第五章 角動量守恒與剛體的定軸轉動

1、安徽大學出版社ANHUI UNIVERSITY大學物理學 安徽大學出版社安徽大學出版社 大學物理學 March 24, 2022Page2ANHUI UNIVERSITY 51 角動量與角動量守恒定律 52 剛體的定軸轉動 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20223 51 角動量與角動量守恒定律一、質點的角動量定理和角動量守恒定律一、質點的角動量定理和角動量守恒定律 類似于描述轉動運動時的角量類似于描述轉動運動時的角量(角速度和角加速度角速度和角加速度), 引引入入角動量角動量, 也稱也

2、稱動量矩動量矩. 1. 質點的角動量質點的角動量(angular momentum)mvmorL 質量為質量為 的質點以速度的質點以速度 在在空間運動空間運動, 某時刻相對原點某時刻相對原點 O 的位的位矢為矢為 , 質點相對于原點的角動量質點相對于原點的角動量定義為定義為:mrvvmrprLsinrpL 大小大小:方向方向: 的方向垂直于的方向垂直于 和和 所組成的平面所組成的平面, 符合右手法則符合右手法則.Lrpsmkg2單位單位: 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20224 說明

3、說明a). 并非質點作周期性曲線運動才有角動量并非質點作周期性曲線運動才有角動量.b). 質點的角動量是相對于選定的參考點定義的質點的角動量是相對于選定的參考點定義的.2. 質點的角動量定理質點的角動量定理FrtvmrvmtrtLd)(dddddprL,ddFtp(牛頓第二定律牛頓第二定律)?ddtL力矩力矩FrMFroMdFdrFMsin 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20225沖量矩沖量矩tMttd2112d21LLtMtttLMdd 質點所受合外力對任一參考點的力矩等質點所受合外

4、力對任一參考點的力矩等于質點對該點角動量隨時間的變化率于質點對該點角動量隨時間的變化率.質點角動量定理的微分形式質點角動量定理的微分形式質點角動量定理的積分形式質點角動量定理的積分形式質點所受外力的沖量矩等于質點角動量的增量質點所受外力的沖量矩等于質點角動量的增量.牛頓定律牛頓定律質點角動量定理質點角動量定理導出導出慣性系慣性系適用適用 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202263. 質點的角動量守恒定律質點的角動量守恒定律vmrLM,0 恒矢量恒矢量 質點所受質點所受合外力對某一固定點

5、的力矩為合外力對某一固定點的力矩為零零, 則質點則質點對該點的角動量對該點的角動量保持不變保持不變. 力矩為零的兩種可能力矩為零的兩種可能 a) 合外力為零合外力為零, 質點不質點不受外力作用受外力作用. b) 合外力不為零合外力不為零, 合外合外力是有心力力是有心力. 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20227二、質點系的角動量定理和角動量守恒定律二、質點系的角動量定理和角動量守恒定律定義定義: : 組成質點系的各質點對給定參考點的角動量的矢量和組成質點系的各質點對給定參考點的角動量的

6、矢量和. 1. 質點系的角動量質點系的角動量iiiiiiiiimrprLLv2. 質點系的角動量定理質點系的角動量定理iieiiieiiiiiiiMMFFrtLtL)()()()()(dddd0)()()(iiiiiiiiFrM內(nèi)力矩內(nèi)力矩MMtLiei)(dd 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 2022812d21LLtMtt 質點系的角動量隨時間的變化質點系的角動量隨時間的變化率等于它所受到的合外力矩率等于它所受到的合外力矩.質點系角動量定理的微分形式質點系角動量定理的微分形式質點系角

7、動量定理的積分形式質點系角動量定理的積分形式 質點系獲得的沖量矩等于其角質點系獲得的沖量矩等于其角動量的增量動量的增量.MMtLiei)(dd3. 質點系的角動量守恒定律質點系的角動量守恒定律LM,0 恒矢量恒矢量 質點質點系系所受所受合外力矩為合外力矩為零零時時, 其其角動量角動量守恒守恒. 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20229證: 先證明質點在運動過程中所受力矩為零先證明質點在運動過程中所受力矩為零. .rj tbi tata2222)sincos(ddrrmF2例1 質量為m

