第2章控制工程控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述-V12

1、數(shù)學(xué)模型：數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述系統(tǒng)輸入、輸出變量及內(nèi)部變量之間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種：建立數(shù)學(xué)模型的方法有兩種：解析法：解析法：分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按照其遵循的物理化學(xué)規(guī)分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)機(jī)理，按照其遵循的物理化學(xué)規(guī)律列寫輸入輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。律列寫輸入輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。實(shí)驗(yàn)法：實(shí)驗(yàn)法：對(duì)系統(tǒng)輸入某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)或各環(huán)節(jié)輸出變對(duì)系統(tǒng)輸入某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)或各環(huán)節(jié)輸出變量的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。通過(guò)數(shù)據(jù)處理選擇一種數(shù)學(xué)模型可以近似地表示量的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)。通過(guò)數(shù)據(jù)處理選擇一種數(shù)學(xué)模型可以近似地表示這

2、種響應(yīng)，該過(guò)程稱為系統(tǒng)辨識(shí)。這種響應(yīng)，該過(guò)程稱為系統(tǒng)辨識(shí)?？刂葡到y(tǒng)描述公式描述圖形描述微分方程可以描述被控量（系統(tǒng)輸出）和給定量（系統(tǒng)輸入）微分方程可以描述被控量（系統(tǒng)輸出）和給定量（系統(tǒng)輸入）或擾動(dòng)量（擾動(dòng)輸入）之間的函數(shù)關(guān)系?；驍_動(dòng)量（擾動(dòng)輸入）之間的函數(shù)關(guān)系。通過(guò)對(duì)微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系統(tǒng)穩(wěn)定通過(guò)對(duì)微分方程的求解、特征根分析等方法可以了解系統(tǒng)穩(wěn)定性、變量動(dòng)態(tài)響應(yīng)軌跡等性能。性、變量動(dòng)態(tài)響應(yīng)軌跡等性能。 2.1 控制系統(tǒng)的微分方程描述控制系統(tǒng)的微分方程描述)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxd

3、m2.1.1 建立微分方程建立微分方程 建立控制系統(tǒng)的微分方程，需要了解整個(gè)系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)建立控制系統(tǒng)的微分方程，需要了解整個(gè)系統(tǒng)的組成環(huán)節(jié)和工作原理。和工作原理。列寫微分方程的一般步驟如下列寫微分方程的一般步驟如下： 分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，分析元件的工作原理和在系統(tǒng)中的作用，確定元件的輸入量和輸出量確定元件的輸入量和輸出量（必要時(shí)還要考慮擾動(dòng)量），并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。（必要時(shí)還要考慮擾動(dòng)量），并根據(jù)需要引進(jìn)一些中間變量。根據(jù)各元件在工作過(guò)程中所遵循的物理或化學(xué)定律，根據(jù)各元件在工作過(guò)程中所遵循的物理或化學(xué)定律，按工作條件忽略一些次要因素，按工作條件忽略一些次要因素，并考

4、慮相鄰元件的彼此影響，并考慮相鄰元件的彼此影響，列出微分方程列出微分方程。常用的定律有：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學(xué)系統(tǒng)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等等。常用的定律有：電路系統(tǒng)的基爾霍夫定律、力學(xué)系統(tǒng)的牛頓定律和熱力學(xué)定律等等。消去中間變量消去中間變量后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動(dòng)量）關(guān)系的微分方程后得到描述輸出量與輸入量（包括擾動(dòng)量）關(guān)系的微分方程即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。即系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。例例 2.1.1 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)w 電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。w

5、僅由電阻、電感、電容僅由電阻、電感、電容(無(wú)源器件無(wú)源器件)組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。如組成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。如果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含運(yùn)算放大器果電氣網(wǎng)絡(luò)中包含運(yùn)算放大器(有源器件有源器件)，就稱為有源網(wǎng)絡(luò)。，就稱為有源網(wǎng)絡(luò)。例例 由電阻由電阻R、電感、電感L和電容和電容C組成無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。組成無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。 ui輸入，輸入，uo輸出，求微分方程。輸出，求微分方程。LCui(t)uo(t)i(t)+R( )( )odu ti tCdt)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo消去中間變量消去中間變量i (t )，可得，可得)()()()(22tutudttduRCdttudLC

6、iooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm( )( )( )( )oidi tLRi tututdt解解 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為 i ( t ) 如圖所示。由基爾霍夫電壓定律可得到如圖所示。由基爾霍夫電壓定律可得到式中式中i ( t )是中間變量。是中間變量。 機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)機(jī)械系統(tǒng)指的是存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為械運(yùn)動(dòng)包括直線運(yùn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為線位移）和轉(zhuǎn)動(dòng)（相應(yīng)的位移稱為角位移）兩種。角位移）兩種。例例 一個(gè)由彈簧一個(gè)由彈簧-質(zhì)量質(zhì)量

7、-阻尼器組成阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。m為物為物體質(zhì)量，體質(zhì)量，k為彈簧系數(shù)，為彈簧系數(shù)，f 為粘性為粘性阻尼系數(shù)，外力阻尼系數(shù)，外力F(t)為輸入量，位為輸入量，位移移x(t)為輸出量。為輸出量。列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。列寫系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。 例例2.1.2 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)xmFkf解解 在物體受外力在物體受外力F的作用下，質(zhì)量的作用下，質(zhì)量m相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速相對(duì)于初始狀態(tài)的位移、速度、加速度分別為度、加速度分別為x、dx/dt、d2x/dt2 。設(shè)外作用力。設(shè)外作用力F為輸入量，位為輸入量，位移移 x 為輸出量。根據(jù)彈簧、質(zhì)量、阻尼器上力與位移、速度的關(guān)

8、為輸出量。根據(jù)彈簧、質(zhì)量、阻尼器上力與位移、速度的關(guān)系和牛頓第二定律，可列出作用在系和牛頓第二定律，可列出作用在m上的力和加速度之間的關(guān)系上的力和加速度之間的關(guān)系為為 )()()()(22tFtkxdttdxfdttxdmkxdtdxfFdtxdm22xmFkk和和f分別為彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。分別為彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。負(fù)號(hào)表示彈簧力的方向和位移的方向相反；負(fù)號(hào)表示彈簧力的方向和位移的方向相反；粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。比較上面兩個(gè)例子可見(jiàn)，雖然它們?yōu)閮煞N不同的物理系統(tǒng)，但它們的數(shù)學(xué)模型的形式卻是相同的 例如上述RLC

