豐富多彩的數(shù)學(xué)印象

1、豐富多彩的數(shù)學(xué)印象豐富多彩的數(shù)學(xué)印象“數(shù)學(xué)乃是按照嚴(yán)密的邏輯而構(gòu)成的清晰明確的學(xué)問。 -小平邦彥“數(shù)學(xué)就是研究自然現(xiàn)象中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué) -小平邦彥小平邦彥簡介小平邦彥KodairaKunihiko是日本數(shù)學(xué)家 ,1915年3月16日生于日本東京。1985年榮獲沃爾夫數(shù)學(xué)獎 ,時年70歲。主要成就：他對復(fù)流形、代數(shù)幾何學(xué)作出了重大奉獻(xiàn)。什么是數(shù)學(xué)？不太清楚。但我以為關(guān)心數(shù)學(xué)的某些人會有這樣的感覺 ,認(rèn)為數(shù)學(xué)實際不就是這么回事嗎？本文要表達(dá)一個數(shù)學(xué)家看到數(shù)學(xué)的印象 ,即像我這樣對數(shù)學(xué)專業(yè)以外的事情就不太懂的單純的數(shù)學(xué)家 ,在研究數(shù)學(xué)時 ,感到數(shù)學(xué)是什么呢？我是直率而不加修飾的談這一問題以提供讀者

2、參考。一般認(rèn)為數(shù)學(xué)是按嚴(yán)密的邏輯構(gòu)成的科學(xué) ,即使與邏輯不盡相同 ,卻也大致一樣。但是實際上 ,數(shù)學(xué)與邏輯沒有什么關(guān)系。數(shù)學(xué)當(dāng)然應(yīng)該遵循邏輯 ,但邏輯在數(shù)學(xué)中的作用就像文法在文學(xué)中的作用那樣。書寫符合文法的文章與照著文法去寫小說完全是兩碼事；同樣 ,進(jìn)行正確的邏輯推理與堆砌邏輯去構(gòu)成數(shù)學(xué)理論是性質(zhì)完全不同的性質(zhì)。通常的邏輯誰都明白 ,要是數(shù)學(xué)能歸結(jié)到邏輯 ,那么誰都應(yīng)該懂得數(shù)學(xué)了。但是初中高中很多學(xué)生理解不了數(shù)學(xué)卻是眾所周知的事實。精通語言學(xué)但數(shù)學(xué)成績不好的學(xué)生不在少數(shù)。所以我認(rèn)為數(shù)學(xué)在本質(zhì)上與邏輯不同。數(shù)學(xué)考慮除數(shù)學(xué)外的自然科學(xué) ,例如物理學(xué)可以說是研究自然現(xiàn)象中物理現(xiàn)象的科學(xué)。在同樣的意義

3、上 ,數(shù)學(xué)就是研究自然現(xiàn)象中數(shù)學(xué)現(xiàn)象的科學(xué)。因此 ,理解數(shù)學(xué)就要觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象。這里說的觀察不是用眼睛去看 ,而是根據(jù)某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳 ,但顯然是不同于邏輯推理能力之類的純粹感覺 ,我認(rèn)為更接近于視覺。也可稱之為直覺 ,為了強(qiáng)調(diào)是純粹感覺 ,以下稱此感覺為數(shù)覺。直覺包含著一瞬領(lǐng)悟真諦的含義 ,不太貼切。數(shù)學(xué)的敏銳 ,如同聽覺的敏銳一樣 ,與頭腦好壞沒有關(guān)系指本質(zhì)上沒有關(guān)系的意思 ,而不是統(tǒng)計上沒有相關(guān)關(guān)系。但是要理解數(shù)學(xué) ,不靠數(shù)學(xué)便一事無成。沒有數(shù)覺的人不懂?dāng)?shù)學(xué)就像五音不全的人不懂音樂一樣這只要擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)不行的孩子的家庭教師就馬上明白。你眼前看到的事情孩子卻怎么也看不見