8、的質點，在 xy 平面內(nèi)運動，質點的矢徑為 其中a, b,均為正常量，且ab, 證明運動過程中角動量守恒求其大小及方向.jtbi tarsincos0FrM質點的角動量守恒質點的角動量守恒. .L 恒矢量恒矢量 按定義按定義, 有有trmrvmrLddkmabj tbi tamr)cossin( 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202210例2 在光滑的水平面上, 質量為M的木塊連在勁度系數(shù)為k原長為 的輕彈簧上,彈簧的另一端固定在平面上的O點. 一質量為m的子彈,以水平速度 (與OA垂

9、直)射向木塊,并停在其中, 然后一起由A點沿曲線運動到B點. 已知OB=l, 求物體在B點的速度的大小和 角的大小. 0l0v10)(vMmmv聯(lián)立三式聯(lián)立三式,可解得可解得:解: 設子彈入射木塊后的速度為設子彈入射木塊后的速度為 . .根據(jù)動量守恒根據(jù)動量守恒, ,機械能機械能守恒和角動量守恒守恒和角動量守恒, ,有有1v20221)(21)(21)(21llkvMmvMmsin)(00vlMmlmv 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20221120202)(1llMmkvmMmv20

10、20200)(sinllMmkvmllmv試問試問: :是否可以對全過程用機械能守恒定律計算是否可以對全過程用機械能守恒定律計算, ,為什么為什么? ?0vo 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202212 52 剛體的定軸轉動一、一、定軸轉動定軸轉動剛體的角動量和轉動慣量剛體的角動量和轉動慣量 剛體可以看成剛體可以看成質點系質點系, 考慮剛考慮剛體繞固定軸轉動的情況體繞固定軸轉動的情況.1. 定軸轉動定軸轉動剛體的角動量剛體的角動量)(2iiiiiirmmrLiv方向方向: 沿軸方向沿軸

11、方向, 若在軸上選定正方向若在軸上選定正方向, 則定軸轉動剛體則定軸轉動剛體的角動量是一個代數(shù)量的角動量是一個代數(shù)量.imoirzivimoirziv 質量為質量為 的第的第 個質點到轉個質點到轉軸的距離為軸的距離為 , 剛體以角速度剛體以角速度 繞繞定軸轉動時定軸轉動時, 可得其角動量為可得其角動量為:imiir 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 2022132iiirmJ轉動慣性的量度轉動慣性的量度, 與平動中質量地位相當與平動中質量地位相當.對于質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量對于質量連續(xù)

12、分布剛體的轉動慣量mrJd2：質量元：質量元md2. 轉動慣量轉動慣量r：質量元到轉軸距離：質量元到轉軸距離對質量線分布的剛體：對質量線分布的剛體：質量線密度：質量線密度lmddLlrJd2對質量面分布的剛體：對質量面分布的剛體：質量面密度：質量面密度smddSsrJd2 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202214對質量體分布的剛體：對質量體分布的剛體：質量線密度：質量線密度VmddVVrJd22mkg 單位單位:例例1 1 求質量為 , 半徑為 的均勻薄圓盤, 對通過盤中心且與盤面垂

13、直的軸的轉動慣量 .mRORORr dr2403212d2mRRrrJR 解解 設圓盤面密度為設圓盤面密度為 ，在盤，在盤上取半徑為上取半徑為 , 寬為寬為 的圓環(huán)的圓環(huán).rrdrrmd2d圓環(huán)質量圓環(huán)質量rrmrJd2dd32圓環(huán)對軸的轉動慣量圓環(huán)對軸的轉動慣量 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202215 解解 在桿上任取一長度元在桿上任取一長度元 , ,該線元的質量為該線元的質量為 dxxmdd20231dmlxxJllO xxd232/2/2121121dmllxxJllxxmx

14、Jddd22例例2 2 一一質量為質量為 , 長為長為 的的均勻細桿的轉動慣量均勻細桿的轉動慣量. (1)轉軸垂轉軸垂直于桿并通過桿的中點直于桿并通過桿的中點; (2)轉軸垂直于桿并通過桿的一端轉軸垂直于桿并通過桿的一端.mlxd2l2lO轉軸過端點轉軸過端點:故對中心轉軸故對中心轉軸: 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 2022162mhJJC* *平行軸定理平行軸定理 轉動慣量取決于剛體的質量轉動慣量取決于剛體的質量, 形狀及轉軸的位置形狀及轉軸的位置 . 質量為質量為 的剛體的剛體,

