第十一章 第2節(jié)

1、第2節(jié)直接證明與間接證明最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)；2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn).知 識(shí) 梳 理1.直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示文字語言因?yàn)樗曰蛴傻靡C只需證即證2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法

2、.(1)反證法的定義：假設(shè)原命題不成立(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；結(jié)論斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“×”)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(2)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.()(4)在解決問題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方法，

3、再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.(2)應(yīng)假設(shè)“ab”.(3)反證法只否定結(jié)論.答案(1)×(2)×(3)×(4)2.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且a<b<0，則下列命題正確的是()A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2C.< D.>解析a2aba(ab)，a<b<0，ab<0，a2ab>0，a2>ab.又abb2b(ab)>0，ab>b2，由得a2>ab>b2.答案B3.要證a2b21a2b20，只要證明(

4、)A.2ab1a2b20 B.a2b210C.1a2b20 D.(a21)(b21)0解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D4.用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理數(shù)根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù).用反證法證明時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B.假設(shè)a，b，c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D.假設(shè)a，b，c至多有兩個(gè)偶數(shù)解析“至少有一個(gè)”的否定為“都不是”，故B正確.答案B5.(選修12P37例3改編)在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為

5、_.解析由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形.答案等邊三角形考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用【例1】 數(shù)列an滿足an1，a11.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)(一題多解)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，并證明>.(1)證明an1，化簡得2，即2，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知2n1，Snn2.法一>1.法二>1，又1>，>.規(guī)律方法1.綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題

6、設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題)出發(fā)，經(jīng)過一系列中間推理，最后導(dǎo)出所要求證結(jié)論的真實(shí)性.2.綜合法的邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理.【訓(xùn)練1】 (2019·東北三省三校調(diào)研)已知a，b，c>0，abc1.求證：(1)；(2).證明(1)()2(abc)222(abc)(ab)(bc)(ca)3，.(2)a0，3a10，(3a1)24，當(dāng)且僅當(dāng)3a1，即a時(shí)取“”.33a，同理得33b，33c，以上三式相加得493(abc)6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取“”.考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用【例2】 已知ab>0，求證：2a3b32ab2a2b.證明要證明2a3b32ab2a2b成立，只需證

7、2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab>0，ab0，ab>0，2ab>0，從而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.規(guī)律方法1.逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.2.證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.【訓(xùn)練2】 ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.求證：.證明要證，即證3

8、也就是1，只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用【例3】 等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.(1)解由已知得解得d2，故an2n1，Snn(n).(2)證明由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等

9、比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r).(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，q2pr，(pr)20.pr，與pr矛盾.數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列.規(guī)律方法1.當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等.2.用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：(1)必須否定結(jié)論；(2)必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理；(3)推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.【訓(xùn)練3】 (2019·鄭州一中月考)已知a1a2a3a4>100，求證：a1，a

10、2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4>100矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1.用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，應(yīng)假設(shè)()A.三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.三個(gè)內(nèi)角都大于60°C.三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°解析“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)都沒有”，故

11、可以理解為都大于60°.答案B2.已知m>1，a，b，則以下結(jié)論正確的是()A.a>b B.a<bC.ab D.a，b大小不定解析a，b.而>0(m1)，<，即a<b.答案B3.若a，bR，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()A.lg(1a2)>0 B.a2b22(ab1)C.a23ab>2b2 D.<解析在B中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立.答案B4.分析法又稱“執(zhí)果索因法”，若用分析法證明：“設(shè)abc，且abc0，求證a”索的因應(yīng)是()A.ab0 B.ac0C.(

12、ab)(ac)0 D.(ab)(ac)0解析由題意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5.已知p3q32，求證pq2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)pq2；已知a，bR，|a|b|<1，求證方程x2axb0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設(shè)|x1|1.以下正確的是()A.與的假設(shè)都錯(cuò)誤B.與的假設(shè)都正確C.的假設(shè)正確；的假設(shè)錯(cuò)誤D.的假設(shè)錯(cuò)誤；的假設(shè)正確解析反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對于，其結(jié)論的反面是pq2，所以不正確；對于，其假設(shè)正確.答

13、案D二、填空題6.與2的大小關(guān)系為_.解析要比較與2的大小，只需比較()2與(2)2的大小，只需比較672與854的大小，只需比較與2的大小，只需比較42與40的大小，42>40，>2.答案>27.用反證法證明命題“a，bR，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是_.解析“至少有一個(gè)能被5整除”的否定是“都不能被5整除”.答案“a，b都不能被5整除”8.下列條件：ab>0，ab<0，a>0，b>0，a<0，b<0，其中能使2成立的條件的序號(hào)是_.解析要使2，只需>0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故能使

14、2成立.答案三、解答題9.若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lglglglg alg blg c.證明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立.··abc成立.上式兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10.設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項(xiàng)和.(1)求證：數(shù)列Sn不是等比數(shù)列；(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎？為什么？(1)證明假設(shè)數(shù)列Sn是等比數(shù)列，則SS1S3，即a(1q)2a1·a1·(1qq2)，因?yàn)閍10，所以(1q)21qq2，即q0，這與公比q0矛盾，所以數(shù)列Sn

15、不是等比數(shù)列.(2)解當(dāng)q1時(shí)，Snna1，故Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，Sn不是等差數(shù)列，否則2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，這與公比q0矛盾.綜上，當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn是等差數(shù)列；當(dāng)q1時(shí)，數(shù)列Sn不是等差數(shù)列.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.(2019·上饒開學(xué)考試)設(shè)x，y，z>0，則三個(gè)數(shù)，()A.都大于2 B.至少有一個(gè)大于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.至少有一個(gè)不大于2解析因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)xyz時(shí)等號(hào)成立.所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于2，故選C.答案C12.(2019·全國卷)有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.

16、甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是_.解析根據(jù)丙的說法及乙看了丙的卡片后的說法進(jìn)行推理.由丙說“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，可推知丙的卡片上的數(shù)字是1和2或1和3.又根據(jù)乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”可知，乙的卡片不含1，所以乙的卡片上的數(shù)字為2和3.再根據(jù)甲的說法“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”可知，甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案1和313.設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件.證明(1)因?yàn)?/p>