9、串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器系統(tǒng)即為一對(duì)相似系統(tǒng)。在相似系統(tǒng)中，占據(jù)相應(yīng)位置的物理量稱為相似量。我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為我們把具有相同數(shù)學(xué)模型的不同物理系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)相似系統(tǒng)Raei(t)LaiaemTJfif=常數(shù))(to P13 圖2-4 電樞控制 直流電動(dòng)機(jī) 電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)電樞控制式直流電動(dòng)機(jī)電機(jī)電樞輸入電壓電機(jī)輸出轉(zhuǎn)角電樞繞組電阻電樞繞組電感流過(guò)電樞繞組的電流電機(jī)感應(yīng)反電動(dòng)勢(shì)電機(jī)轉(zhuǎn)矩電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量電機(jī)及負(fù)載折合到電機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)例例2.1.3 機(jī)電系統(tǒng)機(jī)電系統(tǒng) 反電勢(shì)常數(shù)反電勢(shì)常數(shù)其中，其中，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有根據(jù)電磁感應(yīng)定律，有

10、KKeeoemdttdt 2o2odttdJdttdftT ，有，有根據(jù)牛頓第二定律定律根據(jù)牛頓第二定律定律 tdttditteLiRemaaaai 根根據(jù)據(jù)基基爾爾霍霍夫夫定定律律，有有Raei(t)LaiaemTJfif=常數(shù))(to P13 圖2-4 電樞控制 直流電動(dòng)機(jī) 電機(jī)力矩常數(shù)電機(jī)力矩常數(shù)其中，其中，作用定律，有作用定律，有根據(jù)磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的根據(jù)磁場(chǎng)對(duì)載流線圈的KiKTaTttT 將上面四個(gè)方程聯(lián)立，可得 tdttdadttJfdttJeKKKfRdRLdLiToeT2o2aa3o3a tdttdadttJeKKKfRdRiToeT2o2a 化為：化為：若忽略電樞電感，可簡(jiǎn)若忽

11、略電樞電感，可簡(jiǎn)考慮到考慮到: :dtd)(teKdtdTimm可將上式改寫成可將上式改寫成 可知：對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，若從不同的角度研究問(wèn)題，則所得出可知：對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)，若從不同的角度研究問(wèn)題，則所得出的數(shù)學(xué)模型式不一樣的。的數(shù)學(xué)模型式不一樣的。 電機(jī)時(shí)間常數(shù)電機(jī)時(shí)間常數(shù) 電機(jī)傳遞系數(shù)電機(jī)傳遞系數(shù))/()/(TeaTmTeaamkkfRkKkkfRJRT tdttddttJeKKKfRdRiToeToaa22 注：注：通常將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各通常將微分方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的右邊，與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊。項(xiàng)寫在方程的右邊，與輸出量有關(guān)

12、的各項(xiàng)寫在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降階順序排列。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降階順序排列。單輸入、單輸出系統(tǒng)微分方程的一般形式： mntxtxtttxtxttimimmmononnnbbxbxbaaxaxaiioo其中： 11101110 實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。的非線性，如下圖所示。放大器飽和 電機(jī)死區(qū) 齒輪間隙 繼電器開關(guān)特性2.1.2 2.1.2 非線性系統(tǒng)的線性化非線性系統(tǒng)的線性化嚴(yán)格講：嚴(yán)格講：所有系統(tǒng)都是非線性的所有系統(tǒng)都是非線性的盡管線性系統(tǒng)的理論已經(jīng)相當(dāng)成熟，但非線性系統(tǒng)的理論還遠(yuǎn)不完善。另外，迭加原

13、理不適用于非線性系統(tǒng)，這給解非線性系統(tǒng)帶來(lái)很大不便。這給解非線性系統(tǒng)帶來(lái)很大不便。故我們盡量對(duì)所研究的系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，然后用線性理論進(jìn)行分析。實(shí)踐證明，這樣做能夠圓滿地解決許多工程問(wèn)題，有很大的實(shí)際意義。線性化條件：非線性因素對(duì)系統(tǒng)影響很小系統(tǒng)變量只發(fā)生微小偏移，可通過(guò)切線法進(jìn)行線性化，求其增量增量方程 不是各個(gè)變量的絕對(duì)數(shù)量，不是各個(gè)變量的絕對(duì)數(shù)量，而是它們偏離平衡點(diǎn)的量而是它們偏離平衡點(diǎn)的量y=f(r)r元件的輸入信號(hào)，元件的輸入信號(hào)，y元件的輸出信號(hào)元件的輸出信號(hào)0r0r0+ry0y0+yyAB略去高次項(xiàng)，略去高次項(xiàng)，00220002( )1( )( )()()2!r rr rdf

14、rd f ryf rrrrrdrdr000( )()r rdf ryyrrdr設(shè)原運(yùn)行于某平衡點(diǎn)（靜態(tài)工作點(diǎn)）設(shè)原運(yùn)行于某平衡點(diǎn)（靜態(tài)工作點(diǎn)）A A點(diǎn)：點(diǎn)：r=r0 , , y=y0 , ,且且y0=f(r0)B B點(diǎn)：點(diǎn)：當(dāng)當(dāng)r變化變化 r， y=y0+ + y函數(shù)在（函數(shù)在（r0 , , y0 ）點(diǎn)連續(xù)可微，在）點(diǎn)連續(xù)可微，在A A點(diǎn)展開成泰勒級(jí)數(shù)，即點(diǎn)展開成泰勒級(jí)數(shù)，即0( ),r rdf rKdryK r )(to mTi(t)P15 圖2-5 單擺l 22sindttdmltmgoo：根據(jù)牛頓第二定律，有 !5!3sin 0sin 53oooooo 臺(tái)臺(tái)勞勞級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開，得得：附