4、,說明起來很吃力。數(shù)學(xué)家自己并不覺得如在證明定理時主要是具備了數(shù)覺 ,所以就認(rèn)為是邏輯上作了嚴(yán)密的證明 ,實際并非如此 ,如果把證明全部用形式邏輯記號寫下看看就明白了。那就過份冗長 ,實際上不可能當(dāng)然不是說證明在邏輯上不嚴(yán)密。而是依照數(shù)覺 ,那些明顯的事實就略去邏輯推理而已。最近每每談及數(shù)學(xué)的 sense感受 ,而作為數(shù)學(xué) sense 根底的感覺 ,可以說就是數(shù)覺。數(shù)學(xué)家因為都有敏銳的數(shù)覺 ,自己反倒不覺得了。數(shù)學(xué)也以自然現(xiàn)象為對象把數(shù)學(xué)的對象看作是自然現(xiàn)象的一部份 ,也許有人說這不講道理 ,但是數(shù)學(xué)現(xiàn)象與物理現(xiàn)象同樣是無可爭辯的實際存在的 ,這明確表現(xiàn)在當(dāng)數(shù)學(xué)家證明新定理時 ,不是說創(chuàng)造了定

5、理 ,而是說發(fā)現(xiàn)了定理。我也證明過一些新定理 ,但絕不是覺得自己想出來的。只不過感到偶而被我發(fā)現(xiàn)了早就存在的定理。正如大家不斷指出的那樣 ,數(shù)學(xué)對理論物理起著難以想象的作用。簡直可以認(rèn)為物理現(xiàn)象彷佛全都遵循著數(shù)學(xué)的法那么。而且在許多場合 ,物理理論所需要的數(shù)學(xué)在該理論被發(fā)現(xiàn)以前很久就已經(jīng)由數(shù)學(xué)家預(yù)先準(zhǔn)備好了。典型的例子要算愛因斯坦廣義相對論中的黎曼空間了。數(shù)學(xué)對物理如此起作用 ,其理由何在呢？過去的說法 ,歸結(jié)起來是說數(shù)學(xué)是物理的語言。也許可以說 ,如廣義相對論中黎曼幾何的作用就是一種語言。但是在量子力學(xué)中 ,數(shù)學(xué)卻真起了魔術(shù)般的神秘作用 ,在這里無論如何也不能認(rèn)為數(shù)學(xué)只是語言了。翻開量子力學(xué)

6、教科書 ,首先看到的是光的干預(yù)、電子的散射等實驗的說明 ,然后說明 ,光子、電子等的粒子狀態(tài)可以用波動函數(shù)即屬于某個 Hilbert 空間的向量來表示并導(dǎo)出與假設(shè)干狀態(tài)的波動函數(shù)有關(guān)的迭加原理。迭加原理認(rèn)為 ,狀態(tài) A 假設(shè)是狀態(tài) B 與 C 的迭加 ,那么 A 的波動函數(shù)就是 B 的波動函數(shù)與 C 的波動函數(shù)的線性組合 ,它是量子力學(xué)的根本原理。什么叫粒子的狀態(tài)呢？例如加速器內(nèi)電子的狀態(tài)就是由加速器決定的 ,所以 ,粒子狀態(tài)可認(rèn)為是該粒子所處的環(huán)境。因此在量子力學(xué)中就用唯一的波動函數(shù)向量來表示復(fù)雜至極的環(huán)境。這里首先是進(jìn)行簡單化、數(shù)學(xué)化的處理。狀態(tài) A 是狀態(tài) B 和 C 的迭加是怎么一回事

