數(shù)列應(yīng)用題(分期付款)

1、課 題：分期付款中的有關(guān)計算二教學目的：通過“分期付款中的有關(guān)計算“的教學，使學生學會從數(shù)學角度對某些日 常生活中的問題進行研究 教學重點：分期付款問題進行獨立探究的根本步驟 教學難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 內(nèi)容分析：研究性課題的教學有兩個特點：一是不僅僅局限于書本知識，更有很多課 外內(nèi)容，如利率、復利計息、分期付款等專業(yè)術(shù)語的含義，以及現(xiàn)代網(wǎng)絡(luò)技術(shù) 的運用等，這樣就使探究成敗不決定于數(shù)學成績的好壞，每一位學生都可以通 過自己的思考與實踐獲得成功；其次，不僅僅拘泥于教師主演，也不僅僅注重 研究的結(jié)果，更關(guān)注的是學生在學習過程中

2、提出問題、分析問題、解決問題的 能力和心理體驗，這就為學生個性的開展，能力的提高，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)提供了 廣闊的空間.而正因有這樣的特點，就導致了不僅僅該課題本身是開放的具有 解法和結(jié)論的不確定性，其教學本身也是開放性的，這就有可能出現(xiàn)教師事先 沒預(yù)料到的問題，從而也為促進教學相長提供了好時機研究性課題是應(yīng)教改需要在新教材中新加的一個專題性欄目，為突出研究性課題的實踐性，課前和課后都安排學生進行社會調(diào)查實踐；為突出研究性課 題的探究性，對學生適當啟發(fā)引導，大膽放手，讓學生獨立分析和解決問題.另外以突出學生主體地位為根本去設(shè)計教學環(huán)節(jié)；以面向全體學生為原那么而采取 分層次的教學方式，并且采用了現(xiàn)代

3、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等多媒體教學手段輔助教學，提 高了課堂效率和教學效果 教學過程：、復習引入:1 研究性課題的根本過程生活實際中的問題存在的可行方案搜集整理信息創(chuàng)立數(shù)學模型 分期付款購置售價為2 分期付款使用模型：還清貸款，每年月還款 x,年月利率為啟迪思維留有余地獨立探究個案提出解答并給辯論驗證并使用模型結(jié)論分析a的商品，分n次經(jīng)過m個年月 p,那么每次應(yīng)付款：ma(1 p)m (1 pP 1(1 P)m 1、例題講解將上節(jié)課采取不同方案所得結(jié)果列表比擬，看其是否有共同特點？列表比較，觀其規(guī)律.方 案 類 別付款次數(shù)付款方法每期所付款表達式每期 付款付款 總額16每隔2個 月付款1 次，付6 次12

4、210000 1.01 (1.01 1)x= 121.01 1212每月付款1次，付12次10000 1.0112(1.01 1) x=121.01 133每隔4個 月付款1 次，付3 次10000 1.0112(1.014 1)X-121.01 1例1 一般地，購置一件售價為a元的商品采用分期付款時要求在m個月內(nèi)將款全部付清，月利率為p,分n(n是m的約數(shù))次付款，那么每次付款數(shù)的計算公式為ma(1 p)m(1P尸1x(1 P)m 1推導過程：設(shè)每次付款x 那么：第1期付款x元即購貨后 m個月時，到付清款時還差 m 2m個月,nn因此這期所付款連同利息之和為：x(1mp)2mn第n期付款即最

5、后一次付款x元時，款已付清，所付款沒有利息各期所付的款連同到最后一次付款時所生的利息之和為：m2mx x(1 p)7x(1 p)_x(1p)貨款到m個月后已增值為a(1 p)mmxi (1pf(12mp)nm m (1 p) na(1P)即：X(1mp)m1a(1mp)(1P療1解之得:Xa(1p)m(1mp)n 1(1p)m1根據(jù)規(guī)定可得:一需做好長遠的儲蓄從2001年初開始存例2某人，公元2000年參加工作，考慮買房數(shù)額較大 買房方案，打算在2022年的年底花50萬元購一套商品房, 款買房，請你幫我解決以下問題：方案1：從2001年開始每年年初到建設(shè)銀行存入3萬元，銀行的年利率為1.98%

