江蘇專用2018版高考數(shù)學大一輪復習第九章平面解析幾何96雙曲線課件理

1、9.6雙曲線基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎知識自主學習基礎知識自主學習1.雙曲線定義雙曲線定義平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的 等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做 ，兩焦點間的距離叫做 .集合PM|MF1MF2|2a，F(xiàn)1F22c，其中a，c為常數(shù)且a0，c0.(1)當 時，P點的軌跡是雙曲線；(2)當 時，P點的軌跡是兩條射線；(3)當 時，P點不存在.知識梳理距離的差的絕對值雙曲線的焦點雙曲線的焦距2aF1F22.雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程(a0，b0)(a0，b0)圖形性質(zhì)范圍_對稱性對稱軸： 對

2、稱中心：_頂點A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)漸近線_離心率e ，e_，其中c_xa或xa，yRxR，ya或ya坐標軸原點(1，)性質(zhì)實虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長A1A2 ；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長B1B2 ；a叫做雙曲線的 ，b叫做雙曲線的_a、b、c的關系c2 (ca0，cb0)2a2b實半軸長虛半軸長a2b2知識拓展知識拓展巧設雙曲線方程(1)與雙曲線 1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為 t(t0).(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為 1(mn0)表示焦點在x軸上的雙曲線.()(3)雙曲線方程 (m0，n0，0)的漸近線方程

3、是 0，即 0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于 .()(5)若雙曲線 1(a0，b0)與 1(a0，b0)的離心率分別是e1，e2，則 1(此結(jié)論中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線).()考點自測1.(教材改編)若雙曲線 1 (a0，b0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為_.答案解析由題意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.2.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y216x的準線交于A，B兩點，AB ，則C的實軸長為_.答案解析4由題設C： 1.拋物線y216x的準線為x4，a2，2a4.C的實軸長為4.3.(2016無錫一模)已知焦點在x軸上的

4、雙曲線的漸近線方程為y ，那么雙曲線的離心率為_.答案解析根據(jù)題意，設雙曲線的方程為 1，即雙曲線的離心率為 .4.(2016江蘇)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線 1的焦距是_.答案解析由已知，a27，b23，則c27310，故焦距為2c .5.雙曲線 y21的頂點到其漸近線的距離等于_.答案解析雙曲線的一個頂點坐標為(2,0)，一條漸近線方程是y ，即x2y0，則頂點到漸近線的距離題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一雙曲線的定義及標準方程題型一雙曲線的定義及標準方程命題點命題點1利用定義求軌跡方程利用定義求軌跡方程例例1已知圓C1：(x3)2y21和圓C2：(x3)2y29，動圓M同時與

5、圓C1及圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為_.答案解析x2 1(x1)幾何畫板展示如圖所示，設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B.根據(jù)兩圓外切的條件，得MC1AC1MA，MC2BC2MB，因為MAMB，所以MC1AC1MC2BC2，即MC2MC1BC2AC12，所以點M到兩定點C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于C1C26.又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，其中a1，c3，則b28.故點M的軌跡方程為x2 1(x1).命題點命題點2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程利用待定系數(shù)法求雙曲線方程例例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：(1)虛軸長為

6、12，離心率為 ；解答設雙曲線的標準方程為由題意知，2b12，e .b6，c10，a8.雙曲線的標準方程為(2)焦距為26，且經(jīng)過點M(0,12)；解答雙曲線經(jīng)過點M(0,12)，M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.雙曲線的標準方程為設雙曲線方程為mx2ny21(mn0).(3)經(jīng)過兩點P(3, )和Q( ，7).解答雙曲線的標準方程為命題點命題點3利用定義解決焦點三角形問題利用定義解決焦點三角形問題例例3已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y22的左，右焦點，點P在C上，PF12PF2，則cosF1PF2_.答案解析由雙曲線的定義有PF