15、 ,如果對其質如果對其質心軸的轉動慣量為心軸的轉動慣量為 , ,則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行, 相距為相距為 的轉軸的轉動的轉軸的轉動慣量慣量: :CJmhdCOm說明說明22)2(121lmmlJ例例2 2第二問結果可改寫為第二問結果可改寫為* *常見剛體轉動慣量常見剛體轉動慣量幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量幾何形狀不規(guī)則的剛體的轉動慣量, 由實驗測定由實驗測定. 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202217 圓環(huán)轉軸通過中心圓環(huán)轉軸通過中心與盤面垂直與盤面垂直r2mrJ圓環(huán)轉

16、軸沿直徑圓環(huán)轉軸沿直徑r r221mrJ 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202218薄圓盤轉軸通過薄圓盤轉軸通過中心與盤面垂直中心與盤面垂直221mrJr r2 2r r1 1圓筒轉軸沿幾何軸圓筒轉軸沿幾何軸)(212221rrmJr r 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202219l lr r圓柱體轉軸沿幾何軸圓柱體轉軸沿幾何軸221mrJl lr r 圓柱體轉軸通過中圓柱體轉

17、軸通過中心與幾何軸垂直心與幾何軸垂直12422mlmrJ 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202220l l 細棒轉軸通細棒轉軸通過中心與棒垂直過中心與棒垂直122mlJl l 細棒轉軸通過端細棒轉軸通過端點與棒垂直點與棒垂直32mlJ 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 2022212 2r r球體轉軸沿直徑球體轉軸沿直徑522mrJ2 2r r球殼轉軸沿直徑球殼轉軸沿直徑322mr

18、J 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 20222200d0JJLLtMtt 剛體剛體的角動量隨時間的變化率的角動量隨時間的變化率等于它所受到的合外力矩等于它所受到的合外力矩.剛體定軸轉動角動量定理的積分形式剛體定軸轉動角動量定理的積分形式 剛體剛體角動量的增量等角動量的增量等于剛體受到的沖量矩于剛體受到的沖量矩.tLMdd2. 角動量守恒定律角動量守恒定律LM,0 恒矢量恒矢量 剛體剛體所受所受合外力矩為合外力矩為零零時時, 其其角動量角動量守恒守恒. 二、二、剛體剛體定軸轉動定軸轉動的角

19、動量定理和角動量守恒定律的角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉動角動量定理的微分形式剛體定軸轉動角動量定理的微分形式1. 剛體剛體定軸轉動定軸轉動的角動量定理的角動量定理0JJ 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202223角動量守恒實例角動量守恒實例茹科夫斯基轉椅 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202224解法一解法一：用動量定理和角動量定理求解用動量定理和角動量定理求解. .0

20、0vv-vmmmfdtt430一一質量為質量為M ,長度為長度為l的均勻細棒的均勻細棒,可繞過其頂端的水平可繞過其頂端的水平軸軸O自由轉動自由轉動, 質量為質量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度 射入靜止的細射入靜止的細棒下端棒下端, 穿出后速度損失穿出后速度損失3/4, 求子彈穿出后棒所獲得的角速求子彈穿出后棒所獲得的角速度度.0vMlom0vv設棒對子彈的阻力為設棒對子彈的阻力為f , 則由動量定理則由動量定理,子彈對棒的沖擊力為子彈對棒的沖擊力為f , 則由角動量定理則由角動量定理,Jldtft0而而ff231MlJ 比較兩式比較兩式, ,得得: :Mlmv490 大學物理學Page 第五章第五章角動量守恒與剛體的定軸轉動角動量守恒與剛體的定軸轉動 ANHUI UNIVERSITY March 24, 202225解法二解法二：用角動量守恒定律求解用角動量守恒定律求解. .Jmlmlvv0系統(tǒng)所受合力矩為零系統(tǒng)所受合力矩為零, ,角動量守恒角動量守恒. .由此解得由此解得: :MlmvJml490vv0三、三、剛體剛體