué)知識所造成的.而避免這個不幸的后果發(fā)生的知識，正是我們這節(jié)課所要探究的知識.推進新課合作探究師 在對一般形式推導(dǎo)之前，我們先思考一個特殊的簡單情形：1+q+q2+qn=？師 這個式子更突出表現(xiàn)了等比數(shù)列的特征，請同學(xué)們注意觀察.生 觀察、獨立思考、合作交流、自主探究.師 若將上式左邊的每一項乘以公比q，就出現(xiàn)了什么樣的結(jié)果呢？生 q+q2+qn+q n+1.生 每一項就成了它后面相鄰的一項.師 對上面的問題的解決有什么幫助嗎？

6、師 生共同探索：如果記Sn=1+q+q2+qn,那么qSn=q+q2+qn+q n+1.要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=1-qn.師 提問學(xué)生如何處理，適時提醒學(xué)生注意q的取值.生 如果q1，則有.師 當(dāng)然，我們還要考慮一下如果q1問題是什么樣的結(jié)果.生 如果q1，那么Sn=n.師 上面我們先思考了一個特殊的簡單情形，那么，對于等比數(shù)列的一般情形我們怎樣思考？課件展示：a1+a2+a3+an=？教師精講師 在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著一個特殊而且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法.我們將這種方法簡稱為“錯位相減法”.師 在解決等比數(shù)列的一般

7、情形時，我們還可以使用“錯位相減法”.如果記Sn=a1+a2+a3+an,那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq,要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.師 再次提醒學(xué)生注意q的取值.如果q1，則有.師 上述過程如果我們略加變化一下，還可以得到如下的過程：如果記Sn=a1+a1q+a1q2+a1q n-1,那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn,要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q1，則有.師 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯位相減法”. 形式上，前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基

8、本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四個；后者出現(xiàn)的是a1,q,Sn,n四個，這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時，我們才能用上述公式.師 現(xiàn)在請同學(xué)們想一想，對于等比數(shù)列的一般情形，如果q1問題是什么樣的結(jié)果呢？ 生 獨立思考、合作交流.生 如果q1，Sn=na1.師 完全正確.如果q1，那么Sn=nan.正確嗎？怎么解釋？生 正確.q1時，等比數(shù)列的各項相等，它的前n項的和等于它的任一項的n倍.師 對了，這就是認清了問題的本質(zhì).師 等比數(shù)列的前n項和公

9、式的推導(dǎo)還有其他的方法，下面我們一起再來探討一下：合作探究思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有：,再由合比定理，則得,即,從而就有(1-q)Sn=a1-anq.(以下從略)思路二：由Sn=a1+a2+a3+an得Sn=a1+a1q+a2q+a n-1q=a1+q(a1+a2+a n-1)=a1+q(Sn-an),從而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下從略)師 探究中我們們應(yīng)該發(fā)現(xiàn)，Sn-S n-1=an是一個非常有用的關(guān)系，應(yīng)該引起大家足夠的重視.在這個關(guān)系式中，n的取值應(yīng)該滿足什么條件？生 n1.師 對的，請同學(xué)們今后多多關(guān)注這個關(guān)系式：Sn-S n-1=an，n1.師 綜合上面的探究過程

10、，我們得出：或者例題剖析【例題1】 求下列等比數(shù)列的前8項的和：(1),；(2)a1=27,a9=,q0.合作探究師生共同分析：由(1)所給條件，可得，,求n8時的和，直接用公式即可.由(2)所給條件，需要從中獲取求和的條件，才能進一步求n8時的和.而a9=a1q8，所以由條件可得q8= =，再由q0，可得，將所得的值代入公式就可以了.生 寫出解答：(1)因為,，所以當(dāng)n8時，.(2)由a1=27,，可得，又由q0，可得,于是當(dāng)n8時，.【例題2】 某商場今年銷售計算機5 000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30 000臺(結(jié)果保留到

11、個位)？師 根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列，并明確這是一個已知Sn=30 000求n的問題.生 理解題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并找出等比數(shù)列中的基本量，列式，計算.解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列an，其中a1=5 000,q=1+10%=1.1,Sn=30 000.于是得到,整理得1.1n=1.6,兩邊取對數(shù)，得nlg1.1=lg1.6,用計算器算得5(年).答：大約5年可以使總銷售量達到30 000臺.練習(xí)：教材第66頁，練習(xí)第1、2、3題.課堂小結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)；特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了“錯位相減法”.2.等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用.因為公式涉及到等比數(shù)列的基本量中的4個量，一般需要知道其中的3個，才能求出另外一個量.另外應(yīng)該注意的