7、呢？對于教科書中光的干預(yù)等情形 ,其意義可以認(rèn)為是顯然的 ,而在一般場合 ,卻很難理解環(huán)境 A 是環(huán)境 B 與 C 的迭加的意義。雖然根據(jù)普通觀測的干擾可以說不確定性原理 ,例如不能同時觀測粒子的位置與速度 ,但畢竟不能把粒子同時放在位置觀測裝置與速度觀測裝置中。就是說 ,粒子不能同時存在于二個環(huán)境中。那么什么又是這樣二種環(huán)境的迭加呢？很難說清楚。另一方面 ,波動函數(shù)的線性組合演算在數(shù)學(xué)中卻是完全初等的、簡單明了的。迭加原理認(rèn)為 ,這種簡明的數(shù)學(xué)演算表現(xiàn)了復(fù)雜奇怪狀態(tài)的迭加。就是說數(shù)學(xué)的演算支配著量子力學(xué)的對象即物理現(xiàn)象。明白了迭加的物理意義 ,就知道不是用數(shù)式表示它 ,而是把線性組合表示的狀

8、態(tài)迭加當(dāng)作公理 ,反過來按數(shù)學(xué)演算來確定迭加的意義。正如 R. Feynman 所說 ,迭加原理的說明只能到此為止。只能認(rèn)為量子力學(xué)是基于數(shù)學(xué)不可思議的魔力。所以我認(rèn)為 ,在物理現(xiàn)象的背后在著數(shù)學(xué)現(xiàn)象是無可爭辯的。數(shù)學(xué)是實驗科學(xué)物理學(xué)家研究自然現(xiàn)象 ,在同樣意義上 ,數(shù)學(xué)家研究著數(shù)學(xué)現(xiàn)象。也許有人會說 ,物理學(xué)家做各種各樣的實驗 ,而數(shù)學(xué)家不就是思考嗎？但是 ,這種情況的思考就是思考實驗的意思 ,例如與思考考試題的性質(zhì)不同。我們知道 ,對考試問題 ,只要適當(dāng)組合某個確定范圍內(nèi)的事實 ,一小時內(nèi)一定能夠解決 ,思考的對象、思考的方法都擺在面前。而實驗?zāi)敲词菫榱苏{(diào)查研究原先未知的自然現(xiàn)象 ,當(dāng)然其

9、結(jié)果就無法猜測 ,也許什么結(jié)果也得不到。數(shù)學(xué)也完全一樣 ,它是探究未知的數(shù)學(xué)現(xiàn)象的思考實驗 ,雖說是思考 ,但思考的對象是未知的 ,思考些什么為好也不知道。數(shù)學(xué)研究的最大困難就在于此。思考實驗中最容易理解的形式是調(diào)查實例。例如考慮偶數(shù)最少可表為幾個素數(shù)的和的問題。檢查一下實際的偶數(shù) ,2 是素數(shù)不算 ,4=2+2,6=3+3,8=3+5,10=5+5,100=47+53,. ,總可以表為二個素數(shù)的和。由這一實驗結(jié)果 ,可以猜測除 2 以外的一切偶數(shù)都可表為二個素數(shù)的和的定理成立這是早就有名的哥德巴赫猜測 ,現(xiàn)在還沒有解決。如果這樣幾次調(diào)查實例 ,能夠猜測出定理的形式 ,以后就可以考慮證明該定理

10、 ,那么研究的最初難關(guān)就被突破了。當(dāng)然這是數(shù)學(xué) ,光堆積幾個實例還不是定理的證明 ,證明還必須另外考慮。初等數(shù)論些定理就是首先從這樣的實驗結(jié)果出發(fā)引出猜測 ,然后才證明的。從上個世紀(jì)末到本世紀(jì)初 ,由 F. Enriques、G. Castelnuovo 等意大利代數(shù)幾何學(xué)家得到的驚人成果中 ,依據(jù)實驗的不在少數(shù)。實際上 ,J.A. Todd 在1930年左右發(fā)表的論文中曾明確斷言：代數(shù)幾何是實驗科學(xué)。他們的定理全部得以嚴(yán)密的證明還是最近的事。值得注意的是 ,盡管他們給出的定理證明還很不完全 ,但是定理卻是正確的。發(fā)現(xiàn)新定理最近數(shù)學(xué)的對象一般都非常抽象 ,實例也還是抽象的 ,難以想象 ,因此靠

