概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、1概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第第1講講本文件可從網(wǎng)址http:/或http:/www.應(yīng)用數(shù)學(xué).cn上下載2概率論與數(shù)理統(tǒng)計3第一章 概率論的基本概念4在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,稱為確定性現(xiàn)象.在個別試驗中呈現(xiàn)出不確定性, 在大量重復(fù)試驗中其結(jié)果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象, 稱為隨機現(xiàn)象.概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究和揭示隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.51 隨機試驗6隨機試驗簡稱試驗.在概率論中,試驗是一個含義廣泛的術(shù)語, 并沒有嚴(yán)格的純數(shù)學(xué)定義. 包括人做的試驗, 甚至大自然做的試驗, 機器人做的試驗, 人進(jìn)行的觀察, 等等. 試驗的特點:1,可在相同條件下重復(fù)地進(jìn)行;2,每次試驗的可能結(jié)

2、果不止一個, 并且能事先明確所有可能的結(jié)果.3,進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).7試驗的例:E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象.E2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況.E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).E4:拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).E6:在一批燈泡中任取一只, 測試它的壽命.E7:記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度.82 樣本空間、隨機事件9(一)樣本空間 對于隨機試驗, 盡管在每次試驗之前不能預(yù)知試驗的結(jié)果, 但試驗的所有可能的結(jié)果組成的集合是已知的, 將隨機試驗E的所有可能結(jié)

3、果組成的集合稱為E的樣本空間, 記為S. 樣本空間的元素, 即E的每個結(jié)果, 稱為樣本點.10例:E1:拋一枚硬幣, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的現(xiàn)象.S1: H,TE2:將一枚硬幣擲三次, 觀察正面H, 反面T出現(xiàn)的情況.S2: HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT;E3:將一枚硬幣拋擲三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).S3: 0,1,2,3;E4:拋一顆骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù).S4:1,2,3,4,5,6;11E5:記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù).S5:0,1,2,3,.;E6:在一批燈泡中任取一只, 測試它的壽命.S6:t|t0E7:記錄某地一晝夜的最高溫

4、度和最低溫度.S7: (x,y)|T0 xyT1, 這里x表示最低溫度, y表示最高溫度. 并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會小于T0, 也不會大于T1.12(二) 隨機事件 稱試驗E的樣本空間S的子集為E的隨機事件, 簡稱事件. 在每次試驗中, 當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時, 稱這一事件發(fā)生.特別, 由一個樣本點組成的單點集, 稱為基本事件. 例如, 擲一次硬幣的實驗E1有兩個基本事件H和T; 擲一次骰子的實驗E4有6個基本事件1,2,3,4,5,6.13樣本空間S包含所有的樣本點, 它是S自身的子集, 在每次試驗中它總是發(fā)生的, 稱為必然事件, 空集f不包含任何樣本點, 它也作為樣本空間的子集

5、, 它在每次試驗中都不發(fā)生, 稱為不可能事件.14幾個事件的例子:例1: 在E2:擲三次硬幣觀察正反面出現(xiàn)情況中事件A1:第一次出現(xiàn)的是H, 即A1=HHH,HHT,HTH,HTT.事件A2:三次出現(xiàn)同一面, 即A2=HHH, TTT在E6:測試任取的一只燈泡壽命中, 事件A3:壽命小于1000小時, 即A3=t|0t100015(三) 事件間的關(guān)系與事件的運算 事件是一個集合, 因而事件間的關(guān)系與事件的運算按照集合論中集合間的關(guān)系和集合運算來處理. 下面給出這些關(guān)系和運算在概率論中的提法. 并根據(jù)事件發(fā)生的含義, 給出它們在概率論中的含義.設(shè)試驗E的樣本空間為S, 而A,B,Ak(k=1,2