6、，且保持不變，按復利計算即上年利息要計入下年的本金生息，在2022年年底，可以從銀行里取到多少錢？假設(shè)想在2022年年底能夠存足 50萬，每年年初至少要存多少呢？方案2 :假設(shè)在2001年初向建行貸款50萬先購房，銀行貸款的年利率為4.425%，按復利計算，要求從貸款開始到2022年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢？方案3:假設(shè)在2001年初貸款50萬元先購房，要求從貸款開始到 2022年 要分5期還清，頭兩年第1期付款，再過兩年付第二期，到 2022年年底能夠 還清，這一方案比方案 2好嗎？啟迪思維，留有余地：問題1:按各種方案付款每次需付款額分別是多少？每次

7、付款額是50萬元的平均數(shù)嗎？顯然不是，而會偏高那么分期付款總額就高于買房價，什么引起的呢？利息問題2 :按各種方案付款最終付款總額分別是多少？事實上，它等于各 次付款額之和，于是可以歸結(jié)為上一問題于是，本課題的關(guān)鍵在于按各種方案付款每次需付款額分別是多少？設(shè)為X.搜集、整理信息：(1) 分期付款中規(guī)定每期所付款額相同；(2) 每年利息按復利計算，即上年利息要計入下年本金.例如，由于年利率為1.98%,款額a元過一個年就增值為a(1+1.98%)=1.0198a( 元)；再過一個月又增值為 98a(1+1.9898 2 a(元)獨立探究方案1可將問題進一步分解為：1. 商品售價增值到多少？2.

8、各期所付款額的增值狀況如何？3 當貸款全部付清時，房屋售價與各期付款額有什么關(guān)系？ 提出解答，并給辯論：按復利計算存10年本息和即從銀行里取到錢為：3X (1 1.98%)10+3x (1 1.98%)9 +3X (1 1.98%)110=3 (1 1.98%)1 (1 1.98%)萬元1 (1 1.98%)設(shè)每年存入x萬元，在2022年年底能夠存足50萬那么：(1 1.98%) ?1 (1 1.98%)10cx 501 (1 1.98%)%解得萬元通過方案1讓學生了解了銀行儲蓄的計算，也初步掌握了等比數(shù)列在銀行 儲蓄中的應(yīng)用，儲蓄買房時間長久，顯然不切合我的實際，于是引出分期付款 問題；獨立

9、探究方案2 :分析方法1 ：設(shè)每年還x，第n年年底欠款為an，那么2001 年底：a =50 1+4.425%- x2002 年底：a2=a1 1+4.425%- x=50 (14.425%) $ - 1+% x - x 2022 年底：a10 = a9 1+4.425%- x=50 x (14.425%)10 - (1 4.425%)9 x1+4.425% x - x=50 X (14.425%)10 - 1 (1 4.425%)10?x 0 1 (1 4.425%)解得：X50 (1 4.425%)101 (1 4.425%)一、10萬兀1 (1 4.425%)10分析方法2 : 50萬元

10、10年產(chǎn)生本息和與每年存入x的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1 4.425%)10每年存入x萬元的本息和：x (1 4.425%)9+x (14.425%)8 +x10=1 (1 4.425%)=1 (1 4.425%)%101 (1 4.425%)10從而有 50(14.425%) = x1 (1 4.425%)解得：萬元，10年共付：62.9萬元.獨立探究方案3:分析：設(shè)每期存入 x萬元，每一期的本息和分別為：第5期為x，第4期(1 4.425%)2x,第 3 期(1 4.425%)4x，第二期：(1 4.425%)6x，第 1期(14.425%)8x,那么有1+ (1

11、 4.425%)2 + (1 4.425%)4 + (1 4.425%)6 + (1 4.425%)8 x=50 (1 4.425%)10解得：50(1 4.425%)10 ?1 (1 4.425%)2一、X10萬兀1 (1 4.425%)10此時，10年共付：X 5=萬兀創(chuàng)立數(shù)學模型:比擬方案1、2、3結(jié)果，經(jīng)過猜測得：分期付款購置售價為a的商品，分n次經(jīng)ma1 pm 1pF 1過m個年還清貸款,每年還款x,年利率為p,那么x m1 p 1驗證并使用模型：略結(jié)論分析：方 案 類 別付存 款 次數(shù)付存 款方法每期所付款表達式每期 付款付款 總額110每隔1年 存款1 次，存10 次x50(1 1.0198)X 101.0198(11.0198 )50210每年付款1次，付12次10 1x 50 1.04425 (11.04425 )x 1011.044251062. 935每隔2年 付款1 次，付5 次10 2x 50 1.04425 (11.04425 )X1011.04425方案3比方案2多付了： 64.25-62.9=萬元，所以方案2更好方案1每年雖存款少，但需等10年后才能買房由于=1.81