7、1PF2PF22a ，PF12PF2 ，幾何畫板展示引申探究引申探究1.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“F1PF260”，則F1PF2的面積是多少？解答不妨設點P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，在F1PF2中，由余弦定理，得所以PF1PF28，所以12F PFS2.本例中，若將條件“PF12PF2”改為“ 0”，則F1PF2的面積是多少？解答不妨設點P在雙曲線的右支上，則PF1PF22a ，所以12F PFS(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進而根據(jù)要求可求出雙曲線方程.(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|PF1PF2|2

8、a，運用平方的方法，建立與PF1PF2的聯(lián)系.(3)待定系數(shù)法求雙曲線方程具體過程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可設有公共漸近線的雙曲線方程為 (0)，再由條件求出的值即可.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練1(1)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線 1的左，右焦點，P(3,1)為雙曲線內(nèi)一點，點A在雙曲線上，則APAF2的最小值為_.由題意知，APAF2APAF12a，要求APAF2的最小值，只需求APAF1的最小值，當A，P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，APAF2的最小值為APAF12a

9、 .答案解析幾何畫板展示(2)設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點，雙曲線上存在一點P使得PF1PF23b，PF1PF2 ，則該雙曲線的離心率為_.答案解析不妨設P為雙曲線右支上一點，PF1r1，PF2r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1r22a，又r1r23b，故題型二雙曲線的幾何性質(zhì)題型二雙曲線的幾何性質(zhì)例例4(1)(2016鹽城三模)若圓x2y2r2過雙曲線 1的右焦點F，且圓與雙曲線的漸近線在第一、四象限的交點分別為A，B，當四邊形OAFB為菱形時，雙曲線的離心率為_.答案解析2若四邊形OAFB為菱形，且點A在圓x2y2r2上，則點A坐標為( )，此時rc.又點A在漸近線上

10、，所以 ，(2)(2015山東)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線C1： 1(a0，b0)的漸近線與拋物線C2：x22py(p0)交于點O，A，B.若OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為_.答案解析由題意，不妨設直線OA的方程為y ，直線OB的方程為y .設拋物線C2的焦點為F，則 ，OAB的垂心為F，AFOB，kAFkOB1，設C1的離心率為e，則雙曲線的幾何性質(zhì)中重點是漸近線方程和離心率，在雙曲線(a0，b0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k 滿足關系式e21k2.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練2(2016全國甲卷改編)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E： 1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸

11、垂直，sinMF2F1 ，則E的離心率為_.答案解析離心率e ，由正弦定理得題型三直線與雙曲線的綜合問題題型三直線與雙曲線的綜合問題例例5(2016蘇州模擬)已知橢圓C1的方程為 y21，雙曲線C2的左，右焦點分別是C1的左，右頂點，而C2的左，右頂點分別是C1的左，右焦點.(1)求雙曲線C2的方程；解答設雙曲線C2的方程為 1(a0，b0)，則a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程為 y21.(2)若直線l：ykx 與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A和B，且2(其中O為原點)，求k的取值范圍.解答將ykx 代入 y21，得(13k2)x2 90.由直線l與雙曲線C2有兩個

12、不同的交點，得k2 且k22，得x1x2y1y22，解得 k23，由得 k21.故k的取值范圍為 .(1)研究直線與雙曲線位置關系問題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關于x或y的一元二次方程.當二次項系數(shù)等于0時，直線與雙曲線相交于某支上一點，這時直線平行于一條漸近線；當二次項系數(shù)不等于0時，用判別式來判定.(2)用“點差法”可以解決弦中點和弦斜率的關系問題，但需要檢驗.思維升華跟蹤訓練跟蹤訓練3在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C： 1.設過點M(0,1)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點若 ，則直線l的斜率為_答案解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入雙曲線方程聯(lián)立解得所

13、以A(4,3)，B(2,0)或A(4,3)，B(2,0)，即直線l的斜率為 .典例典例已知雙曲線x2 1，過點P(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？直線與圓錐曲線的交點現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯系列系列10(1)“點差法”解決直線與圓錐曲線的交點問題，要考慮變形的條件.(2)“判別式0”是判斷直線與圓錐曲線是否有公共點的通用方法.錯解展示現(xiàn)場糾錯糾錯心得返回解解設點A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，且線段AB的中點為(x0，y0)，若直線l的斜率不存在，顯然不符合題意.設經(jīng)過點P的直線l的方程為y1k(x1)，即ykx1k.得(2k2)x22k(1k)

