第5章-導(dǎo)數(shù)和微積分-5-3參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1、 平面曲線通常用方程來表示;一般情形下則采用參數(shù)方程這樣做最明顯的好處,是能方便地推廣為多維空間的情形, 例如 中的曲線: 3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)學(xué)分析 第五章導(dǎo)數(shù)和微分( )yf x ( , )0F x y 或( ),( ),.xx tyy ttI( ),( ),( ),.xx tyy tzz ttI3R數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)平面曲線設(shè)平面曲線 C 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為平面曲線兩種方程之間的聯(lián)系平面曲線兩種方程之間的聯(lián)系. ( ),.(1)( ),xttyt 如果函數(shù)如果函數(shù) 有反函數(shù)有反函數(shù)( )xt ),(1xt 1( )( ).yxf x

2、確定復(fù)合函數(shù)確定復(fù)合函數(shù)( ), ( ),tt 如如果果都都可可導(dǎo)導(dǎo), 0)( t 且且根據(jù)復(fù)合根據(jù)復(fù)合這種由參數(shù)方程這種由參數(shù)方程 (1) 所表示的函數(shù)所表示的函數(shù), 稱為參變量函稱為參變量函則則(1)式可式可由此說明由此說明數(shù)數(shù).后退 前進(jìn) 目錄 退出函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)和反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 得到得到數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( ),.(1)( ),xttyt ddd( )dd.(2d)ddd d( )yyttyxttxtxt 設(shè)由設(shè)由 (1) 式表示的曲線式表示的曲線 C的割線的割線 的斜率為的斜率為00( ),( )Qtttt PQ00( (

3、), ( )Ptt 在在點(diǎn)點(diǎn)0000( )(),( )()tttyxttt (2)(2) 式的幾何意義如下式的幾何意義如下: 處有切線處有切線. 過點(diǎn)過點(diǎn) 及鄰近點(diǎn)及鄰近點(diǎn) P如果如果0( ),( )ttt 在在點(diǎn)點(diǎn)則切線則切線, 0)(0 t 可導(dǎo)，可導(dǎo)，的斜率為的斜率為0tanlimtyx 00000 ( )() lim ( )() ttttttttt ,)()(00tt 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)22( )( )0,tt 則稱曲線則稱曲線 C 為為光滑曲線光滑曲線. , , 若若在在上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)上都存在連續(xù)導(dǎo)數(shù), ,且且yQOyxPx C切線切線,

4、 且切線與且切線與 x 軸正向的夾角軸正向的夾角( ) tt 是是 的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .,0)(0時時當(dāng)當(dāng) t 有有.)()(cot00tt 其中其中 是切線與是切線與 x 軸軸 正向的夾角正向的夾角 ( 見圖見圖 ) . .光滑曲線的每一點(diǎn)都存在光滑曲線的每一點(diǎn)都存在數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例例1 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程cos ,(0, )sin ,xattybt ( 這是上半橢圓方程這是上半橢圓方程 ) 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) 的的( )yf x 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 并求此橢圓在并求此橢圓在 處的切線方程處的切線方程.4t ddddddyyxttx

5、4d.dtybax 故所求切線為故所求切線為: :22().22bbayxa 解解 由公式由公式 (2) 得到得到( sin )cot ,( cos )btbtata 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )cos ,( )sin.xy 例例2 若曲線若曲線 由極坐標(biāo)方程由極坐標(biāo)方程 ( ) 給出給出, , 則則C可以把它轉(zhuǎn)化成以極角可以把它轉(zhuǎn)化成以極角 為參數(shù)的參數(shù)方程為參數(shù)的參數(shù)方程xOT HM C dd,ddxy如果存在如果存在, 0dd x且且則則d( ( )sin )( )sin( )cosd( ( )cos )( )cos( )sinyx ( )tan(

6、 ).(3)( )( )tan 數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)夾角夾角 的正切是的正切是將將 (3) 式代入式代入 (4) 式式, 化簡后可得化簡后可得tantantantan().(4)1tantan ( )tan.(5)( ) 夾角夾角 tan. 的的正正切切過過 M 的射線的射線 OH ( 即點(diǎn)即點(diǎn)M的向徑的向徑 ) 與切線與切線 MT 的的xOT HM C (3) 式表示的是曲線式表示的是曲線)( 線線 MT 與極軸與極軸 Ox 的的( , )M 在在點(diǎn)點(diǎn)處處的切的切數(shù)學(xué)分析 第五章 導(dǎo)數(shù)和微分高等教育出版社3 參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證證, 因因?yàn)闉閷γ棵恳灰恢抵礱rctan2.常常數(shù)數(shù)所以這條曲線上任一點(diǎn)的切線與向徑的夾角等于所以這條曲線上任一點(diǎn)