15、附近近用用在在將將 單擺 sin oo 忽忽略略高高階階小小量量，則則 0 22tmgdttdmloo線性化步驟：線性化步驟：找出找出靜態(tài)工作點(diǎn)靜態(tài)工作點(diǎn)（工作點(diǎn)不同，所得方程系數(shù)也不同）（工作點(diǎn)不同，所得方程系數(shù)也不同）在工作點(diǎn)附近展開成在工作點(diǎn)附近展開成泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)略去高階項(xiàng)，得到關(guān)于增量的略去高階項(xiàng)，得到關(guān)于增量的線性化方程線性化方程作業(yè)習(xí)題：2-1(1)(2) 時(shí)域微分方程復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換l一種解線性微分方程的簡(jiǎn)便方法一種解線性微分方程的簡(jiǎn)便方法l分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法分析工程控制系統(tǒng)的基本數(shù)學(xué)方法2.2.1 拉氏變換定義對(duì)于函數(shù) ，滿足下列條件 tx 正

16、正實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，其其中中、 dttxet02 續(xù)續(xù)。在在每每個(gè)個(gè)有有限限區(qū)區(qū)間間分分段段連連時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng)txttxt0 ;001 dttxtxLsXsXtxest0 的的拉拉氏氏變變換換為為則則可可定定義義象函數(shù)原函數(shù)復(fù)變量 量綱 1tsj例2.2.1 單位階躍函數(shù) t1 00101,ttt ssdtttLeestst101110 0t1例2.2.2 指數(shù)函數(shù) tet1 ssdtdtttLeeeeetstssttt10111000t1sinjcos sinjcos eejj根據(jù)歐拉公式： 的的結(jié)結(jié)果果?？煽衫糜胻Let1 t1tcost1tsin.2.32和余弦函數(shù)正弦函數(shù)例 2co

17、s2sineeeejjjjj 則則 2222222221)(211121 121sinsjsjjjsjsjsjjsjsjtjLttLeetjtj 221121 121cos ssjsjstLttLeetjtj同理：同理：例2.2.4冪函數(shù) ttn1 ！則設(shè)n)n(ndxexn0)x(d)e()e(x)e(dxdxexdxex)1n(dxex)( 0 x1n 0 nx0 xn 0 xn 0 xn 0 x11n 0 x10t1n1n 0 xn1nst 0 nns!ns)1n(dxexs1dtet)t ( 1t Ldxs1dtsxt,stx根據(jù)定義有則令應(yīng)記住的一些簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換 12222 1

18、 1cos 1sin-s1 1s1 1 nntsn!tssttsttttte 象函數(shù)象函數(shù)原函數(shù)原函數(shù)2.2.2 拉氏變換的性質(zhì)及應(yīng)用疊加性質(zhì)微分定理積分定理衰減定理延時(shí)定理初值定理終值定理時(shí)間比例尺改變的象函數(shù)tx(t)的象函數(shù)10 的象函數(shù) ttx )(11 周期函數(shù)的象函數(shù)12 卷積分的象函數(shù)疊加性質(zhì)疊加性質(zhì) 則設(shè) ,st stXxXx2211LL 積分的性質(zhì)易得出。根據(jù)拉氏變換的定義和為常數(shù)。、basbSatbtaXXxxL2121 sbsadtetbdtetadtetbdtetadte tbtatbtaXXxxxxxxxx21 0 st2 0 st1 0 st2 0 st1 0 st

19、2121L 0 xsXstxdtdL微分定理微分定理dttdxLssxdtedttdxssxtdxsesetxesdtxdtetxtxLststststst)(1)0()(1)0()()()1()()()(00 0 00 0 xsXstxdtdL微分定理微分定理 00001221nnnnnnnxsxxsxssXsdttxdL sXsdttxdLxxxxnnnnn 0000012若：兩個(gè)重要推論： 1210000 0nnnnnnnntnfffF sLf tdtssssff tdt 式中，符號(hào)積分定理積分定理 110 fF sLf t dtftf t dtss其中 12 0000 nnnnfffF

20、 sLf tdts 若兩個(gè)推論：兩個(gè)推論：4 衰減定理 sXtxLet 2222cos cos : cos sstLsstLtLeett已知已知解解求求例：例：原函數(shù)原函數(shù)衰減衰減，象函數(shù)，象函數(shù)超前超前Step1、找出簡(jiǎn)單函數(shù)；、找出簡(jiǎn)單函數(shù)；Step2、套用性質(zhì)；、套用性質(zhì)；5 延時(shí)定理 sFttfLes 100 ttf1 ttf1原函數(shù)原函數(shù)滯后滯后，象函數(shù)，象函數(shù)衰減衰減求求其其拉拉氏氏變變換換。，例例：已已知知)6t ( 1)32t(4sin)( tfs62222e2s24) s (Fs tsinL ，則則已已知知注意注意：f(t)表達(dá)式里所有的表達(dá)式里所有的 都要延時(shí)！都要延時(shí)！S

21、tep1、找出簡(jiǎn)單函數(shù)；、找出簡(jiǎn)單函數(shù)；Step2、套用性質(zhì)；、套用性質(zhì)；6 初值定理 ssXtx limlims0t)(lim)(lim)0(lim)(lim0)0()(lim)(lim)0()()()(000ssXtxxssXxssXdtedttdxxssXdtedttdxdttdxLstsssstsst0sin 220limlim sstst求求例例：)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0(lim)(lim)()0()(lim)(lim)0()()()(000000000ssXtxxssXxtxxssXdtdttdxxssXdtedttdxxssXdtedttdxdtt

22、dxLststsssstsst終值定理 ssXtxstlimlim0 平面。的極點(diǎn)全在左半即有穩(wěn)態(tài)解，的終值存在，即使用條件： s sXtxtx無(wú)終值。平面。在虛軸上，而不在左半的極點(diǎn)求例： tsin s js stsinL tsin 22tlim)()()()()()(,000asaXwaXdexadaexdteatxatxLwasatwwst8 時(shí)間比例尺改變的象函數(shù) asaXatxL2222221)2(21 2sin)( sin 2sin ssFtLsFstLtL求例： 9 tx(t)的象函數(shù) dssdXttxL)()(nnnndssXdtxtL)() 1()(10 的象函數(shù) ttx )