6、,.)是S的子集.通常喜歡用一個矩形來代表S, 其中的子區(qū)域代表一個事件.161, 若AB, 則稱事件B包含事件A, 這是指的事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生.若AB且BA, 即A=B, 則稱事件A與事件B相等.SBA172,事件AB=x|xA或xB稱為事件A與事件B的和事件. 當(dāng)且僅當(dāng)A, B中至少有一個發(fā)生時, 事件AB發(fā)生.SAB18.,;,211211的和事件為可列個事件稱的和事件個事件為稱類似地AAAAAAnAkknnkk193,事件AB=x|xA且xB稱為事件A與事件B的積事件. 當(dāng)且僅當(dāng)A, B同時發(fā)生時, 事件AB發(fā)生. AB也記作ABSAB20.,;,211211的積事件為可列個

7、事件稱的積事件個事件為稱類似地AAAAAAnAkknnkk214,事件A-B=x|xA且xB稱為事件A與事件B的差事件, 當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生, B不發(fā)生時事件A-B發(fā)生.SAB225. 若AB=f, 則稱事件A與事件B是互不相容的, 或互斥的, 這指的是事件A與事件B不能同時發(fā)生, 基本事件是兩兩互不相容的.SAB236, 若AB=S且AB=f, 則稱事件A與事件B互為逆事件, 又稱事件A與事件B互為對立事件, 這指的是對每次試驗而言, 事件A,B中必有一個發(fā)生, 且僅有一個發(fā)生. A的對立事件記為.,ASAA-SAA24在進(jìn)行事件運算時, 經(jīng)常要用到下述定律. 設(shè)A,B,C為事件, 則有交換律:

8、 AB=BA; AB=BA. 結(jié)合律: A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C.分配律: A(BC)=(AB)(AC); A(BC)=(AB)(AC);德摩根律:.;BABABABA25例2 試驗為擲三次硬幣, 事件A1:第一次出現(xiàn)的是H, 事件A2:三次出現(xiàn)同一面, A1=HHH,HHT,HTH,HTT,A2=HHH,TTT,A1A2=HHH,HHT,HTH,HTT,TTT,A1A2=HHH,A2-A1=TTT,.,21THHTTHTHTAA26例3 如圖所示的電路中, A表示信號燈亮, B, C, D表示繼電器接點I,II,III閉合.IIIIII27則BCA, BDA, BCB

9、D=A, 而.,CBCBABfIIIIIIABCD283 頻率與概率29(一)頻率 定義 在相同條件下, 進(jìn)行了n次試驗, 在這n次試驗中, 事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù). 比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率, 并記成fn(A).由定義, 易見頻率具有下述基本性質(zhì):1, 0fn(A)1;2, fn(S)=1;3, 若A1,A2,.,Ak是兩兩互不相容的事件, 則fn(A1A2.Ak)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(An).30歷史上的擲硬幣試驗試驗者拋擲次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率m/n德.摩爾根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜120006

10、0190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.499831大量實驗證實, 當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)增大時, 頻率fn(A)呈現(xiàn)出穩(wěn)定性, 逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù), 我們稱之為事件A的概率, 這叫大數(shù)定律. 但是從純數(shù)學(xué)的角度看, 概率無非是賦予事件A的一個實數(shù).因此, 從純數(shù)學(xué)的觀點看問題, 只要對每個事件賦予一個滿足一定性質(zhì)的實數(shù)就行, 是不關(guān)心概率在實際中的情況的. 數(shù)學(xué)對實際的應(yīng)用, 都屬于某種方式的數(shù)學(xué)建模.32(二) 概率 定義 設(shè)E是隨機試驗, S是它的樣本空間, 對于E的每一事件A賦予一個實數(shù), 記為P(A), 稱為事件A的概率, 如果集合函數(shù)P()滿足

