一元二次方程壓軸題(含答案)

1、一元二次方程1.(北京模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 + px + q+1=0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 2.(1)用含p的代數(shù)式表示q ;(2)求證：拋物線 yi = x2+ px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)設(shè)拋物線yi=x2+px+q的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為E,拋物線y2=x2+px+q+1的頂點(diǎn)為N, 與y軸的交點(diǎn)為F,若四邊形FEMN的面積等于2,求p的值.2,設(shè)關(guān)于x的方程x2-5x-m2+ 1 = 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為 a、&試確定實(shí)數(shù) m的取值范圍，使| d十| 0| <6成立.3 .(湖南懷化)已知 x1, x2是一元二次方程(a 6)x2 + 2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)

2、數(shù)根.(1)是否存在實(shí)數(shù) a,使*1+*仇2=4十期成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說明理由；(2)求使(x1+1)( x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.4 .(江蘇模擬)已知關(guān)于 x的方程x2-(a+b+1)x + a=0 (b>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2,且xKx2.(1)求證：x1< 1 <x21一，(2)若點(diǎn)A (1, 2) , B (- 1) , C (1, 1),點(diǎn)P (刈，x2)在 ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，問是否存在 這樣的點(diǎn)P,使a+ b=5?若存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4y2= 4xx= x1 x= x25 .(福建模擬)已

3、知方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和 ，且x1x2W0, x1Wx2.y=2x+by= y1 y=y2(1)求b的取值范圍；(2)否存在實(shí)數(shù)b,使得1+1= 1?若存在，求出 b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. x1 x26 .(成都某校自主招生)已知 a, b, c為實(shí)數(shù)，區(qū)滿足 a+ b+ c= 0, abc= 8,求c的取值范圍.x+ y = 3a 17 .(四川某校自主招生)已知實(shí)數(shù)x、y滿足2十y2_ 4a2_2a+2 ,求xy的取值范圍.8 .(福建某校自主招生)已知方程(ax+1)2=a2(1 x2) (a>1)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足xkx2,求證:-1<xko<x2<

4、; 1.(答案)1.(北京模擬)已知關(guān)于x的一元二次方程 x2 + px + q+1 =0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 2.(1)用含p的代數(shù)式表示q ;(2)求證：拋物線 y1 = x2+px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；(3)設(shè)拋物線y1=x2+px+q的頂點(diǎn)為M,與y軸的交點(diǎn)為E,拋物線y2=x2+px+q+1的頂點(diǎn)為N, 與y軸的交點(diǎn)為F,若四邊形FEMN的面積等于2,求p的值.解：(1) .關(guān)于x的一元二次方程 x2+px+q + 1 = 0有一個(gè)實(shí)數(shù)根為 2Mx22+ 2p + q+1 = 0,整理得：q=2p 5(2) , =p2-4q = p2-4( -2p-5) = p2 + 8p+20= (p

5、+ 4)2+4無論p取任何實(shí)數(shù)，都有(p + 4) 2>0無論p取任何實(shí)數(shù)，都有 (p+4)2+4>0, .> 0:拋物線y1 = x2+ px+q與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(3) ;拋物線yi= x2+px+q與拋物線y2=x2+px+q + 1的對(duì)稱軸相同，都為直線x= -|,且開口大小相同，拋物線y2=x2+px+q+ 1可由拋物線yi = x2+ px+q沿y軸方向向上平移一個(gè)單位得到EF / MN , EF = MN = 1四邊形FEMN是平行四邊形 由題意得S四邊形FEMN = EF " 3 = 2,即| -2| = 2p= ±42.(安徽某校自主招生)

6、設(shè)關(guān)于 x的方程x2-5x-m2+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為a、&試確定實(shí)數(shù) m的取值范圍，使d十i a < 6成立.解： =52-4( -m2+ 1) =4m2+21不論m取何值，方程 x2-5x-m2+1 = 0都有兩個(gè)不相等的實(shí)根x2 5x m2+ 1=0,a+ 0= 5, a 四 1 一 m2.| d +| G <6, a + 0+2| a 36,即(®22 a 方2| a |0< 36.25-2( 1-m2) +2| 1 -m2| <36當(dāng) 1 m2>0,即1<m< 1 時(shí)，25<36 成立.T<m<1當(dāng) 1

7、 m2< 0,即 m< 1 或 m> 1 時(shí)，得 25 4( 1 m2) < 36解得史！<m<亞5 22.一號(hào)m< 1或1<m售綜合、得：零& m<乎 . 23.(湖南懷化)已知 x1, x2是一兀二次方程(a 6) x+2ax+a= 0的兩個(gè)頭數(shù)根.11)是否存在實(shí)數(shù) a,使x1+x1x2= 4十x2成立？若存在，求出 a的值；若不存在，請(qǐng)你說明理由;(2)求使(x1+1)( x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù) a的整數(shù)值.解：(1).x1, x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根a6*0aw64a2- 4a(a-6)

