二階常系數(shù)齊次微分方程

1、1二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法二階常系數(shù)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)2引例引例例例: :設(shè)有一彈簧下掛一重物設(shè)有一彈簧下掛一重物,如果使物體具有一個(gè)初如果使物體具有一個(gè)初始速度始速度00 v,物體便離開平衡位置物體便離開平衡位置,并在平衡位置并在平衡位置附近作上下振動附近作上下振動.試確定物體的振動規(guī)律試確定物體的振動規(guī)律)(txx .解解受力分析受力分析;. 1cxf 恢復(fù)力恢復(fù)力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo3,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndt

2、xd物體自由振動的微分方程物體自由振動的微分方程,sin ptHF 若受到鉛直干擾力若受到鉛直干擾力pthxkdtdxndtxdsin2222 強(qiáng)迫振動的方程強(qiáng)迫振動的方程這些方程特點(diǎn)：未知函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的這些方程特點(diǎn)：未知函數(shù)及其一階、二階導(dǎo)數(shù)的次數(shù)都是一次的，且未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)均次數(shù)都是一次的，且未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)均為常數(shù)。為常數(shù)。4的方程叫做的方程叫做二階常系數(shù)線性微分方程二階常系數(shù)線性微分方程)(:,22xfqydxdypdxyd 形形如如如如上上例例時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階常系數(shù)線性齊次微分方程二階常系數(shù)線性齊次微分方程時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0)( xf二階常系數(shù)線性非齊

3、次微分方程二階常系數(shù)線性非齊次微分方程),()(:是是常常數(shù)數(shù)即即qpxfqyypy 5線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)二階線性常系數(shù)齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性常系數(shù)齊次微分方程解的結(jié)構(gòu): :定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(1xy與與)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的兩兩個(gè)個(gè)解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21, CC是是常常數(shù)數(shù)）問題問題: :一一定定是是通通解解嗎嗎？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy 這個(gè)定理表明了二階常系數(shù)線性齊次微分方程這個(gè)定理表明了二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解具有疊加性

4、。的解具有疊加性。 6如：如：xyxy2cos2,2cos21都是方程都是方程 的解的解04 yy但把但把 疊加得疊加得 21,yyxCxCyCyCy2cos22cos212211xCxCC2cos2cos)2(21其中其中 212CCC7才是通解？2211yCyCy那么在什么情況下那么在什么情況下 由于只有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所以它不由于只有一個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，所以它不是是下列下列二階微分方程二階微分方程的通解。的通解。 為了解決這個(gè)問題，下面給出函數(shù)線性相為了解決這個(gè)問題，下面給出函數(shù)線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義。關(guān)和線性無關(guān)的定義。 04 yy8對于兩個(gè)不恒等于零的兩個(gè)函數(shù)對于兩個(gè)不恒等于零

5、的兩個(gè)函數(shù) 21,yy如果存在一個(gè)常數(shù)如果存在一個(gè)常數(shù)C C使使 21yCy那么把函數(shù)那么把函數(shù) 叫做線性相關(guān)；否則叫做線叫做線性相關(guān)；否則叫做線性無關(guān)。性無關(guān)。 21,yy如：如： xyxy2cos2,2cos2122cos2cos212xxyy所以所以 是線性相關(guān)的。是線性相關(guān)的。 12,yy9而而 xyxy2cos,2sin212kxcxxxyy2cot2sin2cos12此時(shí)此時(shí) 是線性是線性無無關(guān)的。關(guān)的。 12,yy, 0 yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy此時(shí)此時(shí) 是線性是線性無無關(guān)的。關(guān)的。 12,yy10定義：設(shè)定義：設(shè)nyyy,21為定義在區(qū)

6、間為定義在區(qū)間I內(nèi)的內(nèi)的n個(gè)函數(shù)如果存在個(gè)函數(shù)如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)，使得個(gè)不全為零的常數(shù)，使得當(dāng)當(dāng)x在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立在該區(qū)間內(nèi)有恒等式成立 02211 nnykykyk，那么稱這那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間個(gè)函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)內(nèi)線性相關(guān)線性相關(guān)否則否則稱稱線性無關(guān)線性無關(guān)例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，線性無關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)),( x11定理定理 2 2：如果：如果)(1xy與與)(2xy是方程是方程(1)(1)的兩個(gè)線的兩個(gè)線性無關(guān)的特解性無關(guān)的特解, , 那么那么2211yCyCy 就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解. .例如例如, 0

7、yy,sin,cos21xyxy ,tan12常數(shù)常數(shù)且且 xyy.sincos21xCxCy 則則為通解為通解12二階常系數(shù)齊次微方的解法二階常系數(shù)齊次微方的解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式13 有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊

8、次方程的通解為;2121xrxreCeCy )0( 特征根為特征根為14 有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexCCy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(12xrexuy 設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為15 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 jr ,2 jr ,)(1xjey ,)(2xjey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex

9、)(21212yyjy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為特征根為16定義定義 由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為確定其通解的方法稱為特征方程法特征方程法. .076的通解求方程 yyy解解特征方程為特征方程為0762 rr解得解得1, 721rr故所求通解為故所求通解為xxeCeCy271例例1 117.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0442 rr解得解得,221 rr故所求通解為故所求通解為.)(221xexCCy 例例2 218.052

10、的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xCxCeyx 例例3 3并求滿足初始條件的特解：并求滿足初始條件的特解：0, 100 xxyy則則代入初始條件得代入初始條件得故得特解為故得特解為)2sin2cos()2cos22sin2(2121xCxCexCxCeyxx21,121CC).2sin212(cosxxeyx19課堂小結(jié)課堂小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;

11、（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)2002 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr 實(shí)根實(shí)根21rr 復(fù)根復(fù)根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 21一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: : 1 1、04 yy； 2 2、02520422 xdtdxdtxd； 3 3、0136 yyy； 4 4、0365)4( yyy. .二、二、 下列微分方程滿足所給初始條件的特解下列微分方程滿足所給初始條件的特解: : 1 1、0,2,04400 xxyyyyy； 2