11、下列條件:1, 非負(fù)性: 對于每一個事件A, 有P(A)0;2, 規(guī)范性: 對于必然事件S, 有P(S)=1;3, 可列可加性:設(shè)A1,A2,.是兩兩互不相容事件, 即對于ij, AiAj=f, i,j=1,2,., 則有P(A1A2.)=P(A1)+P(A2)+.(3.1)由概率的定義可推得概率的一些重要性質(zhì).33性質(zhì)1 P(f)=0.證 令A(yù)n=f (n=1,2,.), 則, 2 , 1,1jijiAAAjinnff且. 0)(, 0)(,. )()()(111ffffPPPAPAPPnnnnn故由上式知由概率的非負(fù)性知由概率的可列可加性(3.1)得34性質(zhì)2(有限可加性) 若A1,A2,

12、.,An是兩兩互不相容的事件, 則有P(A1A2.An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)(3.2)證 令A(yù)n+1=An+2=.=f, 即有AiAj=f, ij, i,j=1,2,.由(3.1)式得).()()(0)()()(2111121nnkkkkkknAPAPAPAPAPAPAAAP35性質(zhì)3 設(shè)A,B是兩個事件, 若AB, 則有P(B-A)=P(B)-P(A)(3.3)P(B)P(A)(3.4)證 由AB知B=A(B-A)(參見), 且A(B-A)=f, 再由概率的有限可加性(3.2), 得P(B)=P(A)+P(B-A),又由概率的非負(fù)性1, P(B-A)0知P(B)P(A).

13、36性質(zhì)4 對于任一事件A,P(A)1證 因AS, 由性質(zhì)3得P(A)P(S)=1性質(zhì)5(逆事件的概率) 對任一事件A, 有).()()()(1,APAPAAPSPAASAA因此且因f).(1)(APAP-證37性質(zhì)6(加法公式) 對任意兩事件A,B有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).(3.5)證 因AB= A(B-AB)(參見), 且A(B-AB)=f, ABB, 故由(3.2)及(3.3)得P(AB)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB).(3.5)式還可推廣到多個事件, 例如, 設(shè)A,B,C為任意三個事件, 則有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-

14、P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)(3.6)384 等可能概型(古典概型)391中所說的試驗E1:拋一枚硬幣, 觀察正反兩面出現(xiàn)的情況, E4:擲一枚骰子, 觀察出現(xiàn)的點數(shù), 它們具有兩個共同的特點:1,試驗的樣本空間只包含有限個元素試驗的樣本空間只包含有限個元素;2,試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同.具有上面兩個特點的試驗稱為等可能概型, 也稱為古典概型.40設(shè)試驗的樣本空間為S=e1,e2,.,en. 由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同, 即有P(e1)=P(e2)=.=P(en).又由于基本事件是兩兩互不相容的, 于是1=P(S)=

15、P(e1e2.en)=P(e1)+P(e2)+.+P(en)=nP(ei),., 2 , 1,1)(ninePi41若事件A包含k個基本事件, 即21kiiieeeAnkePAPkjij1)()(這里i1,i2,.,ik是1,2,.,n中某k個不同的數(shù). 則有(4.1)式就是等可能概型中事件A的概率的計算公式) 1 . 4(中基本事件的總數(shù)包含的基本事件數(shù)SA42例1 將一枚硬幣拋擲三次. (1)設(shè)事件A1為恰有一次出現(xiàn)正面, 求P(A1); (2) 設(shè)事件A2為至少有一次出現(xiàn)正面, 求P(A2).解 (1)考慮1中E2的樣本空間: S2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH

16、,TTT.而A1=HTT,THT,TTH.故由(4.1)式, 得83)(1AP43若本題考慮1中E3的樣本空間:S3=0,1,2,3則由于各個基本事件發(fā)生的可能性不相同, 就不能利用(4.1)來計算P(A1)和P(A2). 因而對本題來說, 考慮樣本空間S2才能順利計算有關(guān)事件的頻率.87811)(1)(,)2(222-APAPTTTA于是由于44例2 一口袋裝有6只球, 其中4只白球, 2只紅球. 從袋中取球兩次, 每次隨機地取一只. 考慮兩種取球方式: (a)第一次取一只球, 觀察其顏色后放回袋中, 攪勻后再取一球. 這種取球方式叫做放回抽樣. (b)第一次取一球不放回袋中, 第二次從剩余