8、 >0 即 a>0-2aa-6假設(shè)存在實(shí)數(shù) a使一x1+x1x2=4+x2成立，則4+(x+x2) x1x2= 0a=0,得 a= 24a 6. a= 24 滿足 a> 0 且 aw 6存在實(shí)數(shù) a=24,使x+x1x2 = 4+x2成立,，、， 2a a, a(2) . ( x1 + 1)( x2+ 1) = (x1 +x2) + x1x2+ 1 = 0776 + a_ 6+ 1 = _ a_ 6.要使(刈+1)( x2+1)為負(fù)整數(shù)，則只需 a為7, 8, 9, 124.(江蘇模擬)已知關(guān)于x的方程x2-(a+b+1)x + a=0(b>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2,

9、且x1<x2.(1)求證：x1< 1 <x21一，(2)若點(diǎn)A (1, 2) , B(2，1) , C (1, 1),點(diǎn)P (刈，x2)在 ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，問是否存在 一 5 這樣的點(diǎn)P,使a+b：?右存在，求出點(diǎn) P的坐標(biāo)；右不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得：xi + X2=a + b+i, xix2= a：a=XlX2, b= X1 +X2 X1X2- 1 b>0,x1 + x2-x1X2- 1 >01 -X1 -X2 + X1X2< 0( 1 X1)( 1 X2)< 0又 X1<X2,1-X1>0, 1 -X2&

10、lt; 0即 X1< 1 , X2> 1X1< 1 < X259(2) . X1 + X2= a + b+ 1 a+ b = T, - X1 + X2=-'44當(dāng)點(diǎn)P(X1, X2)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)1 一則 2<X1< 1 , X2= 1X1 = 9 X2= 9-1 = 7> 1444 故在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn) P 當(dāng)點(diǎn)P（X1, X2）在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí) 則 X1 = 1, K X2< 2取 x2=5,則 X + x2=?,即 a+ b = 54445故在AC邊上存在滿足條件的點(diǎn)P （1, 4）當(dāng)點(diǎn)P（X1, X2）在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)

11、1 一一則 2<X1<1, 1<X2<2,易知 X2= 2X133 x1 = 4, x2= 2,1<3<2，2故在AB邊上存在滿足條件的點(diǎn)（3, 3）4 2AC、AB綜上所述，當(dāng)點(diǎn) P （X1, X2）在 ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 BC邊上沒有滿足條件的點(diǎn)，而在邊上存在滿足條件的點(diǎn)，它們分別是（1，5）和（4,3）y2=4xx= X1 x= X25.（福建模擬）已知方程組有兩個(gè)實(shí)數(shù)解和 ，且X1X2W0, X1WX2.y=2x+by= y1 y=y2（1）求b的取值范圍；（2）否存在實(shí)數(shù)b,使得+ = 1 ?若存在，求出 b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.X1

12、 X2解：(1)由已知得 4x= (2x+b)2,整理得 4x2+(4b-4)x+b2=0.X1WX2,0,即(4b4)2 16b2>0,解得 b< 22X1.- X1X2 0,4/0, ：bw0,、，一一 ，1 一綜上所述，b<萬且bw 0(2 * * 5)xi + x2= 1 b, X1X211xi + x2 4( 1 b)12x1 X2X1X2b=1得b(aT)2U+ 4b-4=0,解得 b=2±2山1-， 2+2，2=2（也一1） A,b= 2+2皿不合題意，舍去''' b = - 2 226.（成都某校自主招生）已知 a, b, c

13、為實(shí)數(shù)，且滿足 a+ b+ c= 0, abc= 8,求c的取值范圍.8解：. a+b+c=0, abc=8, a, b, c 都不為苔，且 a+ b= - c, ab=- c .a, b是方程xZ+cx+S：。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 cA = c2-4X8>0c當(dāng)c< 0時(shí)，c24X8>0恒成立 c當(dāng) c>0 時(shí)，得 c3>32, 02V4 故c的取值范圍是c< 0或O 2 V4x+y = 3a -17.(四川某校自主招生)已知實(shí)數(shù)x、y滿足x2+y2= 4a2_2a+2 ,求xy的取值范圍.解：(x-y) 2>0,x2+ y2>2xy:2(x2 + y2) > (x+ y)2一， 2_、 一 、22(4a2-2a+2)>(3a-1)2即 a2 2a 3<0,解得一1<a< 31222 xy=2( x+y) (x+y),(3a-1)2-(4a2-2a+2)1,2、2( 5a 4a1)10< xy< 168.（福建某校自主招生）已知方程（ax+1）2=a2（1 x2） （a>1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1、x2滿足xkx2,求證: -1<xK0<x2<1.證明：將原方程整理，得2a2x2+2ax+1 a2= 0令y= 2a2x2 + 2ax+1 - a2,由于a>1,