11、調(diào)查實例來猜測定理的形式 ,在許多情況下首先就不可能。我不知道在這種狀況下 ,發(fā)現(xiàn)新定理的思考實驗的方式是什么樣的。即使說只是含模糊糊地想想思考些什么 ,恐怕還是不行的。實際就是那樣往往是不管怎么去思考都得不到相應(yīng)的結(jié)果。這么說來 ,數(shù)學(xué)研究是不是非常困難的工作呢？倒也未必。有時你什么也沒干 ,但卻很自然地接二連三看到那些值得思考的事情 ,研究工作輕而易舉地得到進(jìn)展。這時感受充分表現(xiàn)在夏目漱石在?十夜夢?中描述運慶雕刻金剛力士的話上。引用其中的一部份：運慶現(xiàn)在橫著刻完了一寸高的粗眉毛 ,鑿刀一豎起 ,就斜著從上一錘打下。他熟練地鑿著硬木 ,就在厚木屑隨著錘聲飛揚的時候 ,鼻翼已完全張開鼻孔的怒

12、鼻的側(cè)面已經(jīng)顯現(xiàn)出來?？雌饋硭倪M(jìn)刀方法已無所顧忌 ,沒有絲毫猶豫的樣子。原來使用鑿子那么容易 ,就把想象中的眉毛、鼻子作成了 ,他頗為得意 ,自言自語道。于是 ,剛剛的青年就說：什么 ,那并非用鑿子作出眉、鼻的 ,眉毛、鼻子本已埋在木材中了 ,只是靠鑿子與錘子的力量挖了出來。就像從土中挖出石頭一樣 ,決不會錯的。這種時刻 ,想想這世間沒有比數(shù)學(xué)更容易的學(xué)科了。如果遇到有些學(xué)生對將來是否干數(shù)學(xué)還猶豫不定 ,就會勸告他一定要選數(shù)學(xué) ,因為再沒有比數(shù)學(xué)更容易的了。接下去漱石的話的要點如下：他便覺得雕刻也不過如此 ,誰都能干的。因此他想自己也雕個金剛力士試試 ,回到家 ,便一個接一個雕刻起后院的那堆

13、木材。不幸的是 ,一塊木頭里也沒有發(fā)現(xiàn)金剛力士。他終于明白了 ,原來明治的木頭里并沒有埋著金剛力士?！敖虝壬峙率鞘芯傩兆顬槭煜さ囊环N稱呼 ,從最初的門館、私塾到晚清的學(xué)堂 ,“教書先生那一行當(dāng)怎么說也算是讓國人景仰甚或敬畏的一種社會職業(yè)。只是更早的“先生概念并非源于教書 ,最初出現(xiàn)的“先生一詞也并非有傳授知識那般的含義。?孟子?中的“先生何為出此言也？；?論語?中的“有酒食 ,先生饌；?國策?中的“先生坐 ,何至于此？等等 ,均指“先生為父兄或有學(xué)問、有德行的長輩。其實?國策?中本身就有“先生長者 ,有德之稱的說法?？梢姟跋壬夥钦嬲摹敖處熤?,倒是與當(dāng)今“先生的稱呼更接近。看來 ,“先生之根源含義在于禮貌和尊稱 ,并非具學(xué)問者的專稱。稱“老師為“先生的記載 ,首見于?禮記?曲禮? ,有“從于先生 ,不越禮而與人言 ,其中之“先生意為“年長、資深之傳授知識者 ,與教師、老師之意根本一致。數(shù)學(xué)也一樣 ,普通的木頭里沒有埋著定理。但從外面卻看不出里面究竟埋著什么 ,只好雕刻著看。數(shù)學(xué)中的雕刻就是一邊進(jìn)行繁復(fù)的計算 ,一宋以后 ,京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的教師