23、(10 的象函數(shù) ttx )(sdssXttxL)()(11 周期函數(shù)的象函數(shù) txTtx 設(shè)設(shè)： dtetxetxLstTsT 011則則：12 卷積分的象函數(shù) sYsXtytxL dytxtytxt0例2-1 求單位脈沖函數(shù)的象函數(shù) 00000 , 0 0 ,1lim0tttttttt或或 0t0t01 t 0000000111lim11lim00tttttttttttt 解解： 1! 21111lim 111lim22000000000 stststessttLtstt 例 求象函數(shù) )( 16132cos4)(5tetttft 1)( 1 22cos22stLsstL)( 161)6(

24、2cos4)( 16132cos4)(55tetttetttftt 51 24)(226ssestfLs作業(yè)習(xí)題：2-3(1)(2) 2.2.3 拉氏反變換 sXLtx1 簡(jiǎn)記為：時(shí)域微分方程復(fù)變函數(shù)代數(shù)方程拉氏變換拉氏反變換 dssXjtxestjj21 :公式拉氏反變換方法：利用拉氏變換表利用部分分式展開法，然后再利用已知函數(shù)的拉氏變換和拉氏變換的性質(zhì)控制系統(tǒng)象函數(shù)的一般形式： 將分母因式分解后，包括三種不同的極點(diǎn)情況，采用部分分式法進(jìn)行拉氏反變換 mnsssXaasasbbsbsbnnnnmmmm 1111110使分子為零的S值稱為函數(shù)的零點(diǎn)使分母為零的S值稱為函數(shù)的極點(diǎn)三種不同的極點(diǎn)情

25、況只含有不同單極點(diǎn)情況只含有不同單極點(diǎn)情況含有共扼復(fù)極點(diǎn)情況含有共扼復(fù)極點(diǎn)情況含有多重極點(diǎn)情況含有多重極點(diǎn)情況1、只含有不同單極點(diǎn)情況： nn1n1n2211n21m1m1m1m0n1n1n1nm1m1m1m0psapsa psapsa ssss mn sssXpppbbsbsbaasasbbsbsb對(duì)分母分解因式再分解為部分分式 pkskkkkpssXa psa上的留數(shù)，為極點(diǎn) t1aaasFLtxeeetpntp2tp11n21 的拉氏反變換求例 2s3s3ssX 6 . 2 . 22 2sa1sa2s1s3s 2s3s3ssX21212s2s1s3sa21s2s1s3sa2s21s1 2

26、112 sssX teetxtt122 -即含有不可因式分解的二次因式即含有不可因式分解的二次因式 待定系數(shù)法待定系數(shù)法 將不可分解的二次因式做為一項(xiàng)分解為將不可分解的二次因式做為一項(xiàng)分解為:21221dsdsese 將右邊的部分分式通分將右邊的部分分式通分,按分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相按分子分母對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等的原則得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組等的原則得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組,求解即可求解即可.21221dsdsese 的原函數(shù)求法的原函數(shù)求法配方配方,利用利用 22)()( 1sin stteLt 22)()( 1cos sstteLt2 2、含有共扼復(fù)極點(diǎn)情況：、含有共扼復(fù)極點(diǎn)情況：sss1sL 7

27、 . 2 . 2231例 sassasassssssss32212231111 1 1 01 332313323221 aaaaasasasasasa有有：通通分分、比比較較系系數(shù)數(shù)1 012 aa1-10 111 223ssssssss sssssssssss12321233323212112321332321112222222 )(1123sin3323cos)(2121ttttxeett3、含有多重極點(diǎn)情況： lllmmmmnnnnmmmmpspspspspspspspsbsbsbsbmnasasasbsbsbsbsX 221111112111101111110其中 的求法： 11111

28、1111111!11!1pspsjjjpspspssXdsdpssXdsdjpssXdsdpssX k 32111s3s2sLsXL: 8 . 2 . 2求例 1111321223332sssssssX 12s2dsd213s2sdsd!2102s23s2sdsd21s1s3s2s1s1s22211s1s221s3323 其中：其中： ttxsssXeettt1 111223即： 的的拉拉氏氏反反變變換換求求例例)1()2(3: 2 ssssX 1221122 scsssX 解解： 2 1 222)( sssX2 13 sss 2222123 sssss 1 213 sssdsd22)1()3

29、()1( ssss2 1c 11)( sssX 1223 sss2 1222212 ssssX tx )( 12222teetettt 作業(yè)2-4(1)(3) 用拉氏變換解微分方程的步驟：用拉氏變換解微分方程的步驟：1.對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，轉(zhuǎn)換成以象對(duì)微分方程進(jìn)行拉氏變換，轉(zhuǎn)換成以象函數(shù)為變量的代數(shù)方程；函數(shù)為變量的代數(shù)方程；2. 解代數(shù)方程，求出象函數(shù)表達(dá)式；解代數(shù)方程，求出象函數(shù)表達(dá)式；3. 作拉氏反變換，求出微分方程的時(shí)間解。作拉氏反變換，求出微分方程的時(shí)間解。 s6sY60yssY50y0sysYs2 解解： 20, 20y 665 82 yyyy 其其中中：解解方方程程例例 3s

30、42s5s13s2ss6s12s2sY20y,22 代入，并整理，得代入，并整理，得將將0y t3t2e4e51ty 作業(yè)2-5 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是在拉氏變換基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描是在拉氏變換基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式。表達(dá)了述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式。表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動(dòng)函數(shù)無(wú)關(guān)。系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動(dòng)函數(shù)無(wú)關(guān)。它是和微分方程一一對(duì)應(yīng)的一種數(shù)學(xué)模型，它是和微分方程一一對(duì)應(yīng)的一種數(shù)學(xué)模型，它能方便它能方便地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。地分析系統(tǒng)或元件結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。2.32.3控制系

31、統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述1. 定義定義 零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函傳遞函數(shù)數(shù)，記為，記為G(s)，即：，即： ( )( )( ) ( )( )L y tY sG sL r tR s意義意義：( )( ) ( )Y sRGss( )Y s)(sG( )R s 傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法 線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的一般表達(dá)式線性定常系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的一般表達(dá)式（零初始條件零初始條件）1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )n

32、nnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaa y tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt11101110. ( ). ( )nnnnmmmma sasa sa Y sb sbsbsb R s11101110.( )( )( ).mmmmnnnnb sbsbsbY sG sR sa sasa sa當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換后可得傳遞函數(shù)為當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換后可得傳遞函數(shù)為( )1( )( )1oiUsG sU sRCs例例2.9 求圖示求圖示RC電路的傳遞函數(shù)，其中電路的傳遞函數(shù)，其中ui(t)是輸是輸入電壓，入電壓， uo(