17、的球中再取一球. 這種取球方式叫做不放回抽樣, 試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率; (3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.45解 (a)放回抽樣的情況. 以A,B,C分別表示事件取到的兩只球都是白球, 取到的兩只球都是紅球, 取到的兩只球中至少有一只是白球, 易知取到兩只顏色相同的球這一事件即為AB, 而.916622)(,946644)(,BPAPBC98)(1)()(95)()()(-BPBPCPBPAPBAP由于AB=f, 得46例3 將n只球隨機地放入N(Nn)個盒子中去, 試求每個盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限)

18、.解 將n只球放入N個盒子, 每種放法是一基本事件, 共有NN.N=Nn種不同放法, 而每個盒子中至多放一只球共有N(N-1).N-(n-1)種不同放法, 因而所求概率為nnNnNANnNNNp-) 1() 1(47許多問題和本例有相同的數(shù)學(xué)模型. 例如, 假設(shè)每人的生日在一年365天的任一天是等可能的, 即都等于1/365, 則隨機選取n(365)個人, 他們的生日各不相同的概率為nn365) 1365(364365-因而, n個人中至少有兩人生日相同的概率為nn365) 1365(3643651-48經(jīng)計算可得下述結(jié)果:n20233040p0.4110.5070.7060.891n5064

19、100p0.9700.9970.999999749關(guān)于組合! 3)2)(1(! 3)2)(1)(3. 10,!) 1() 1(,)!( !,)1 (-例如定義以及非負(fù)整數(shù)而對于任意實數(shù)因此或記作的組合數(shù)記作個個元素中取arraaararamnmnmnCmnCnmmnmnmn50例4 設(shè)有N件產(chǎn)品, 其中有D件次品, 今從中任取n件, 問其中恰有k(kD)件次品的概率是多少?解 所求的概率為)2 . 4(.-nNknDNkDp(4.2)式即所謂超幾何分布的概率公式.51例5 袋中有a只白球, b只紅球, k個人依次在袋中取一只球, (1)作放回抽樣; (2)作不放回抽樣, 求第i(i=1,2,.

20、,k)個人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b).解 (1) 放回抽樣的情況, 顯然有baaBP)(52(2) 不放回抽樣的情況. 各人取一只球, 每種, 1) 1(1)2)(1(,111.,.,) 1() 1)(,11種取法共有只只球中的任意球可以是其余只其余被取的種取法有只白球中的任一只它可以是個人取的應(yīng)是白球第發(fā)生時當(dāng)事件同本事件發(fā)生的可能性相且由于對稱性知每個基個基本事件共有取法是一基本事件-kbakbaAkbababakbakaaiBAkbababa53值得注意的是P(B)與i無關(guān), 即k個人取球, 盡管取球的先后次序不同, 各人取到白球的概率是一樣的, 大家機會相同. 另外還值得

21、注意的是放回抽樣的情況與不放回抽樣的情況下P(B)是一樣的.baabakbakbabaaAAaBPAaBkbakbakba-)!()!()!()!1()(,1111故得個基本事件中包含于是54例6 在12000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù), 問取到的數(shù)即不能被6整除, 又不能被8整除的概率是多少?解 設(shè)A為事件取到的數(shù)能被6整除, B為事件取到的數(shù)能被8整除, 則所求概率為.2000333)(,33462000333)()()(1)(1)()(-APABPBPAPBAPBAPBAP故得由于55又由于一個數(shù)同時能被6與8整除, 就相當(dāng)于能被24整除, 因此, 由.2000250)(,25082000BP故得由于.43200083200025020003331200083)(,8424200083-pABP于是所求概率為得56例7 將15名新生隨機地平均分配到三個班級中去, 這15名新生中有3名是優(yōu)秀生. 問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的