14、x(1k)220(2k20).由題意，得 1，解得k2.當k2時，方程可化為2x24x30.162480，b0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為_.答案解析依題意解得雙曲線C的方程為 1.12345678910111213142.(2016全國乙卷改編)已知方程 1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是_.答案解析方程 1表示雙曲線，(1,3)(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1n0，b0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直

15、于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是_.答案解析由題意易知點F的坐標為(c,0)，A(c， )，B(c， )，E(a,0)，ABE是銳角三角形，(1,2)e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2).整理得3e22ee4，12345678910111213146.(2016浙江)設雙曲線x2 1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且F1PF2為銳角三角形，則PF1PF2的取值范圍是_.答案解析如圖，由已知可得a1，b ，c2，從而F1F24，由對稱性不妨設P在右支上，設PF2m，則PF1m2am2，由于PF1F2為

16、銳角三角形，結(jié)合實際意義需滿足解得1 m3，又PF1PF22m2， 2m28.12345678910111213147.(2016南京三模)設F是雙曲線的一個焦點，點P在雙曲線上，且線段PF的中點恰為雙曲線虛軸的一個端點，則雙曲線的離心率為_.答案解析不妨設雙曲線方程為 1 (a0，b0)，設F(c,0)，線段PF的中點為(0，b)，則P(c,2b).由點P在雙曲線上，得 41，所以e .12345678910111213148.設雙曲線 1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上位于第一象限內(nèi)的一點，且PF1F2的面積為6，則點P的坐標為_.由雙曲線 1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，所以F

17、1F26，設P(x，y) (x0，y0)，因為PF1F2的面積為6，所以 F1F2y 6y6，解得y2，將y2代入 1得x . 所以P( ，2).答案解析12345678910111213149.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線 1(a0，b0)的左，右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得 0(其中O為坐標原點)，且 ，則雙曲線的離心率為_.答案解析1234567891011121314在MF1F2中，邊F1F2上的中線等于F1F2的一半，可得 .根據(jù)雙曲線定義得雙曲線的離心率e 1.123456789101112131410.(2015課標全國改編)已知M(x0，y0)是雙曲線C： y21上的

18、一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若 0，b0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且PF14PF2，則此雙曲線的離心率e的最大值為_.答案解析由定義，知PF1PF22a. 又PF14PF2，PF1 a，PF2 a.在PF1F2中，由余弦定理，得要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，當cosF1PF21時，得e ，即e的最大值為 .123456789101112131412.(2015課標全國)已知F是雙曲線C：x2 1的右焦點，P是C的左支上一點，A( ).當APF的周長最小時，該三角形的面積為_.答案解析設左焦點為F1，PFPF12a2，PF2PF1，APF的周長為A

19、FAPPFAFAP2PF1，APF周長最小即為APPF1最小，當A、P、F1三點在一條直線時最小，過AF1的直線方程為 1，與x2 1聯(lián)立，解得P點坐標為( )，此時1112 6.APFAF FF PFSSS123456789101112131413.(2016江西豐城中學模擬)一條斜率為1的直線l與離心率為 的雙曲線 1(a0，b0)交于P，Q兩點，直線l與y軸交于R點，且 3， ，求直線和雙曲線的方程.解答1234567891011121314e ，b22a2，設直線l的方程為yxm.雙曲線方程可化為2x2y22a2.x22mxm22a20，4m24(m22a2)0，直線l一定與雙曲線相交.設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x22m，x1x2m22a2.x13x2，x2m， m22a2.1234567891011121314消去x2，得m2a2. x1x2y1y2x1x2(x1m)(x2m)2x1x2m(x1x2)m2m24a23，m1，a21，b22.直線l的方程為yx1，雙曲線的方程為x2