33、t)是輸出電壓是輸出電壓 ( )( )( )ooidutRCututdt(1)( )( )oiRCsUsU s解解 由基爾霍夫電壓定律可得由基爾霍夫電壓定律可得iCiuouR2. 關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)補(bǔ)充說(shuō)明 （1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。 （2）傳遞函數(shù)表達(dá)式中各項(xiàng)系數(shù)的值完全取決于）傳遞函數(shù)表達(dá)式中各項(xiàng)系數(shù)的值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，并且與微分方程中各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)相對(duì)應(yīng)。系數(shù)相對(duì)應(yīng)。 （3）實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式的階數(shù)）實(shí)際系統(tǒng)傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式的階數(shù)n總總是大于或等于分子

34、多項(xiàng)式的階數(shù)是大于或等于分子多項(xiàng)式的階數(shù)m ，即，即nm。通常。通常將分母多項(xiàng)式的階數(shù)為將分母多項(xiàng)式的階數(shù)為n的系統(tǒng)稱為的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。 （4）傳遞函數(shù)只能表示單輸入、單輸出的關(guān)系。）傳遞函數(shù)只能表示單輸入、單輸出的關(guān)系。1110111011.()( )( )( )().mimmmmnnnnignjjszMb sbsb sbsG sKNa sasa sssap上式中上式中 Kg零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)的根軌跡增益零極點(diǎn)形式傳遞函數(shù)的根軌跡增益 ； -zi 分子多項(xiàng)式分子多項(xiàng)式M(s)=0的根，稱為的根，稱為零點(diǎn)零點(diǎn)； -pj 分母多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式N(s)的根，稱為的根，稱為極點(diǎn)極點(diǎn)。wN

35、(s)=0是控制系統(tǒng)的特征方程式。是控制系統(tǒng)的特征方程式。zi、pj可為實(shí)數(shù)、虛可為實(shí)數(shù)、虛數(shù)、或復(fù)數(shù)。若為虛數(shù)、或復(fù)數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復(fù)數(shù)、或復(fù)數(shù)。若為虛數(shù)、或復(fù)數(shù)，必為共軛虛數(shù)、或共軛復(fù)數(shù)。數(shù)。（5）零極點(diǎn)表示法）零極點(diǎn)表示法（6）時(shí)間常數(shù)表示法）時(shí)間常數(shù)表示法 上式中上式中 i分子各因子的分子各因子的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) ； Tj分母各因子的分母各因子的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) ； K 時(shí)間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的增益；通常稱為時(shí)間常數(shù)形式傳遞函數(shù)的增益；通常稱為傳遞系數(shù)。傳遞系數(shù)。11101110.(.)mmmmnnnnb sbsb sba sasa saG s1011110111(1)11(1)

36、mmmimminnnnnjjsbd sdsd sKac scsc sT s121211221122)2()()2()()(njnlllljmimkkkkivgsspssszssKsG122111221221) 12() 1() 12() 1()(njnlllljmkkkkmiivsTsTsTssssKsG121222nvnnmmm一般形式一般形式 一個(gè)系統(tǒng)可看成由一些環(huán)節(jié)組成的，可能是電氣的，機(jī)一個(gè)系統(tǒng)可看成由一些環(huán)節(jié)組成的，可能是電氣的，機(jī)械的，液壓的，氣動(dòng)的等等。盡管這些系統(tǒng)的物理本質(zhì)差別械的，液壓的，氣動(dòng)的等等。盡管這些系統(tǒng)的物理本質(zhì)差別很大，但是描述他們的動(dòng)態(tài)性能的傳遞函數(shù)可能是相同的

37、。很大，但是描述他們的動(dòng)態(tài)性能的傳遞函數(shù)可能是相同的。如果我們從數(shù)學(xué)的表達(dá)式出發(fā)，如果我們從數(shù)學(xué)的表達(dá)式出發(fā)，一般可將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分一般可將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分為有限的一些典型環(huán)節(jié)所組成，并求出這些典型環(huán)節(jié)的傳遞為有限的一些典型環(huán)節(jié)所組成，并求出這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)來(lái)，以便于分析及研究復(fù)雜的系統(tǒng)。函數(shù)來(lái)，以便于分析及研究復(fù)雜的系統(tǒng)。 控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有，比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、 微分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、 積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)等。以下介紹這些環(huán)節(jié)的傳以下介紹這些環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其推導(dǎo)。遞函數(shù)及其推導(dǎo)。 2.3.2 典型環(huán)節(jié)及其傳

38、遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)( )( )( )(y tKr tG sK微方：傳遞函數(shù)：增益、放大系數(shù)）方框圖：方框圖：K( )R s( )Y s1. 比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)） 特點(diǎn)特點(diǎn)：輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時(shí)。輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時(shí)。 舉例舉例：這種類型的環(huán)節(jié)很多，機(jī)械系統(tǒng)中略去彈性的杠桿、這種類型的環(huán)節(jié)很多，機(jī)械系統(tǒng)中略去彈性的杠桿、作為測(cè)量元件的測(cè)速發(fā)電機(jī)作為測(cè)量元件的測(cè)速發(fā)電機(jī)(輸入為角速度，輸出為電壓時(shí)輸入為角速度，輸出為電壓時(shí))以及電子放大器等，在一定條件下都可以認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。以及電子放大器等，在一定條件下都可以認(rèn)為是比例環(huán)節(jié)。例例2-9

39、_ + ui(t) uo(t) R1 R2 1212121221 )(00RRKRRsUsUsGsURRsUtuRRtuRtuRtuioioiooi拉氏變換后有( )1( )( )1Y sG sR sTs傳遞函數(shù)：方框圖：方框圖：1/(Ts+1)( )Y s( )R s( )( )( )dy tTy tr tdt一階微方：2. 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 特點(diǎn)特點(diǎn)：慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量不能立即跟隨輸慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出量不能立即跟隨輸入量變化，存在時(shí)間上的延遲。其中時(shí)間常數(shù)越大，環(huán)入量變化，存在時(shí)間上的延遲。其中時(shí)間常數(shù)越大，環(huán)節(jié)的慣性越大，則延遲的時(shí)間也越長(zhǎng)。節(jié)的慣性越大，則延遲的時(shí)間也越長(zhǎng)。

