同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊課后習(xí)題答案(31)

1、. 習(xí)題11-3 1. 求下列冪級數(shù)的收斂域: (1)x+2x2+3x3+ × × × +nxn+ × × × 解 , 故收斂半徑為R=1. 因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 也是發(fā)散的, 所以收斂域?yàn)?-1, 1). (2); 解 , 故收斂半徑為R=1. 因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域?yàn)?1, 1. (3); 解 , 故收斂半徑為R=+¥, 收斂域?yàn)?-¥, +¥). (4); 解 , 故收斂半

2、徑為R=3. 因?yàn)楫?dāng)x=3時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的; 當(dāng)x=-3時(shí), 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域?yàn)?3, 3). (5); 解 , 故收斂半徑為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域?yàn)? (6); 解 這里級數(shù)的一般項(xiàng)為. 因?yàn)? 由比值審斂法, 當(dāng)x2<1, 即|x|<1時(shí), 冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)x2>1, 即|x|>1時(shí), 冪級數(shù)發(fā)散, 故收斂半徑為R=1. 因?yàn)楫?dāng)x=1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 也是收斂的, 所以收斂域?yàn)?1, 1. (7); 解 這里級數(shù)的一般項(xiàng)為. 因?yàn)? 由比值審斂法, 當(dāng), 即時(shí), 冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng), 即時(shí), 冪級數(shù)發(fā)散, 故收斂半徑為. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的, 所以收斂域?yàn)? (8). 解 , 故收斂半徑為R=1, 即當(dāng)-1<x-5<1時(shí)級數(shù)收斂, 當(dāng)|x-5|>1時(shí)級數(shù)發(fā)散. 因?yàn)楫?dāng)x-5=-1, 即x=4時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x-5=1, 即x=6時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的, 所以收斂域?yàn)?, 6). 2. 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分, 求下列級數(shù)的和函數(shù): (1); 解 設(shè)和函數(shù)為S(x), 即, 則 . (2); 解 設(shè)和函數(shù)為S(x), 即, 則