40、例例2-11 無(wú)源濾波電路無(wú)源濾波電路 ui(t) uo(t) R C i(t) )( 11)() 1 )(1)(1)()(1)(1)(TRCRCSsUsUsGsURCSsUsICssUsICsRsIsUdttiCtudttiCRtituiooioioi則（消去中間變量得1111)()(1RCscsRcssUsULscsRio、阻抗分別為：電阻、電容、電感的復(fù)利用復(fù)阻抗的概念： sDsXsKXsKXdttdxDtxtxKooiooi 11sKDKDsKsXsXsGio例2-12彈簧-阻尼系統(tǒng)1.00.20.40.60.80.630.870.950.980.99T2T3T4T5Tr(t)ty(t

41、)例例 設(shè) 輸 入 信 號(hào) 為 單 位 階 躍 信 號(hào) ， 其 拉 普 拉 斯 變?cè)O(shè) 輸 入 信 號(hào) 為 單 位 階 躍 信 號(hào) ， 其 拉 普 拉 斯 變換換 ，則得輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式為，則得輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式為ssR1)(TsssTssY111111)(01)(tetyTt在單位階躍輸在單位階躍輸入信號(hào)的作用入信號(hào)的作用下，慣性環(huán)節(jié)下，慣性環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)是的輸出信號(hào)是指數(shù)函數(shù)。當(dāng)指數(shù)函數(shù)。當(dāng)時(shí)間時(shí)間t=(34)T時(shí)，輸出量才時(shí)，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。接近其穩(wěn)態(tài)值。 微分環(huán)節(jié) 理想微分環(huán)節(jié) KssXsXsGsKsXsXtxKtxKssGioioio KsssUsGsKssUt

42、Ktuioioio 永磁式直流測(cè)速機(jī)近似微分環(huán)節(jié) 1TsKTssG 11 RCsRCsCsRRsssGUUiouiuoRC1 KRCT其其中中：特點(diǎn)：特點(diǎn)：輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分。輸出正比于輸入對(duì)時(shí)間的積分。4. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)( )( )1( )tr t dtG ss微分方程：y傳遞函數(shù)：方框圖：1/s( )Y s( )R s例例 積分調(diào)節(jié)器電路積分調(diào)節(jié)器電路 在單位階躍輸入信號(hào)的作用下，輸出量的拉普拉斯變換表在單位階躍輸入信號(hào)的作用下，輸出量的拉普拉斯變換表達(dá)式為達(dá)式為21( )( ) ( )Y sG s R ss( )y tt輸出量隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加輸出量隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加

43、 R( )y t( )r tAC4. 二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)222221( )2121nnnnG sT sTsssT傳遞函數(shù)為時(shí)：間數(shù)(=常(=常) )01n為自然角頻為蕩環(huán)節(jié)率率，阻阻尼尼比比，表表示示振振。222( )( )2( )( )d y tdy tTTy tr tdtdt微分方程：方框圖：方框圖：2222nnnss( )R s( )Y s 振蕩環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)振蕩環(huán)節(jié)階躍響應(yīng)例例 無(wú)源無(wú)源RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入網(wǎng)絡(luò)，輸入r(t) ， 輸出輸出y(t) 。LRLCRCTLCTnn/2)/(1222解：221( )11/()/1/()G sLCsRCsLCsRs LLC21/()/22nTLC

44、R LCLLCR LCR LLCL( )y t)(tiLRC( )r t6. 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)( )()( )sy tr tG se微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：方框圖：方框圖：se( )R s( )Y s( )r t( )y ttt00將延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)：將延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)：2211( )112!ssG seess當(dāng)延遲時(shí)間很小時(shí)，可近似為慣性環(huán)節(jié)：當(dāng)延遲時(shí)間很小時(shí)，可近似為慣性環(huán)節(jié)：1( )1sG ses特點(diǎn)特點(diǎn)： 1、輸出和輸入相同僅延遲時(shí)間、輸出和輸入相同僅延遲時(shí)間；不失真；不失真 2、與其他環(huán)節(jié)同時(shí)存在。人體、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、與其他環(huán)節(jié)同時(shí)存在。人體、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、液

45、壓機(jī)械傳動(dòng)、氣動(dòng)傳動(dòng)。液壓機(jī)械傳動(dòng)、氣動(dòng)傳動(dòng)。原因：原因：延時(shí)效應(yīng)。信號(hào)輸入環(huán)節(jié)后，由于環(huán)節(jié)傳遞延時(shí)效應(yīng)。信號(hào)輸入環(huán)節(jié)后，由于環(huán)節(jié)傳遞信號(hào)的速度有限。輸出響應(yīng)要延遲一段時(shí)間信號(hào)的速度有限。輸出響應(yīng)要延遲一段時(shí)間才能產(chǎn)才能產(chǎn)生。生。作業(yè) 2-8 （a）（c） 2-92.4.1 方塊圖方塊圖的基本概念的基本概念 系統(tǒng)方塊圖又稱系統(tǒng)方塊圖又稱結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖，是將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方，是將系統(tǒng)中所有的環(huán)節(jié)用方塊來(lái)表示，按照系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方塊連塊來(lái)表示，按照系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)之間的聯(lián)系，將各方塊連接起來(lái)構(gòu)成的；接起來(lái)構(gòu)成的；2.4 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖G(s)R(s)Y(s

46、)輸入信號(hào)輸入信號(hào)輸出信號(hào)輸出信號(hào)方塊：環(huán)節(jié)方塊：環(huán)節(jié)信號(hào)傳遞的方向信號(hào)傳遞的方向方塊圖表示的一個(gè)典型系統(tǒng)：方塊圖表示的一個(gè)典型系統(tǒng)：表明了系統(tǒng)的組成、信號(hào)的傳遞方向；表明了系統(tǒng)的組成、信號(hào)的傳遞方向；表示出了系統(tǒng)信號(hào)傳遞過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系；表示出了系統(tǒng)信號(hào)傳遞過(guò)程中的數(shù)學(xué)關(guān)系；可揭示、評(píng)價(jià)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響；可揭示、評(píng)價(jià)各環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)的影響；易構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)，并簡(jiǎn)化寫出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；易構(gòu)成整個(gè)系統(tǒng)，并簡(jiǎn)化寫出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；直觀、方便（圖解法）。直觀、方便（圖解法）。( )R s)(sG( )E s( )Y s2.4.2 組成組成 相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)、比較點(diǎn)）相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)、比較點(diǎn)） 相同性

47、質(zhì)的信號(hào)進(jìn)行去取代數(shù)和相同性質(zhì)的信號(hào)進(jìn)行去取代數(shù)和 （相同量綱的物理量）（相同量綱的物理量）G(s)R(s)Y(s) 方塊：一個(gè)元件（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù)方塊：一個(gè)元件（環(huán)節(jié)）的傳遞函數(shù) 信號(hào)流線：箭頭表示信號(hào)傳遞方向信號(hào)流線：箭頭表示信號(hào)傳遞方向 分支點(diǎn)：分支點(diǎn)：信號(hào)多路輸出且相等信號(hào)多路輸出且相等 注意：不是將信號(hào)均分注意：不是將信號(hào)均分1. 分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)物理規(guī)律，明確輸入輸出、求得分析系統(tǒng)各環(huán)節(jié)物理規(guī)律，明確輸入輸出、求得該環(huán)節(jié)的傳函；該環(huán)節(jié)的傳函；2.將同一信號(hào)的通路連接在一起將同一信號(hào)的通路連接在一起,組成完整的方塊圖組成完整的方塊圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖可以形象而明確的表達(dá)動(dòng)態(tài)過(guò)程中系統(tǒng)各環(huán)節(jié)

48、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖可以形象而明確的表達(dá)動(dòng)態(tài)過(guò)程中系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)關(guān)系，是的數(shù)學(xué)模型及相關(guān)關(guān)系，是系統(tǒng)圖形化的動(dòng)態(tài)模型系統(tǒng)圖形化的動(dòng)態(tài)模型。主要繪。主要繪制步驟：制步驟：先單一 后整體例例2.4.1 汽車在凸凹不平的路面行駛，輪胎質(zhì)量為汽車在凸凹不平的路面行駛，輪胎質(zhì)量為M2，其彈性可，其彈性可等效為一個(gè)彈簧，汽車質(zhì)量為等效為一個(gè)彈簧，汽車質(zhì)量為M1。若以路面的高低位移變化為。若以路面的高低位移變化為輸入輸入xi(t)，車體垂直位移為輸出，車體垂直位移為輸出x0(t)，則汽車承載系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力，則汽車承載系統(tǒng)的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖所示。試建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)方框圖。學(xué)模型如圖所示。試建立系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)

49、構(gòu)方框圖。sF )()()(22sXsXksFis DKF )()()(222sXsMsFsFDKs )()()()(21sXsXDsksFoDK DKF )()(21sXsMsFoDK )()(1)(222sFsFsMsXDKs )(1)(21sFsMsXDKo DKF )()()(22sXsXksFis )()()()(21sXsXDsksFoDK )(1)(21sFsMsXDKo )()(1)(222sFsFsMsXDKs DKFDKF421112221121112222111222)(1)(11)()()()(SMMSDkkSMSDkSMSDkSMkSMSDkSMkSXSXSGio？)

50、()()(11sIRsUsUAi sCsIsIsUA121)()()( )()()(22sIRsUsUoA sCsIsUo22)()( 例例2.4.3 2.4.3 試求圖示力學(xué)模型的傳遞試求圖示力學(xué)模型的傳遞函數(shù)。其中函數(shù)。其中 x xi i(t) (t) 為輸入位移，為輸入位移，x xo o(t) (t) 為輸出位移，為輸出位移，k k1 1、k k2 2為彈性剛為彈性剛度，度，D D1 1、D D2 2為粘性阻尼系數(shù)。為粘性阻尼系數(shù)。解：粘性阻尼系數(shù)為解：粘性阻尼系數(shù)為D D的阻尼筒可的阻尼筒可等效為彈性剛度為等效為彈性剛度為DSDS的彈性元件。的彈性元件。并聯(lián)彈簧的彈性剛度等于各彈簧并聯(lián)

51、彈簧的彈性剛度等于各彈簧彈性剛度之和，而串聯(lián)彈簧彈性彈性剛度之和，而串聯(lián)彈簧彈性剛度的倒數(shù)等于各彈簧彈性剛度剛度的倒數(shù)等于各彈簧彈性剛度的倒數(shù)之和。的倒數(shù)之和。 k1f1xi(t)xo(t)彈簧 -阻尼 系統(tǒng)f2k2ABx1(t)量綱相同與得到第一條結(jié)論初始狀態(tài)為取拉氏變換點(diǎn)進(jìn)行受力分析對(duì)kDSXXSDXXkxxDxxkAii) 1 ()0(01111011111D2D。為并聯(lián)兩彈簧的彈性剛度其中又由即，為串聯(lián)兩彈簧的彈性剛度其中左端代入式可知由取拉氏變換點(diǎn)受力分析對(duì)SDkKSDkKXKXSDkSFSDkKSDkSDkKSDkSDkKXXKSDkXXSDkSFSDkXkXkSDXSDkSXDX

52、kSDSFSDkSXDXkXSFSXDXkXXSDxDxkxxDBoooioioiOOiOiOOOoo222222222111111111111111111111111111111111221122011,)()()2()4(111),()()()()()2()3()3() 1 ()2()(型可化為下圖：經(jīng)等效后，上述力學(xué)模XiXoBK1K2F(S)F(S)121111( )()( )()iooioF SK XXK Xk D SF SXXkD S可畫出該系統(tǒng)的函數(shù)方框圖：+SDkSDk1111SDk221F(S)Xo(S)Xi(S)-根據(jù)方框圖，可得該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：1)(111)()(

53、)(2221112212121221111221111SkDkDkDSkkDDSkDSDkSDkSDkSDkSDkSDkSXSXSGio22( )()oF SkD S X2.4.2 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡(jiǎn)化 環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)的合并 分支點(diǎn)分支點(diǎn)/結(jié)合點(diǎn)的變位結(jié)合點(diǎn)的變位2.4.2 動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡(jiǎn)化動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換及簡(jiǎn)化 G1(s)G3(s)G2(s)( )R s( )Y s2( )Y s1( )Y s1. 環(huán)節(jié)的合并環(huán)節(jié)的合并（1） 串聯(lián)串聯(lián)G1(s) G2(s) G3(s) ( )R s( )Y s1( )( )niiG sG s（2）并聯(lián)）并聯(lián)G1(

54、s)G2(s)( )R s1( )Y s2( )Ys( )Y sG3(s)3( )Y sG1(s) +G2(s) +G3(s) ( )R s( )Y s1( )( )niiG sG s（3） 反饋反饋1( )( ) ( )Y sG s E s11( )( )( )( )1( )( )G sY sG sR sG s H s( )( )( )( )( )( )E sR sB sR sY s H s1( )( ) ( )( )( )Y sG s R sY s H s)(sB( )R sG1(s)H(s)( )Y s)(sEG G1 1(S)(S)為前向通道的傳遞函數(shù)為前向通道的傳遞函數(shù)H(S)H(S

55、)為反饋通道的傳遞函數(shù)為反饋通道的傳遞函數(shù)G G1 1(S)H(S)(S)H(S)為為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2. 框圖等效變換原則框圖等效變換原則 在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析時(shí)，為了簡(jiǎn)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，常常需要對(duì)信號(hào)的分支點(diǎn)或相加點(diǎn)進(jìn)行變位圖，常常需要對(duì)信號(hào)的分支點(diǎn)或相加點(diǎn)進(jìn)行變位運(yùn)算，以便消除交叉，求出總的傳遞函數(shù)。運(yùn)算，以便消除交叉，求出總的傳遞函數(shù)。 變位運(yùn)算的原則是，變位運(yùn)算的原則是，輸入和輸出都不變。變輸入和輸出都不變。變換前后的方框圖是等效的。換前后的方框圖是等效的。前移1( )R s( )Y sG(s)2( )R s2( )R sG

56、(s)( )Y s1( )R s1/G(s)相相加加點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)進(jìn)入入和和出出去去的的信信號(hào)號(hào)量量綱綱必必須須相相同同，否否則則不不注注：能能加加減減。后移( )Y s2( )R s1( )R sG(s)G(s)G(s)( )Y s2( )R s1( )R s（1）相加點(diǎn)（對(duì)信號(hào)求和）相加點(diǎn)（對(duì)信號(hào)求和）（2）分支點(diǎn)（信號(hào)由某一點(diǎn)分開）分支點(diǎn)（信號(hào)由某一點(diǎn)分開）分分 支支 點(diǎn)點(diǎn) 分分 出出 信信 號(hào)號(hào) ， 數(shù)數(shù) 值值 相相 同同后移G(s)( )R s( )Y s( )R s前移G(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)( )Y s( )Y s( )R sG(s)G(s)( )Y s( )

57、R s( )R s1/G(s)（3）分支點(diǎn)之間可任意互換，）分支點(diǎn)之間可任意互換， 相加點(diǎn)之間可互換相加點(diǎn)之間可互換（但注意前后符號(hào)一致）。（但注意前后符號(hào)一致）。（4）相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不能互換變位相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不能互換變位注意注意： 有些實(shí)際系統(tǒng)，往往是多回路系統(tǒng)，形成回路交錯(cuò)或相有些實(shí)際系統(tǒng)，往往是多回路系統(tǒng)，形成回路交錯(cuò)或相套。為便于計(jì)算和分析，常將種復(fù)雜的方框圖簡(jiǎn)化為較簡(jiǎn)單套。為便于計(jì)算和分析，常將種復(fù)雜的方框圖簡(jiǎn)化為較簡(jiǎn)單的方框圖。的方框圖。方框圖方框圖簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是解除各種連接之間，包括環(huán)路與環(huán)路簡(jiǎn)化的關(guān)鍵是解除各種連接之間，包括環(huán)路與環(huán)路之間的交叉，應(yīng)設(shè)法使它們分開，

58、或形成大環(huán)套小環(huán)的形式。之間的交叉，應(yīng)設(shè)法使它們分開，或形成大環(huán)套小環(huán)的形式。 解除交叉連接的有效方法是移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)。一般，解除交叉連接的有效方法是移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)。一般，結(jié)構(gòu)圖上相鄰的分支點(diǎn)可以彼此交換，相鄰的相加點(diǎn)也可以結(jié)構(gòu)圖上相鄰的分支點(diǎn)可以彼此交換，相鄰的相加點(diǎn)也可以彼此交換。但是，彼此交換。但是，當(dāng)分支點(diǎn)與相加點(diǎn)相鄰時(shí)，它們的位置就當(dāng)分支點(diǎn)與相加點(diǎn)相鄰時(shí)，它們的位置就不能作簡(jiǎn)單的交換。不能作簡(jiǎn)單的交換。 例例2.4.3 例2.4.1所示汽車承載系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖如圖2.4.4所示，試簡(jiǎn)化系統(tǒng)框圖，求總傳遞函數(shù)。其傳遞函數(shù)為 21221213412)()()()()(KKsDKs

59、mKMKMKDsmMMmsDsKKsXsXio給出主要的變換步驟給出主要的變換步驟例例2.4.4 簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。簡(jiǎn)化下圖，求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 解解 具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用具有交叉連接的結(jié)構(gòu)圖。為消除交叉，可采用相加點(diǎn)、相加點(diǎn)、分支點(diǎn)互換分支點(diǎn)互換的方法處理。的方法處理。（1）將相加點(diǎn)）將相加點(diǎn)a移移至至G2之后之后（2）再與）再與b點(diǎn)交換點(diǎn)交換（3）因）因 G4與與G1G2并聯(lián)，并聯(lián)， G3與與G2H是負(fù)反饋環(huán)節(jié)是負(fù)反饋環(huán)節(jié)（4）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為）上圖兩環(huán)節(jié)串聯(lián)，函數(shù)相乘后得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為注：注：以上為原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以上為原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 是閉環(huán)系統(tǒng)簡(jiǎn)化的結(jié)果；是閉環(huán)系統(tǒng)簡(jiǎn)化的結(jié)果；分母不能看成原閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)分母不能看成原閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)根據(jù)定義和具體框圖定。傳遞函數(shù)應(yīng)根據(jù)定義和具體框圖定。例 2.4.5- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2 sG7 sG6 sXi sXo sG41- sG1 sG5 sG4 sG3 sG2